第11章連立方程式と連立不等式Systems of Equations and Inequalities

11.1 Systems of Linear Equations: Two Variables11.1 連立一次方程式: 二変数

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Solve systems of equations by graphing.• Solve systems of equations by substitution.• Solve systems of equations by addition.• Identify inconsistent systems of equations containing two variables.• Express the solution of a system of dependent equations containing two variables.

・グラフで連立方程式を解く。・代入で連立方程式を解く。・足し算で連立方程式を解く。・二変数を含む解の無い連立方程式を見分ける。・二変数を含む従属な連立方程式の解を表す。

A skateboarder catches air in a concrete skatepark with the ocean and a sunset horizon in the background. Other people are seen relaxing on the beach and in the skatepark. — Figure 1 (credit: Thomas Sørenes)

A skateboard manufacturer introduces a new line of boards. The manufacturer tracks its costs, which is the amount it spends to produce the boards, and its revenue, which is the amount it earns through sales of its boards. How can the company determine if it is making a profit with its new line? How many skateboards must be produced and sold before a profit is possible? In this section, we will consider linear equations with two variables to answer these and similar questions.

あるスケートボードの製造業者が新しい板の系列を売り出す。この業者は、板を作るのに使う額である費用と、板の売り上げから得る額である収入を追っている。この会社は、新しい系列で利益が出ているかどうかをどう判断できるか。利益が出るには、スケートボードを何台作って売らなければならないか。この節では、この種の問いに答えるために二変数の一次方程式を考える。

Introduction to Systems of Equations連立方程式への導入

In order to investigate situations such as that of the skateboard manufacturer, we need to recognize that we are dealing with more than one variable and likely more than one equation. A system of linear equations consists of two or more linear equations made up of two or more variables such that all equations in the system are considered simultaneously. To find the unique solution to a system of linear equations, we must find a numerical value for each variable in the system that will satisfy all equations in the system at the same time. Some linear systems may not have a solution and others may have an infinite number of solutions. In order for a linear system to have a unique solution, there must be at least as many equations as there are variables. Even so, this does not guarantee a unique solution.

スケートボードの製造業者のような状況を調べるには、変数が一つより多く、式もおそらく一つより多いことを認めねばならない。連立一次方程式とは、二つ以上の変数からなる二つ以上の一次方程式で、その組のすべての式を同時に考えるものである。連立一次方程式のただ一つの解を求めるには、その組のすべての式を同時に満たすような、各変数の数値を求めねばならない。連立一次方程式には解が無いものもあれば、解が無限にあるものもある。連立一次方程式にただ一つの解があるためには、少なくとも変数の数だけの式が要る。それでも、ただ一つの解があると保証されるわけではない。

In this section, we will look at systems of linear equations in two variables, which consist of two equations that contain two different variables. For example, consider the following system of linear equations in two variables.

この節では、二変数の連立一次方程式、すなわち二つの異なる変数を含む二つの式からなるものを見る。たとえば、次の二変数の連立一次方程式を考えよ。

\begin{matrix} 2 x + y = 15 \\ 3 x - y = 5 \end{matrix}

The solution to a system of linear equations in two variables is any ordered pair that satisfies each equation independently. In this example, the ordered pair (4, 7) is the solution to the system of linear equations. We can verify the solution by substituting the values into each equation to see if the ordered pair satisfies both equations. Shortly we will investigate methods of finding such a solution if it exists.

二変数の連立一次方程式の解とは、各式をそれぞれ満たす順序対すべてである。この例では、順序対 (4, 7) がこの連立一次方程式の解である。値を各式に代入し、その順序対が両方の式を満たすかを見れば、解を確かめられる。まもなく、そのような解があるならそれを求める方法を調べる。

\begin{array}{l} 2 (4) + (7) = 15 True \\ 3 (4) - (7) = 5 True \end{array}

In addition to considering the number of equations and variables, we can categorize systems of linear equations by the number of solutions. A consistent system of equations has at least one solution. A consistent system is considered to be an independent system if it has a single solution, such as the example we just explored. The two lines have different slopes and intersect at one point in the plane. A consistent system is considered to be a dependent system if the equations have the same slope and the same y-intercepts. In other words, the lines coincide so the equations represent the same line. Every point on the line represents a coordinate pair that satisfies the system. Thus, there are an infinite number of solutions.

