第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

We have learned how to solve systems of equations in two variables and three variables, and by multiple methods: substitution, addition, Gaussian elimination, using the inverse of a matrix, and graphing. Some of these methods are easier to apply than others and are more appropriate in certain situations. In this section, we will study two more strategies for solving systems of equations.

二変数と三変数の連立方程式を、いくつもの方法で解くしかたを学んできた。代入、足し算、ガウスの消去法、行列の逆を使うこと、グラフである。この中には、ほかより使いやすく、ある状況ではよりふさわしい方法もある。この節では、連立方程式を解く戦略をあと二つ学ぶ。

A determinant is a real number that can be very useful in mathematics because it has multiple applications, such as calculating area, volume, and other quantities. Here, we will use determinants to reveal whether a matrix is invertible by using the entries of a square matrix to determine whether there is a solution to the system of equations. Perhaps one of the more interesting applications, however, is their use in cryptography. Secure signals or messages are sometimes sent encoded in a matrix. The data can only be decrypted with an invertible matrix and the determinant. For our purposes, we focus on the determinant as an indication of the invertibility of the matrix. Calculating the determinant of a matrix involves following the specific patterns that are outlined in this section.

行列式とは、面積、体積、その他の量の計算など多くの応用があるので、数学でたいへん役に立つ実数である。ここでは、正方行列の成分を使ってその連立方程式に解があるかどうかを決め、それによって行列が正則かどうかを明らかにするのに行列式を使う。だがおそらく、より面白い応用の一つは暗号での使い道である。安全な信号や文は、行列に暗号化して送られることがある。この資料は、正則な行列と行列式でしか解読できない。ここでの目的としては、行列が正則かどうかの目印としての行列式に絞る。行列の行列式の計算は、この節で述べる決まった型に従って行う。

We will now introduce a final method for solving systems of equations that uses determinants. Known as Cramer’s Rule, this technique dates back to the middle of the 18th century and is named for its innovator, the Swiss mathematician Gabriel Cramer (1704-1752), who introduced it in 1750 in Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques. Cramer’s Rule is a viable and efficient method for finding solutions to systems with an arbitrary number of unknowns, provided that we have the same number of equations as unknowns.

ここで、行列式を使って連立方程式を解く最後の方法を導入する。クラメルの公式として知られるこの手法は18世紀の半ばにさかのぼり、これを編み出したスイスの数学者ガブリエル・クラメル(1704-1752)にちなむ名である。彼は1750年に『代数曲線の解析入門』でこれを導入した。クラメルの公式は、未知数と同じ数の式があるかぎり、未知数がいくつであってもその組の解を求められる、実用的で効率のよい方法である。

Cramer’s Rule will give us the unique solution to a system of equations, if it exists. However, if the system has no solution or an infinite number of solutions, this will be indicated by a determinant of zero. To find out if the system is inconsistent or dependent, another method, such as elimination, will have to be used.

クラメルの公式は、連立方程式のただ一つの解が存在するなら、それを与える。だがその組に解が無いか解が無限にあるなら、行列式が零になることでそれが示される。その組に解が無いのか従属なのかを知るには、消去などの別の方法を使わねばならない。

To understand Cramer’s Rule, let’s look closely at how we solve systems of linear equations using basic row operations. Consider a system of two equations in two variables.

クラメルの公式を理解するために、基本の行の演算で連立一次方程式をどう解くかをよく見よう。二変数二式の組を考えよ。

We eliminate one variable using row operations and solve for the other. Say that we wish to solve for $x.$ If equation (2) is multiplied by the opposite of the coefficient of $y$ in equation (1), equation (1) is multiplied by the coefficient of $y$ in equation (2), and we add the two equations, the variable $y$ will be eliminated.

行の演算で一つの変数を消し、もう一つについて解く。$x$ について解きたいとしよう。式(2)に式(1)の $y$ の係数の符号を変えたものを掛け、式(1)に式(2)の $y$ の係数を掛け、二つの式を足せば、変数 $y$ が消える。

Now, solve for $x.$

では、$x$ について解く。

Similarly, to solve for $y,$ we will eliminate $x.$

同じように、$y$ について解くには $x$ を消す。

Solving for $y$ gives

$y$ について解くと、次を得る。

Notice that the denominator for both $x$ and $y$ is the determinant of the coefficient matrix.

