第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.7 Solving Systems with Inverses11.7 逆行列で連立方程式を解く

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Find the inverse of a matrix.• Solve a system of linear equations using an inverse matrix.

・行列の逆を求める。・逆行列を使って連立一次方程式を解く。

Soriya plans to invest $10,500 into two different bonds to spread out her risk. The first bond has an annual return of 10%, and the second bond has an annual return of 6%. In order to receive an 8.5% return from the two bonds, how much should Soriya invest in each bond? What is the best method to solve this problem?

ソリヤは危険を分散するため、10,500ドルを二つの異なる債券に投じるつもりである。一つ目の債券は年の利回りが10%、二つ目の債券は年の利回りが6%である。二つの債券から8.5%の利回りを得るには、ソリヤは各債券にいくらずつ投じるべきか。この問題を解くのに最もよい方法は何か。

There are several ways we can solve this problem. As we have seen in previous sections, systems of equations and matrices are useful in solving real-world problems involving finance. After studying this section, we will have the tools to solve the bond problem using the inverse of a matrix.

この問題を解くしかたはいくつもある。前の節で見たとおり、連立方程式と行列は金融にかかわる現実の問題を解くのに役立つ。この節を学べば、行列の逆を使ってこの債券の問題を解く道具が手に入る。

Finding the Inverse of a Matrix行列の逆を求める

We know that the multiplicative inverse of a real number $a$ is $a^{−1},$ and $a a^{−1} = a^{−1} a = (\frac{1}{a}) a = 1.$ For example, $2^{−1} = \frac{1}{2}$ and $(\frac{1}{2}) 2 = 1.$ The multiplicative inverse of a matrix is similar in concept, except that the product of matrix $A$ and its inverse $A^{−1}$ equals the identity matrix. The identity matrix is a square matrix containing ones down the main diagonal and zeros everywhere else. We identify identity matrices by $I_{n}$ where $n$ represents the dimension of the matrix. Observe the following equations.

実数 $a$ の掛け算についての逆が $a^{−1}$ であり、 $a a^{−1} = a^{−1} a = (\frac{1}{a}) a = 1.$ であることは分かっている。たとえば $2^{−1} = \frac{1}{2}$ と $(\frac{1}{2}) 2 = 1.$ である。行列の掛け算についての逆も考えは似ているが、行列 $A$ とその逆 $A^{−1}$ の積が単位行列に等しい点が違う。単位行列とは、主対角線に沿って1が並び、それ以外はすべて零の正方行列である。単位行列は $I_{n}$ で表し、 $n$ はその行列の型を表す。次の式を見よ。

I_{2} = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

I_{3} = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

The identity matrix acts as a 1 in matrix algebra. For example, $A I = I A = A .$

単位行列は、行列の代数で1のはたらきをする。たとえば $A I = I A = A$ である。

A matrix that has a multiplicative inverse has the properties

掛け算についての逆を持つ行列は、次の性質を持つ。

\begin{array}{l} A A^{−1} = I \\ A^{−1} A = I \end{array}

A matrix that has a multiplicative inverse is called an invertible matrix. Only a square matrix may have a multiplicative inverse, as the reversibility, $A A^{−1} = A^{−1} A = I,$ is a requirement. Not all square matrices have an inverse, but if $A$ is invertible, then $A^{−1}$ is unique. We will look at two methods for finding the inverse of a $2 \times 2$ matrix and a third method that can be used on both $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices.

掛け算についての逆を持つ行列を、正則行列という。掛け算についての逆を持てるのは正方行列だけである。逆にできること $A A^{−1} = A^{−1} A = I$ が要るからである。すべての正方行列が逆を持つわけではないが、 $A$ が正則なら $A^{−1}$ はただ一つである。 $2 \times 2$ 行列の逆を求める二つの方法と、 $2 \times 2$ 行列と $3 \times 3$ 行列の両方に使える三つ目の方法を見る。

The Identity Matrix and Multiplicative Inverse 単位行列と逆行列

The identity matrix, $I_{n},$ is a square matrix containing ones down the main diagonal and zeros everywhere else.

単位行列 $I_{n}$ とは、主対角線に沿って1が並び、それ以外はすべて零の正方行列である。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} I_{2} = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \begin{matrix}  \end{matrix} I_{3} = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array} \\ 2 \times 2 3 \times 3 \end{array} \end{array}

If $A$ is an $n \times n$ matrix and $B$ is an $n \times n$ matrix such that $A B = B A = I_{n},$ then $B = A^{−1},$ the multiplicative inverse of a matrix $A .$

$A$ が $n \times n$ 行列、 $B$ が $n \times n$ 行列で $A B = B A = I_{n}$ を満たすなら、 $B = A^{−1}$ であり、これが行列 $A$ の掛け算についての逆である。

Example 1例1

Showing That the Identity Matrix Acts as a 1単位行列が1のはたらきをすることを示す

Given matrix A, show that $A I = I A = A .$

行列Aが与えられたとき、 $A I = I A = A$ を示せ。

A = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{matrix}]

Solution 解答

Use matrix multiplication to show that the product of $A$ and the identity is equal to the product of the identity and A.

行列の掛け算を使って、 $A$ と単位行列の積が、単位行列とAの積に等しいことを示す。

A I = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ −2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & −2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

I A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (−2) & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (−2) & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

How To 手順

Given two matrices, show that one is the multiplicative inverse of the other.