式と変数の数を考えることに加えて、連立一次方程式は解の数でも分類できる。解を持つ連立方程式には少なくとも一つ解がある。解を持つ連立方程式は、いま調べた例のように解がただ一つなら、独立な組とされる。二直線は傾きが違い、平面上の一点で交わる。解を持つ連立方程式は、式の傾きが同じで y軸との交点も同じなら、従属な組とされる。言い換えれば、直線が重なるので、二つの式は同じ直線を表す。その直線上のどの点も、この組を満たす座標の対を表す。よって解は無限にある。

Another type of system of linear equations is an inconsistent system, which is one in which the equations represent two parallel lines. The lines have the same slope and different y-intercepts. There are no points common to both lines; hence, there is no solution to the system.

連立一次方程式のもう一つの型は解の無い組で、これは二つの式が二本の平行な直線を表すものである。二直線は傾きが同じで y軸との交点が違う。両方の直線に共通の点は無い。ゆえにこの組に解は無い。

Types of Linear Systems 連立一次方程式の分類

There are three types of systems of linear equations in two variables, and three types of solutions.

二変数の連立一次方程式には三つの型があり、解にも三つの型がある。

• An independent system has exactly one solution pair $(x, y) .$ The point where the two lines intersect is the only solution.• An inconsistent system has no solution. Notice that the two lines are parallel and will never intersect.• A dependent system has infinitely many solutions. The lines are coincident. They are the same line, so every coordinate pair on the line is a solution to both equations.

・独立な組には、解の対 $(x, y)$ がちょうど一つある。二直線が交わる点が唯一の解である。・解の無い組には解が無い。二直線が平行で、けっして交わらないことに注意せよ。・従属な組には解が無限にある。二直線は重なる。同じ直線なので、その直線上のどの座標の対も両方の式の解である。

Figure 2 compares graphical representations of each type of system.

図2に、各型のグラフによる表しかたを比べて示す。

This image presents three graphs, each depicting a different type of linear system. The first graph on the left shows an

How To 手順

Given a system of linear equations and an ordered pair, determine whether the ordered pair is a solution.

連立一次方程式と順序対が与えられたとき、その順序対が解かどうかを判定する。

1. Substitute the ordered pair into each equation in the system.2. Determine whether true statements result from the substitution in both equations; if so, the ordered pair is a solution.

1. その順序対をこの組の各式に代入する。2. 両方の式で代入の結果が正しい式になるかを判定する。そうなれば、その順序対は解である。

Example 1例1

Determining Whether an Ordered Pair Is a Solution to a System of Equations順序対が連立方程式の解かどうかを判定する

Determine whether the ordered pair $(5, 1)$ is a solution to the given system of equations.

順序対 $(5, 1)$ が、与えられた連立方程式の解かどうかを判定せよ。

\begin{array}{l} x + 3 y = 8 \\ 2 x - 9 = y \end{array}

Solution 解答

Substitute the ordered pair $(5, 1)$ into both equations.

順序対 $(5, 1)$ を両方の式に代入する。

\begin{array}{l} (5) + 3 (1) = 8 \\ 8 = 8 & True \\ 2 (5) - 9 = (1) \\ 1=1 & True \end{array}

The ordered pair $(5, 1)$ satisfies both equations, so it is the solution to the system.

順序対 $(5, 1)$ は両方の式を満たすので、これがこの組の解である。

Analysis 考察

We can see the solution clearly by plotting the graph of each equation. Since the solution is an ordered pair that satisfies both equations, it is a point on both of the lines and thus the point of intersection of the two lines. See Figure 3.

各式のグラフを描けば解がはっきり見える。解は両方の式を満たす順序対なので、それは両方の直線上の点、すなわち二直線の交点である。図3を見よ。

A graph displays two intersecting lines representing the equations x + 3y = 8 (red) and 2x - 9 = y (blue), with their intersection point clearly marked at (5, 1).

Try It #1やってみよう1

Determine whether the ordered pair $(8, 5)$ is a solution to the following system.