$x$ と $y$ のどちらの分母も、係数行列の行列式であることに注意せよ。

We can use these formulas to solve for $x$ and $y,$ but Cramer’s Rule also introduces new notation:

この公式を使って $x$ と $y$ について解けるが、クラメルの公式は新しい表記も導入する。

• $D:$ determinant of the coefficient matrix• $D_x:$ determinant of the numerator in the solution of $x$ $$x=\frac{D_x}{D}$$• $D_y:$ determinant of the numerator in the solution of $y$ $$y=\frac{D_y}{D}$$

・$D:$ 係数行列の行列式・$D_x:$ $x$ $$x=\frac{D_x}{D}$$ の解の分子の行列式・$D_y:$ $y$ $$y=\frac{D_y}{D}$$ の解の分子の行列式

The key to Cramer’s Rule is replacing the variable column of interest with the constant column and calculating the determinants. We can then express $x$ and $y$ as a quotient of two determinants.

クラメルの公式の要は、目当ての変数の列を定数の列で置き換えて行列式を計算することである。そうすれば $x$ と $y$ を二つの行列式の商として表せる。

Finding the determinant of a 2×2 matrix is straightforward, but finding the determinant of a 3×3 matrix is more complicated. One method is to augment the 3×3 matrix with a repetition of the first two columns, giving a 3×5 matrix. Then we calculate the sum of the products of entries down each of the three diagonals (upper left to lower right), and subtract the products of entries up each of the three diagonals (lower left to upper right). This is more easily understood with a visual and an example.

2×2 行列の行列式を求めるのは素直だが、3×3 行列の行列式を求めるのはもっと込み入っている。一つの方法は、3×3 行列に初めの二列を繰り返して並べ、3×5 行列にすることである。そして三つの斜め(左上から右下)に沿った成分の積の和を計算し、三つの斜め(左下から右上)に沿った成分の積を引く。これは図と例を見ればもっとよく分かる。

Find the determinant of the 3×3 matrix.

3×3 行列の行列式を求めよ。

The algebra is as follows:

代数は次のとおりである。

Now that we can find the determinant of a 3 × 3 matrix, we can apply Cramer’s Rule to solve a system of three equations in three variables. Cramer’s Rule is straightforward, following a pattern consistent with Cramer’s Rule for 2 × 2 matrices. As the order of the matrix increases to 3 × 3, however, there are many more calculations required.

3 × 3 行列の行列式が求められるようになったので、クラメルの公式を使って三変数三式の連立方程式を解ける。クラメルの公式は素直で、2 × 2 行列のクラメルの公式と同じ型に従う。だが行列の型が 3 × 3 に大きくなると、必要な計算はずっと多くなる。

When we calculate the determinant to be zero, Cramer’s Rule gives no indication as to whether the system has no solution or an infinite number of solutions. To find out, we have to perform elimination on the system.

行列式が零と計算されたとき、クラメルの公式は、その組に解が無いのか解が無限にあるのかを示さない。それを知るには、この組に消去を行わねばならない。

Consider a 3 × 3 system of equations.

3 × 3 の連立方程式を考えよ。

where

ここで

If we are writing the determinant $D_x,$ we replace the $x$ column with the constant column. If we are writing the determinant $D_y,$ we replace the $y$ column with the constant column. If we are writing the determinant $D_z,$ we replace the $z$ column with the constant column. Always check the answer.

行列式 $D_x$ を書くなら、$x$ の列を定数の列で置き換える。行列式 $D_y$ を書くなら、$y$ の列を定数の列で置き換える。行列式 $D_z$ を書くなら、$z$ の列を定数の列で置き換える。答えはつねに確かめよ。

There are many properties of determinants. Listed here are some properties that may be helpful in calculating the determinant of a matrix.

行列式の性質は多い。ここに挙げるのは、行列の行列式を計算するのに役立ちうる性質である。

For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, calculate the determinant. Will there be a unique solution? If so, find the unique solution.

次の各問について、その振る舞いを述べる連立一次方程式を作れ。そして行列式を計算せよ。解はただ一つあるか。あるなら、そのただ一つの解を求めよ。

For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, solve the system for all solutions using Cramer’s Rule.

次の各問について、その振る舞いを述べる連立一次方程式を作れ。そしてクラメルの公式を使って、この組の解をすべて求めよ。

For the following exercises, use this scenario: A health-conscious company decides to make a trail mix out of almonds, dried cranberries, and chocolate-covered cashews. The nutritional information for these items is shown in Table 1.

次の各問では、次の筋書きを使え。健康を意識するある会社が、アーモンド、乾燥クランベリー、チョコレートをかけたカシューナッツで携行食を作ることにした。これらの品の栄養の情報を表1に示す。