二つの行列が与えられたとき、一方がもう一方の掛け算についての逆であることを示す。

1. Given matrix $A$ of order $n \times n$ and matrix $B$ of order $n \times n$ multiply $A B .$ 2. If $A B = I,$ then find the product $B A .$ If $B A = I,$ then $B = A^{−1}$ and $A = B^{−1} .$

1. 型 $n \times n$ の行列 $A$ と型 $n \times n$ の行列 $B$ が与えられたとき、 $A B$ を掛ける。2. $A B = I$ なら、積 $B A$ を求める。 $B A = I$ なら $B = A^{−1}$ であり $A = B^{−1}$ である。

Example 2例2

Showing That Matrix A Is the Multiplicative Inverse of Matrix B行列Aが行列Bの掛け算についての逆であることを示す

Show that the given matrices are multiplicative inverses of each other.

与えられた行列が互いに掛け算についての逆であることを示せ。

A = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}]

Solution 解答

Multiply $A B$ and $B A .$ If both products equal the identity, then the two matrices are inverses of each other.

$A B$ と $B A$ を掛ける。どちらの積も単位行列に等しいなら、この二つの行列は互いに逆である。

\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 (−9) + 5 (2) & 1 (−5) + 5 (1) \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 (1) −5 (−2) & −9 (5) −5 (−9) \\ 2 (1) + 1 (−2) & 2 (5) + 1 (−9) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

$A$ and $B$ are inverses of each other.

$A$ と $B$ は互いに逆である。

Try It #1やってみよう1

Show that the following two matrices are inverses of each other.

次の二つの行列が互いに逆であることを示せ。

A = [\begin{array}{r} 1 & 4 \\ −1 & −3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −3 & −4 \\ 1 & 1 \end{array}]

Finding the Multiplicative Inverse Using Matrix Multiplication行列の掛け算を使って掛け算についての逆を求める

We can now determine whether two matrices are inverses, but how would we find the inverse of a given matrix? Since we know that the product of a matrix and its inverse is the identity matrix, we can find the inverse of a matrix by setting up an equation using matrix multiplication.

これで二つの行列が互いに逆かどうかは判定できるが、与えられた行列の逆はどう求めればよいか。行列とその逆の積が単位行列であることは分かっているので、行列の掛け算を使って式を立てれば行列の逆が求められる。

Example 3例3

Finding the Multiplicative Inverse Using Matrix Multiplication行列の掛け算を使って掛け算についての逆を求める

Use matrix multiplication to find the inverse of the given matrix.

行列の掛け算を使って、与えられた行列の逆を求めよ。

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}]

Solution 解答

For this method, we multiply $A$ by a matrix containing unknown constants and set it equal to the identity.

この方法では、 $A$ に未知の定数を含む行列を掛け、それを単位行列に等しいと置く。

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Find the product of the two matrices on the left side of the equal sign.

等号の左側の二つの行列の積を求める。

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 a −2 c & 1 b −2 d \\ 2 a −3 c & 2 b −3 d \end{array}]

Next, set up a system of equations with the entry in row 1, column 1 of the new matrix equal to the first entry of the identity, 1. Set the entry in row 2, column 1 of the new matrix equal to the corresponding entry of the identity, which is 0.

次に、新しい行列の1行1列の成分を単位行列の最初の成分1に等しいと置いて、連立方程式を立てる。新しい行列の2行1列の成分を、単位行列の対応する成分すなわち0に等しいと置く。

\begin{matrix} 1 a −2 c = 1 R_{1} \\ 2 a −3 c = 0 R_{2} \end{matrix}

Using row operations, multiply and add as follows: $(−2) R_{1} + R_{2} \to R_{2} .$ Add the equations, and solve for $c .$

行の演算を使い、次のように掛けて足す。 $(−2) R_{1} + R_{2} \to R_{2}$ 。式どうしを足し、 $c$ について解く。

\begin{array}{r} 1 a - 2 c = 1 \\ 0 + 1 c = - 2 \\ c = - 2 \end{array}

Back-substitute to solve for $a .$

後ろから代入して $a$ について解く。

\begin{array}{r} a −2 (−2) = 1 \\ a + 4 = 1 \\ a = −3 \end{array}

Write another system of equations setting the entry in row 1, column 2 of the new matrix equal to the corresponding entry of the identity, 0. Set the entry in row 2, column 2 equal to the corresponding entry of the identity.

新しい行列の1行2列の成分を単位行列の対応する成分0に等しいと置いて、もう一つ連立方程式を書く。2行2列の成分を単位行列の対応する成分に等しいと置く。

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 & R_{1} \\ 2 b −3 d = 1 & R_{2} \end{array}

Using row operations, multiply and add as follows: $(−2) R_{1} + R_{2} = R_{2} .$ Add the two equations and solve for $d .$

行の演算を使い、次のように掛けて足す。 $(−2) R_{1} + R_{2} = R_{2}$ 。二つの式を足し、 $d$ について解く。

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 \\ \frac{0 + 1 d = 1}{d = 1} \end{array}

Once more, back-substitute and solve for $b .$

もう一度、後ろから代入して $b$ について解く。

\begin{array}{r} b −2 (1) = 0 \\ b −2 = 0 \\ b = 2 \end{array}

A^{−1} = [\begin{array}{r} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{array}]

Finding the Multiplicative Inverse by Augmenting with the Identity単位行列を並べて掛け算についての逆を求める

Another way to find the multiplicative inverse is by augmenting with the identity. When matrix $A$ is transformed into $I,$ the augmented matrix $I$ transforms into $A^{−1} .$

掛け算についての逆を求めるもう一つのしかたは、単位行列を並べることである。行列 $A$ が $I$ に変わるとき、拡大した行列 $I$ は $A^{−1}$ に変わる。

For example, given

たとえば、次が与えられたとき、

A = [\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array}]

augment $A$ with the identity

$A$ に単位行列を並べる。

[\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Perform row operations with the goal of turning $A$ into the identity.