順序対 $(8, 5)$ が次の組の解かどうかを判定せよ。

\begin{matrix} 5 x −4 y = 20 \\ 2 x + 1 = 3 y \end{matrix}

Solving Systems of Equations by Graphingグラフで連立方程式を解く

There are multiple methods of solving systems of linear equations. For a system of linear equations in two variables, we can determine both the type of system and the solution by graphing the system of equations on the same set of axes.

連立一次方程式を解く方法は複数ある。二変数の連立一次方程式では、同じ座標軸の組にこの連立方程式のグラフを描けば、組の型と解の両方が決められる。

Example 2例2

Solving a System of Equations in Two Variables by Graphing二変数の連立方程式をグラフで解く

Solve the following system of equations by graphing. Identify the type of system.

次の連立方程式をグラフで解け。組の型を見分けよ。

\begin{matrix} 2 x + y = −8 \\ x - y = −1 \end{matrix}

Solution 解答

Solve the first equation for $y .$

一つ目の式を $y$ について解く。

\begin{matrix} 2 x + y = −8 \\ y = −2 x −8 \end{matrix}

Solve the second equation for $y .$

二つ目の式を $y$ について解く。

\begin{matrix} x - y = −1 \\ y = x + 1 \end{matrix}

Graph both equations on the same set of axes as in Figure 4.

図4のように、同じ座標軸の組に両方の式のグラフを描く。

This image displays a Cartesian coordinate system with grid lines, an x-axis, and a y-axis. Two linear equations are plotted. The first line is red and labeled

The lines appear to intersect at the point $(−3, −2) .$ We can check to make sure that this is the solution to the system by substituting the ordered pair into both equations.

二直線は点 $(−3, −2)$ で交わるように見える。この順序対を両方の式に代入すれば、これがこの組の解であることを確かめられる。

\begin{array}{l} 2 (−3) + (−2) = −8 \\ −8 = −8 & True \\ (−3) - (−2) = −1 \\ −1 = −1 & True \end{array}

The solution to the system is the ordered pair $(−3, −2),$ so the system is independent.

この組の解は順序対 $(−3, −2)$ なので、この組は独立である。

Try It #2やってみよう2

Solve the following system of equations by graphing.

次の連立方程式をグラフで解け。

\begin{array}{l} 2 x - 5 y = −25 \\ - 4 x + 5 y = 35 \end{array}

Q&A 疑問と答え

Can graphing be used if the system is inconsistent or dependent?

組に解が無い場合や従属な場合でも、グラフは使えるか。

Yes, in both cases we can still graph the system to determine the type of system and solution. If the two lines are parallel, the system has no solution and is inconsistent. If the two lines are identical, the system has infinite solutions and is a dependent system.

使える。どちらの場合も、組の型と解を決めるためにグラフを描ける。二直線が平行なら、この組に解は無く、解の無い組である。二直線が同一なら、この組には解が無限にあり、従属な組である。

Solving Systems of Equations by Substitution代入で連立方程式を解く

Solving a linear system in two variables by graphing works well when the solution consists of integer values, but if our solution contains decimals or fractions, it is not the most precise method. We will consider two more methods of solving a system of linear equations that are more precise than graphing. One such method is solving a system of equations by the substitution method, in which we solve one of the equations for one variable and then substitute the result into the second equation to solve for the second variable. Recall that we can solve for only one variable at a time, which is the reason the substitution method is both valuable and practical.

二変数の一次の組をグラフで解くのは、解が整数の値からなるときはうまくいくが、解に小数や分数が含まれるときはもっとも精密な方法ではない。グラフより精密な、連立一次方程式を解く方法をあと二つ考える。その一つが代入法で連立方程式を解くことであり、一方の式を一つの変数について解き、その結果をもう一方の式に代入して二つ目の変数について解く。一度に一つの変数についてしか解けないことを思い出せ。これこそ代入法が値打ちがあり実用的でもある理由である。

How To 手順

Given a system of two equations in two variables, solve using the substitution method.