$A$ を単位行列にすることを目標に行の演算を行う。

1. Switch row 1 and row 2. $[\begin{array}{r} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ 2. Multiply row 2 by $−2$ and add to row 1. $[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ 3. Multiply row 1 by $−2$ and add to row 2. $[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 5 & −2 \end{array}]$ 4. Add row 2 to row 1. $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ 5 & −2 \end{array}]$ 5. Multiply row 2 by $−1.$ $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]$

1. 1行目と2行目を入れ替える。 $[\begin{array}{r} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ 2. 2行目に $−2$ を掛けて1行目に足す。 $[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ 3. 1行目に $−2$ を掛けて2行目に足す。 $[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 5 & −2 \end{array}]$ 4. 2行目を1行目に足す。 $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ 5 & −2 \end{array}]$ 5. 2行目に $−1.$ を掛ける。 $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]$

The matrix we have found is $A^{−1} .$

求まった行列が $A^{−1}$ である。

A^{−1} = [\begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]

Finding the Multiplicative Inverse of 2×2 Matrices Using a Formula公式を使って 2×2 行列の掛け算についての逆を求める

When we need to find the multiplicative inverse of a $2 \times 2$ matrix, we can use a special formula instead of using matrix multiplication or augmenting with the identity.

$2 \times 2$ 行列の掛け算についての逆を求めるときは、行列の掛け算を使ったり単位行列を並べたりする代わりに、特別な公式が使える。

If $A$ is a $2 \times 2$ matrix, such as

$A$ が次のような $2 \times 2$ 行列のとき、

A = [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}]

the multiplicative inverse of $A$ is given by the formula

$A$ の掛け算についての逆は次の公式で与えられる。

A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{r} d & - b \\ - c & a \end{array}]

where $a d - b c \neq 0.$ If $a d - b c = 0,$ then $A$ has no inverse.

ここで $a d - b c \neq 0.$ である。 $a d - b c = 0$ なら $A$ に逆は無い。

Example 4例4

Using the Formula to Find the Multiplicative Inverse of Matrix A公式を使って行列Aの掛け算についての逆を求める

Use the formula to find the multiplicative inverse of

公式を使って、次の掛け算についての逆を求めよ。

A = [\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix}]

Solution 解答

Using the formula, we have

公式を使うと、次を得る。

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{(1) (−3) - (−2) (2)} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{−3 + 4} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \end{array}

Analysis 考察

We can check that our formula works by using one of the other methods to calculate the inverse. Let’s augment $A$ with the identity.

別の方法で逆を計算すれば、この公式がはたらくことを確かめられる。 $A$ に単位行列を並べてみよう。

[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Perform row operations with the goal of turning $A$ into the identity.

$A$ を単位行列にすることを目標に行の演算を行う。

1. Multiply row 1 by $−2$ and add to row 2. $[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$ 2. Multiply row 2 by 2 and add to row 1. $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$

1. 1行目に $−2$ を掛けて2行目に足す。 $[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$ 2. 2行目に2を掛けて1行目に足す。 $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$

So, we have verified our original solution.

これで元の答えが確かめられた。

A^{−1} = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]

Try It #2やってみよう2

Use the formula to find the inverse of matrix $A .$ Verify your answer by augmenting with the identity matrix.

公式を使って行列 $A$ の逆を求めよ。単位行列を並べて答えを確かめよ。

A = [\begin{matrix} 1 & −1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

Example 5例5

Finding the Inverse of the Matrix, If It Exists行列の逆を、あるなら求める

Find the inverse, if it exists, of the given matrix.

与えられた行列の逆を、あるなら求めよ。

A = [\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

Solution 解答

We will use the method of augmenting with the identity.

単位行列を並べる方法を使う。

[\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

1. Switch row 1 and row 2. $[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 2. Multiply row 1 by −3 and add it to row 2. $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −3 & 1 \end{matrix}]$ 3. There is nothing further we can do. The zeros in row 2 indicate that this matrix has no inverse.

1. 1行目と2行目を入れ替える。 $[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 2. 1行目に−3を掛けて2行目に足す。 $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −3 & 1 \end{matrix}]$ 3. これ以上できることは無い。2行目の零は、この行列に逆が無いことを示す。

Finding the Multiplicative Inverse of 3×3 Matrices3×3 行列の掛け算についての逆を求める

Unfortunately, we do not have a formula similar to the one for a $2 \times 2$ matrix to find the inverse of a $3 \times 3$ matrix. Instead, we will augment the original matrix with the identity matrix and use row operations to obtain the inverse.

残念ながら、 $3 \times 3$ 行列の逆を求めるのに、 $2 \times 2$ 行列のときのような公式は無い。その代わりに、元の行列に単位行列を並べ、行の演算を使って逆を求める。

Given a $3 \times 3$ matrix

$3 \times 3$ 行列が与えられたとき、

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

augment $A$ with the identity matrix

$A$ に単位行列を並べる。

A | I = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

To begin, we write the augmented matrix with the identity on the right and $A$ on the left. Performing elementary row operations so that the identity matrix appears on the left, we will obtain the inverse matrix on the right. We will find the inverse of this matrix in the next example.

まず、右に単位行列、左に $A$ を置いた拡大した行列を書く。単位行列が左に現れるように基本の行の演算を行えば、右に逆行列が得られる。この行列の逆は次の例で求める。

How To 手順

Given a $3 \times 3$ matrix, find the inverse

$3 \times 3$ 行列が与えられたとき、その逆を求める

1. Write the original matrix augmented with the identity matrix on the right.2. Use elementary row operations so that the identity appears on the left.3. What is obtained on the right is the inverse of the original matrix.4. Use matrix multiplication to show that $A A^{−1} = I$ and $A^{−1} A = I .$

1. 元の行列の右に単位行列を並べて書く。2. 単位行列が左に現れるように基本の行の演算を使う。3. 右に得られたものが元の行列の逆である。4. 行列の掛け算を使って $A A^{−1} = I$ と $A^{−1} A = I$ を示せ。

Example 6例6

Finding the Inverse of a 3 × 3 Matrix3 × 3 行列の逆を求める

Given the $3 \times 3$ matrix $A,$ find the inverse.

$3 \times 3$ 行列 $A$ が与えられたとき、その逆を求めよ。

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

Solution 解答

Augment $A$ with the identity matrix, and then begin row operations until the identity matrix replaces $A .$ The matrix on the right will be the inverse of $A .$

$A$ に単位行列を並べ、単位行列が $A$ に置き換わるまで行の演算を始める。右の行列が $A$ の逆になる。

[\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{Interchange R_{2} and R_{1}}{\to} [\begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

- R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

- R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{array}]

R_{3} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & −2 & 0 \end{array}]

−3 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}]

Thus,

よって、

A^{−1} = B = [\begin{matrix} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{matrix}]

Analysis 考察

To prove that $B = A^{−1},$ let’s multiply the two matrices together to see if the product equals the identity, if $A A^{−1} = I$ and $A^{−1} A = I .$

$B = A^{−1}$ を証明するため、 $A A^{−1} = I$ と $A^{−1} A = I$ として、この二つの行列を掛け合わせて積が単位行列に等しいかを見よう。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A A^{−1} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{matrix} 2 (−1) + 3 (−1) + 1 (6) & 2 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 3 (−1) + 3 (−1) + 1 (6) & 3 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 3 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 2 (−1) + 4 (−1) + 1 (6) & 2 (1) + 4 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 4 (1) + 1 (−3) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A^{−1} A = [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & - 3 \end{array}] [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −1 (2) + 1 (3) + 0 (2) & −1 (3) + 1 (3) + 0 (4) & −1 (1) + 1 (1) + 0 (1) \\ −1 (2) + 0 (3) + 1 (2) & −1 (3) + 0 (3) + 1 (4) & −1 (1) + 0 (1) + 1 (1) \\ 6 (2) + −2 (3) + −3 (2) & 6 (3) + −2 (3) + −3 (4) & 6 (1) + −2 (1) + −3 (1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

Try It #3やってみよう3

Find the inverse of the $3 \times 3$ matrix.

$3 \times 3$ 行列の逆を求めよ。

A = [\begin{matrix} 2 & −17 & 11 \\ −1 & 11 & −7 \\ 0 & 3 & −2 \end{matrix}]

Solving a System of Linear Equations Using the Inverse of a Matrix行列の逆を使って連立一次方程式を解く

Solving a system of linear equations using the inverse of a matrix requires the definition of two new matrices: $X$ is the matrix representing the variables of the system, and $B$ is the matrix representing the constants. Using matrix multiplication, we may define a system of equations with the same number of equations as variables as

行列の逆を使って連立一次方程式を解くには、二つの新しい行列を定める必要がある。 $X$ はこの組の変数を表す行列、 $B$ は定数を表す行列である。行列の掛け算を使えば、式の数と変数の数が同じ連立方程式を次のように定められる。

A X = B

To solve a system of linear equations using an inverse matrix, let $A$ be the coefficient matrix, let $X$ be the variable matrix, and let $B$ be the constant matrix. Thus, we want to solve a system $A X = B .$ For example, look at the following system of equations.

逆行列を使って連立一次方程式を解くには、 $A$ を係数行列、 $X$ を変数の行列、 $B$ を定数の行列とする。よって、組 $A X = B$ を解きたい。たとえば、次の連立方程式を見よ。

\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

From this system, the coefficient matrix is

この組から、係数行列は次である。

A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}]

The variable matrix is

変数の行列は次である。

X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

And the constant matrix is

そして定数の行列は次である。

B = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Then $A X = B$ looks like

すると $A X = B$ は次のようになる。

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Recall the discussion earlier in this section regarding multiplying a real number by its inverse, $(2^{−1}) 2 = (\frac{1}{2}) 2 = 1.$ To solve a single linear equation $a x = b$ for $x,$ we would simply multiply both sides of the equation by the multiplicative inverse (reciprocal) of $a .$ Thus,

この節の前のほうの、実数にその逆を掛けることについての話 $(2^{−1}) 2 = (\frac{1}{2}) 2 = 1.$ を思い出せ。一つの一次方程式 $a x = b$ を $x$ について解くには、式の両辺に $a$ の掛け算についての逆(逆数)を掛けるだけでよい。よって、

\begin{matrix} a x = b \\ (\frac{1}{a}) a x = (\frac{1}{a}) b \\ (a^{−1}) a x = (a^{−1}) b \\ [(a^{−1}) a] x = (a^{−1}) b \\ 1 x = (a^{−1}) b \\ x = (a^{−1}) b \end{matrix}

The only difference between a solving a linear equation and a system of equations written in matrix form is that finding the inverse of a matrix is more complicated, and matrix multiplication is a longer process. However, the goal is the same—to isolate the variable.