二変数の二つの式の組が与えられたとき、代入法を使って解く。

1. Solve one of the two equations for one of the variables in terms of the other.2. Substitute the expression for this variable into the second equation, then solve for the remaining variable.3. Substitute that solution into either of the original equations to find the value of the first variable. If possible, write the solution as an ordered pair.4. Check the solution in both equations.

1. 二つの式の一方を、一つの変数について、もう一つの変数で表して解く。2. この変数の式を二つ目の式に代入し、そして残りの変数について解く。3. その解を元の式のどちらかに代入し、一つ目の変数の値を求める。できるなら解を順序対として書く。4. 両方の式で解を確かめる。

Example 3例3

Solving a System of Equations in Two Variables by Substitution二変数の連立方程式を代入で解く

Solve the following system of equations by substitution.

次の連立方程式を代入で解け。

\begin{array}{l} - x + y = −5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{array}

Solution 解答

First, we will solve the first equation for $y .$

まず、一つ目の式を $y$ について解く。

\begin{array}{l} - x + y = −5 \\ y = x −5 \end{array}

Now we can substitute the expression $x −5$ for $y$ in the second equation.

これで、二つ目の式の $y$ に式 $x −5$ を代入できる。

\begin{array}{l} 2 x - 5 y = 1 \\ 2 x - 5 (x - 5) = 1 \\ 2 x - 5 x + 25 = 1 \\ - 3 x = −24 \\ x = 8 \end{array}

Now, we substitute $x = 8$ into the first equation and solve for $y .$

次に、 $x = 8$ を一つ目の式に代入し、 $y$ について解く。

\begin{array}{l} - (8) + y = −5 \\ y = 3 \end{array}

Our solution is $(8, 3) .$

解は $(8, 3)$ である。

Check the solution by substituting $(8, 3)$ into both equations.

$(8, 3)$ を両方の式に代入して解を確かめよ。

\begin{array}{l} - x + y = - 5 \\ - (8) + (3) = - 5 & True \\ 2 x - 5 y = 1 \\ 2 (8) - 5 (3) = 1 & True \end{array}

Try It #3やってみよう3

Solve the following system of equations by substitution.

次の連立方程式を代入で解け。

\begin{array}{l} x = y + 3 \\ 4 = 3 x −2 y \end{array}

Q&A 疑問と答え

Can the substitution method be used to solve any linear system in two variables?

代入法は、二変数のどんな一次の組を解くのにも使えるか。

Yes, but the method works best if one of the equations contains a coefficient of 1 or –1 so that we do not have to deal with fractions.

使えるが、この方法は、一方の式に係数1か–1が含まれていて分数を扱わずにすむときに、もっともうまくいく。

Solving Systems of Equations in Two Variables by the Addition Method足し算法で二変数の連立方程式を解く

A third method of solving systems of linear equations is the addition method. In this method, we add two terms with the same variable, but opposite coefficients, so that the sum is zero. Of course, not all systems are set up with the two terms of one variable having opposite coefficients. Often we must adjust one or both of the equations by multiplication so that one variable will be eliminated by addition.

連立一次方程式を解く三つ目の方法は足し算法である。この方法では、同じ変数を持つが係数の符号が逆である二つの項を足し、和を零にする。もちろん、どの組も、一つの変数の二つの項の係数の符号が逆になっているわけではない。しばしば、片方または両方の式に掛け算をして直し、足し算で一つの変数が消えるようにしなければならない。

How To 手順

Given a system of equations, solve using the addition method.

連立方程式が与えられたとき、足し算法を使って解く。

1. Write both equations with x- and y-variables on the left side of the equal sign and constants on the right.2. Write one equation above the other, lining up corresponding variables. If one of the variables in the top equation has the opposite coefficient of the same variable in the bottom equation, add the equations together, eliminating one variable. If not, use multiplication by a nonzero number so that one of the variables in the top equation has the opposite coefficient of the same variable in the bottom equation, then add the equations to eliminate the variable.3. Solve the resulting equation for the remaining variable.4. Substitute that value into one of the original equations and solve for the second variable.5. Check the solution by substituting the values into the other equation.