一次方程式を解くのと、行列の形で書いた連立方程式を解くのとの違いは、行列の逆を求めるほうが込み入っていて、行列の掛け算のほうが長い手順になることだけである。だが目標は同じ、すなわち変数を一つだけ取り出すことである。

We will investigate this idea in detail, but it is helpful to begin with a $2 \times 2$ system and then move on to a $3 \times 3$ system.

この考えは詳しく調べるが、まず $2 \times 2$ の組から始め、そして $3 \times 3$ の組へ進むと分かりやすい。

Solving a System of Equations Using the Inverse of a Matrix 逆行列による連立方程式の解法

Given a system of equations, write the coefficient matrix $A,$ the variable matrix $X,$ and the constant matrix $B .$ Then

連立方程式が与えられたとき、係数行列 $A$ 、変数の行列 $X$ 、定数の行列 $B$ を書く。そして

A X = B

Multiply both sides by the inverse of $A$ to obtain the solution.

両辺に $A$ の逆を掛けて解を得る。

\begin{array}{r} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [(A^{−1}) A] X = (A^{−1}) B \\ I X = (A^{−1}) B \\ X = (A^{−1}) B \end{array}

Q&A 疑問と答え

If the coefficient matrix does not have an inverse, does that mean the system has no solution?

係数行列に逆が無いとき、その組に解は無いということか。

No, if the coefficient matrix is not invertible, the system could be inconsistent and have no solution, or be dependent and have infinitely many solutions.

そうではない。係数行列が正則でないとき、その組は解が無い場合もあれば、従属で解が無限にある場合もある。

Example 7例7

Solving a 2 × 2 System Using the Inverse of a Matrix行列の逆を使って 2 × 2 の組を解く

Solve the given system of equations using the inverse of a matrix.

行列の逆を使って、与えられた連立方程式を解け。

\begin{array}{r} 3 x + 8 y = 5 \\ 4 x + 11 y = 7 \end{array}

Solution 解答

Write the system in terms of a coefficient matrix, a variable matrix, and a constant matrix.

この組を、係数行列、変数の行列、定数の行列で書く。

A = [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}], X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

Then

そして

[\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

First, we need to calculate $A^{−1} .$ Using the formula to calculate the inverse of a 2 by 2 matrix, we have:

まず、 $A^{−1}$ を計算する必要がある。2元2列の行列の逆を計算する公式を使うと、次を得る。

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] \\ = \frac{1}{3 (11) −8 (4)} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{1} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{matrix}] \end{array}

So,

よって、

A^{−1} = [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & ​ ​ 3 \end{matrix}]

Now we are ready to solve. Multiply both sides of the equation by $A^{−1} .$

これで解く用意ができた。式の両辺に $A^{−1}$ を掛ける。

\begin{array}{l} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 (5) + (−8) 7 \\ −4 (5) + 3 (7) \end{array}] \\ [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −1 \\ 1 \end{array}] \end{array}

The solution is $(−1, 1) .$

解は $(−1, 1)$ である。

Q&A 疑問と答え

Can we solve for $X$ by finding the product $B A^{−1} ?$

積 $B A^{−1} ?$ を求めて $X$ について解けるか。

No, recall that matrix multiplication is not commutative, so $A^{−1} B \neq B A^{−1} .$ Consider our steps for solving the matrix equation.

解けない。行列の掛け算は交換できないので $A^{−1} B \neq B A^{−1}$ であることを思い出せ。この行列の式を解く手順を考えよ。

\begin{array}{r} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [(A^{−1}) A] X = (A^{−1}) B \\ I X = (A^{−1}) B \\ X = (A^{−1}) B \end{array}

Notice in the first step we multiplied both sides of the equation by $A^{−1},$ but the $A^{−1}$ was to the left of $A$ on the left side and to the left of $B$ on the right side. Because matrix multiplication is not commutative, order matters.

第一歩で式の両辺に $A^{−1}$ を掛けたが、 $A^{−1}$ は左辺では $A$ の左、右辺では $B$ の左にあったことに注意せよ。行列の掛け算は交換できないので、順序が効く。

Example 8例8

Solving a 3 × 3 System Using the Inverse of a Matrix行列の逆を使って 3 × 3 の組を解く

Solve the following system using the inverse of a matrix.

行列の逆を使って次の組を解け。

\begin{array}{r} 5 x + 15 y + 56 z = 35 \\ −4 x −11 y −41 z = −26 \\ - x −3 y −11 z = −7 \end{array}

Solution 解答

Write the equation $A X = B .$

式 $A X = B$ を書く。

[\begin{matrix} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 35 \\ −26 \\ −7 \end{array}]

First, we will find the inverse of $A$ by augmenting with the identity.

まず、単位行列を並べて $A$ の逆を求める。

[\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiply row 1 by $\frac{1}{5} .$

1行目に $\frac{1}{5}$ を掛ける。

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiply row 1 by 4 and add to row 2.

1行目に4を掛けて2行目に足す。

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Add row 1 to row 3.

1行目を3行目に足す。

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiply row 2 by −3 and add to row 1.

2行目に−3を掛けて1行目に足す。

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiply row 3 by 5.

3行目に5を掛ける。

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiply row 3 by $\frac{1}{5}$ and add to row 1.

3行目に $\frac{1}{5}$ を掛けて1行目に足す。

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiply row 3 by $- \frac{19}{5}$ and add to row 2.

3行目に $- \frac{19}{5}$ を掛けて2行目に足す。

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

So,

よって、

A^{−1} = [\begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiply both sides of the equation by $A^{−1} .$ We want $A^{−1} A X = A^{−1} B :$

式の両辺に $A^{−1}$ を掛ける。 $A^{−1} A X = A^{−1} B :$ を求めたい。

[\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 35 \\ −26 \\ −7 \end{array}]

Thus,

よって、

A^{−1} B = [\begin{array}{r} −70 + 78 −7 \\ −105 −26 + 133 \\ 35 + 0 −35 \end{array}] = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}]

The solution is $(1, 2, 0) .$

解は $(1, 2, 0)$ である。

Try It #4やってみよう4

Solve the system using the inverse of the coefficient matrix.

係数行列の逆を使ってこの組を解け。

\begin{array}{l} 2 x - 17 y + 11 z = 0 \\ - x + 11 y - 7 z = 8 \\ 3 y - 2 z = −2 \end{array}

How To 手順

Given a system of equations, solve with matrix inverses using a calculator.

連立方程式が与えられたとき、電卓を使って逆行列で解く。

1. Save the coefficient matrix and the constant matrix as matrix variables $[A]$ and $[B] .$ 2. Enter the multiplication into the calculator, calling up each matrix variable as needed.3. If the coefficient matrix is invertible, the calculator will present the solution matrix; if the coefficient matrix is not invertible, the calculator will present an error message.

1. 係数行列と定数の行列を、行列の変数 $[A]$ と $[B]$ として保存する。2. 必要に応じて各行列の変数を呼び出しながら、掛け算を電卓に入れる。3. 係数行列が正則なら電卓は答えの行列を示す。係数行列が正則でないなら、電卓は誤りの知らせを示す。

Example 9例9

Using a Calculator to Solve a System of Equations with Matrix Inverses電卓を使い、逆行列で連立方程式を解く

Solve the system of equations with matrix inverses using a calculator

電卓を使い、逆行列でこの連立方程式を解け。

\begin{array}{l} 2 x + 3 y + z = 32 \\ 3 x + 3 y + z = −27 \\ 2 x + 4 y + z = −2 \end{array}

Solution 解答

On the matrix page of the calculator, enter the coefficient matrix as the matrix variable $[A],$ and enter the constant matrix as the matrix variable $[B] .$

電卓の行列の画面で、係数行列を行列の変数 $[A]$ として入れ、定数の行列を行列の変数 $[B]$ として入れる。

[A] = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}], [B] = [\begin{matrix} 32 \\ −27 \\ −2 \end{matrix}]

On the home screen of the calculator, type in the multiplication to solve for $X,$ calling up each matrix variable as needed.

電卓の最初の画面で、必要に応じて各行列の変数を呼び出しながら、 $X$ について解く掛け算を打ち込む。

{[A]}^{−1} \times [B]

Evaluate the expression.

この式の値を求める。

[\begin{matrix} −59 \\ −34 \\ 252 \end{matrix}]

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with solving systems with inverses.

逆行列で連立方程式を解くことについての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• The Identity Matrix• Determining Inverse Matrices• Using a Matrix Equation to Solve a System of Equations

・単位行列・逆行列を求める・行列の式を使って連立方程式を解く

Verbal言葉で答える問題

1. In a previous section, we showed that matrix multiplication is not commutative, that is, $A B \neq B A$ in most cases. Can you explain why matrix multiplication is commutative for matrix inverses, that is, $A^{−1} A = A A^{−1} ?$

1. 前の節で、行列の掛け算は交換できず、ほとんどの場合 $A B \neq B A$ であることを示した。逆行列については、すなわち $A^{−1} A = A A^{−1} ?$ については、行列の掛け算が交換できるのはなぜかを説明できるか。

2. Does every $2 \times 2$ matrix have an inverse? Explain why or why not. Explain what condition is necessary for an inverse to exist.

2. どの $2 \times 2$ 行列にも逆はあるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。逆があるためにどんな条件が要るかを説明せよ。

3. Can you explain whether a $2 \times 2$ matrix with an entire row of zeros can have an inverse?

3. 一つの行がすべて零である $2 \times 2$ 行列に逆がありうるかどうかを説明できるか。

4. Can a matrix with an entire column of zeros have an inverse? Explain why or why not.

4. 一つの列がすべて零である行列に逆はありうるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。

5. Can a matrix with zeros on the diagonal have an inverse? If so, find an example. If not, prove why not. For simplicity, assume a $2 \times 2$ matrix.

5. 対角線上に零がある行列に逆はありうるか。ありうるなら例を挙げよ。ありえないなら、なぜありえないかを証明せよ。簡単のため $2 \times 2$ 行列とせよ。

Algebraic代数の問題

In the following exercises, show that matrix $A$ is the inverse of matrix $B .$

次の各問について、行列 $A$ が行列 $B$ の逆であることを示せ。

6. $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

7. $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}]$

8. $A = [\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{5} & - \frac{4}{35} \end{matrix}]$

9. $A = [\begin{matrix} −2 & \frac{1}{2} \\ 3 & −1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & −1 \\ −6 & −4 \end{matrix}]$

10. $A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}], B = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 2 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}]$

11. $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 6 & 9 \end{matrix}], B = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 6 & 0 & −2 \\ 17 & −3 & −5 \\ −12 & 2 & 4 \end{matrix}]$

12. $A = [\begin{matrix} 3 & 8 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 12 \end{matrix}], B = \frac{1}{36} [\begin{matrix} −6 & 84 & −6 \\ 7 & −26 & 1 \\ −1 & −22 & 5 \end{matrix}]$

For the following exercises, find the multiplicative inverse of each matrix, if it exists.

次の各問について、各行列の掛け算についての逆を、あるなら求めよ。

13. $[\begin{matrix} 3 & −2 \\ 1 & 9 \end{matrix}]$

14. $[\begin{matrix} −2 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}]$

15. $[\begin{matrix} −3 & 7 \\ 9 & 2 \end{matrix}]$

16. $[\begin{matrix} −4 & −3 \\ −5 & 8 \end{matrix}]$

17. $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

18. $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

19. $[\begin{matrix} 0.5 & 1.5 \\ 1 & −0.5 \end{matrix}]$

20. $[\begin{matrix} 1 & 0 & 6 \\ −2 & 1 & 7 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}]$

21. $[\begin{matrix} 0 & 1 & −3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]$

22. $[\begin{matrix} 1 & 2 & −1 \\ −3 & 4 & 1 \\ −2 & −4 & −5 \end{matrix}]$

23. $[\begin{matrix} 1 & 9 & −3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 4 & −2 & 7 \end{matrix}]$

24. $[\begin{matrix} 1 & −2 & 3 \\ −4 & 8 & −12 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix}]$

25. $[\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \end{matrix}]$

26. $[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$

For the following exercises, solve the system using the inverse of a $2 \times 2$ matrix.

次の各問について、 $2 \times 2$ 行列の逆を使ってこの組を解け。

27. $\begin{array}{l} 5 x - 6 y = - 61 \\ 4 x + 3 y = - 2 \end{array}$

28. $\begin{array}{l} 8 x + 4 y = −100 \\ 3 x −4 y = 1 \end{array}$

29. $\begin{array}{l} 3 x −2 y = 6 \\ - x + 5 y = −2 \end{array}$

30. $\begin{array}{l} 5 x −4 y = −5 \\ 4 x + y = 2.3 \end{array}$

31. $\begin{array}{l} −3 x −4 y = 9 \\ 12 x + 4 y = −6 \end{array}$

32. $\begin{array}{l} −2 x + 3 y = \frac{3}{10} \\ - x + 5 y = \frac{1}{2} \end{array}$

33. $\begin{array}{l} \frac{8}{5} x - \frac{4}{5} y = \frac{2}{5} \\ - \frac{8}{5} x + \frac{1}{5} y = \frac{7}{10} \end{array}$

34. $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{1}{5} y = - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y = - \frac{9}{4} \end{array}$

For the following exercises, solve a system using the inverse of a $3 \times 3$ matrix.

次の各問について、 $3 \times 3$ 行列の逆を使って組を解け。

35. $\begin{array}{l} 3 x −2 y + 5 z = 21 \\ 5 x + 4 y = 37 \\ x −2 y −5 z = 5 \end{array}$

36. $\begin{array}{l} 4 x + 4 y + 4 z = 40 \\ 2 x - 3 y + 4 z = −12 \\ - x + 3 y + 4 z = 9 \end{array}$

37. $\begin{array}{l} 6 x - 5 y - z = 31 \\ - x + 2 y + z = −6 \\ 3 x + 3 y + 2 z = 13 \end{array}$

38. $\begin{array}{l} 6 x −5 y + 2 z = −4 \\ 2 x + 5 y - z = 12 \\ 2 x + 5 y + z = 12 \end{array}$

39. $\begin{array}{l} 4 x −2 y + 3 z = −12 \\ 2 x + 2 y −9 z = 33 \\ 6 y −4 z = 1 \end{array}$

40. $\begin{array}{l} \frac{1}{10} x - \frac{1}{5} y + 4 z = \frac{−41}{2} \\ \frac{1}{5} x −20 y + \frac{2}{5} z = −101 \\ \frac{3}{10} x + 4 y - \frac{3}{10} z = 23 \end{array}$

41. $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} y + \frac{1}{5} z = \frac{31}{100} \\ - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} z = \frac{7}{40} \\ - \frac{4}{5} x - \frac{1}{2} y + \frac{3}{2} z = \frac{1}{4} \end{array}$

42. $\begin{array}{l} 0.1 x + 0.2 y + 0.3 z = −1.4 \\ 0.1 x −0.2 y + 0.3 z = 0.6 \\ 0.4 y + 0.9 z = −2 \end{array}$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator to solve the system of equations with matrix inverses.

次の各問について、電卓を使い、逆行列でこの連立方程式を解け。

43. $\begin{array}{l} 2 x - y = −3 \\ - x + 2 y = 2.3 \end{array}$

44. $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} y = - \frac{43}{20} \\ \frac{5}{2} x + \frac{11}{5} y = \frac{31}{4} \end{array}$

45. $\begin{array}{l} 12.3 x −2 y −2.5 z = 2 \\ 36.9 x + 7 y −7.5 z = −7 \\ 8 y −5 z = −10 \end{array}$

46. $\begin{array}{l} 0.5 x −3 y + 6 z = −0.8 \\ 0.7 x −2 y = −0.06 \\ 0.5 x + 4 y + 5 z = 0 \end{array}$

Extensions発展問題

For the following exercises, find the inverse of the given matrix.

次の各問について、与えられた行列の逆を求めよ。

47. $[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$

48. $[\begin{array}{r} - 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

49. $[\begin{array}{r} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

50. $[\begin{array}{r} 1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

51. $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Real-World Applications現実世界への応用

For the following exercises, write a system of equations that represents the situation. Then, solve the system using the inverse of a matrix.

次の各問について、状況を表す連立方程式を書け。そして行列の逆を使ってこの組を解け。

52. 2,400 tickets were sold for a basketball game. If the prices for floor 1 and floor 2 were different, and the total amount of money brought in is $64,000, how much was the price of each ticket?

52. あるバスケットボールの試合で券が2,400枚売れた。1階と2階で値段が違い、集まった金額の合計が64,000ドルなら、各券の値段はいくらか。

53. In the previous exercise, if you were told there were 400 more tickets sold for floor 2 than floor 1, how much was the price of each ticket?

53. 前の問いで、2階の券が1階より400枚多く売れたと言われたとすると、各券の値段はいくらか。

54. A food drive collected two different types of canned goods, green beans and kidney beans. The total number of collected cans was 350 and the total weight of all donated food was 348 lb, 12 oz. If the green bean cans weigh 2 oz less than the kidney bean cans, how many of each can was donated?

54. ある食料の寄付集めで、いんげん豆といんげん(赤いんげん)の二種類の缶詰が集まった。集まった缶の合計は350個で、寄付された食料全体の重さは348ポンド12オンスだった。いんげん豆の缶が赤いんげんの缶より2オンス軽いとすると、各缶は何個ずつ寄付されたか。

55. Students were asked to bring their favorite fruit to class. 95% of the fruits consisted of banana, apple, and oranges. If oranges were twice as popular as bananas, and apples were 5% less popular than bananas, what are the percentages of each individual fruit?

55. 学生たちが好きな果物を教室に持ってくるよう言われた。果物の95%はバナナ、りんご、みかんだった。みかんがバナナの2倍の人気で、りんごがバナナより5%人気が低かったとすると、各果物の割合はそれぞれ何パーセントか。

56. The nursing club held a bake sale to raise money and sold brownies and chocolate chip cookies. They priced the brownies at $1 and the chocolate chip cookies at $0.75. They raised $700 and sold 850 items. How many brownies and how many cookies were sold?

56. 看護のクラブが資金集めの菓子の販売を開き、ブラウニーとチョコチップクッキーを売った。ブラウニーを1ドル、チョコチップクッキーを0.75ドルの値段にした。700ドルを集め、850個を売った。ブラウニーとクッキーは何個ずつ売れたか。

57. A clothing store needs to order new inventory. It has three different types of hats for sale: straw hats, beanies, and cowboy hats. The straw hat is priced at $13.99, the beanie at $7.99, and the cowboy hat at $14.49. If 100 hats were sold this past quarter, $1,119 was taken in by sales, and the amount of beanies sold was 10 more than cowboy hats, how many of each should the clothing store order to replace those already sold?

57. ある衣料品店が新しい在庫を注文する必要がある。売り物の帽子は三種類ある。麦わら帽子、ニット帽、カウボーイ帽である。麦わら帽子は13.99ドル、ニット帽は7.99ドル、カウボーイ帽は14.49ドルの値段が付いている。この四半期に帽子が100個売れ、売り上げは1,119ドルで、売れたニット帽の数がカウボーイ帽より10個多かったとすると、この衣料品店は売れた分を補うために各種類を何個ずつ注文すべきか。

58. Anna, Percy, and Morgan weigh a combined 370 lb. If Morgan weighs 20 lb more than Percy, and Anna weighs 1.5 times as much as Percy, how much does each person weigh?

58. アナ、パーシー、モーガンの体重は合わせて370ポンドである。モーガンがパーシーより20ポンド重く、アナがパーシーの1.5倍の重さなら、各人の体重はいくらか。

59. Three roommates shared a package of 12 ice cream bars, but no one remembers who ate how many. If Micah ate twice as many ice cream bars as Joe, and Albert ate three less than Micah, how many ice cream bars did each roommate eat?

59. 三人の同居人がアイスクリームバー12本の包みを分け合ったが、誰が何本食べたかは誰も覚えていない。ミカがジョーの2倍の本数を食べ、アルバートがミカより3本少なく食べたとすると、各同居人は何本ずつ食べたか。

60. A farmer constructed a chicken coop out of chicken wire, wood, and plywood. The chicken wire cost $2 per square foot, the wood $10 per square foot, and the plywood $5 per square foot. The farmer spent a total of $51, and the total amount of materials used was $14 {ft}^{2} .$ He used ${3 ft}^{2}$ more chicken wire than plywood. How much of each material in did the farmer use?

60. ある農家が金網、木材、合板で鶏小屋を作った。金網は1平方フィートあたり2ドル、木材は10ドル、合板は5ドルだった。この農家は合計51ドルを使い、使った材料の合計は $14 {ft}^{2}$ だった。金網は合板より ${3 ft}^{2}$ 多く使った。この農家は各材料をどれだけ使ったか。

61. Jay has lemon, orange, and pomegranate trees in his backyard. An orange weighs 8 oz, a lemon 5 oz, and a pomegranate 11 oz. Jay picked 142 pieces of fruit weighing a total of 70 lb, 10 oz. He picked 15.5 times more oranges than pomegranates. How many of each fruit did Jay pick?

61. ジェイの裏庭にはレモン、みかん、ざくろの木がある。みかんは1個8オンス、レモンは5オンス、ざくろは11オンスである。ジェイは合わせて70ポンド10オンスの果物を142個もいだ。みかんはざくろの15.5倍もいだ。ジェイは各果物を何個ずつもいだか。