1. 両方の式を、等号の左辺に x と y の変数、右辺に定数が来るように書く。2. 一方の式をもう一方の上に、対応する変数をそろえて書く。上の式の変数の一つが、下の式の同じ変数と符号が逆の係数を持つなら、式どうしを足して一つの変数を消す。そうでないなら、上の式の変数の一つが下の式の同じ変数と符号が逆の係数を持つように零でない数を掛け、そして式どうしを足してその変数を消す。3. できた式を残りの変数について解く。4. その値を元の式の一つに代入し、二つ目の変数について解く。5. 値をもう一方の式に代入して解を確かめる。

Example 4例4

Solving a System by the Addition Method足し算法で組を解く

Solve the given system of equations by addition.

与えられた連立方程式を足し算で解け。

\begin{array}{l} x + 2 y = −1 \\ - x + y = 3 \end{array}

Solution 解答

Both equations are already set equal to a constant. Notice that the coefficient of $x$ in the second equation, –1, is the opposite of the coefficient of $x$ in the first equation, 1. We can add the two equations to eliminate $x$ without needing to multiply by a constant.

両方の式がすでに定数に等しいと置かれている。二つ目の式の $x$ の係数 –1 が、一つ目の式の $x$ の係数 1 と符号が逆であることに注意せよ。定数を掛ける必要なく、二つの式を足して $x$ を消せる。

\frac{\begin{array}{l} x + 2 y = - 1 \\ - x + y = 3 \end{array}}{3 y = 2}

Now that we have eliminated $x,$ we can solve the resulting equation for $y .$

$x$ を消したので、できた式を $y$ について解ける。

\begin{array}{l} 3 y = 2 \\ y = \frac{2}{3} \end{array}

Then, we substitute this value for $y$ into one of the original equations and solve for $x .$

そして、この $y$ の値を元の式の一つに代入し、 $x$ について解く。

\begin{array}{l} - x + y = 3 \\ - x + \frac{2}{3} = 3 \\ - x = 3 - \frac{2}{3} \\ - x = \frac{7}{3} \\ x = - \frac{7}{3} \end{array}

The solution to this system is $(- \frac{7}{3}, \frac{2}{3}) .$

この組の解は $(- \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$ である。

Check the solution in the first equation.

一つ目の式で解を確かめよ。

\begin{array}{l} x + 2 y = −1 \\ (- \frac{7}{3}) + 2 (\frac{2}{3}) = \\ - \frac{7}{3} + \frac{4}{3} = \\ - \frac{3}{3} = \\ −1 = −1 & True \end{array}

Analysis 考察

We gain an important perspective on systems of equations by looking at the graphical representation. See Figure 5 to find that the equations intersect at the solution. We do not need to ask whether there may be a second solution because observing the graph confirms that the system has exactly one solution.

グラフによる表しかたを見ると、連立方程式についての大切な見方が得られる。図5を見ると、二つの式が解のところで交わるのが分かる。二つ目の解がありうるかを問う必要はない。グラフを見れば、この組の解がちょうど一つだと確かめられるからである。

This graph displays a system of two linear equations plotted on a coordinate plane. The blue line represents the equation x + 2y = -1, while the red line represents the equation -x + y = 3. The point where these two lines intersect, indicated by a black dot, is the solution to the system of equations and is labeled as (-7/3, 2/3). The x-axis ranges from -6 to 6, and the y-axis ranges from -5 to 5, with a grid background to aid in reading the coordinates.

Example 5例5

Using the Addition Method When Multiplication of One Equation Is Required一方の式に掛け算が要るときに足し算法を使う

Solve the given system of equations by the addition method.

与えられた連立方程式を足し算法で解け。

\begin{array}{l} 3 x + 5 y = −11 \\ x - 2 y = 11 \end{array}

Solution 解答

Adding these equations as presented will not eliminate a variable. However, we see that the first equation has $3 x$ in it and the second equation has $x .$ So if we multiply the second equation by $−3,$ the x-terms will add to zero.

この式をこのまま足しても変数は消えない。だが、一つ目の式には $3 x$ があり、二つ目の式には $x$ があるのが分かる。よって二つ目の式に $−3$ を掛ければ、x の項は足して零になる。

\begin{array}{l} x −2 y = 11 \\ −3 (x −2 y) = −3 (11) & Multiply both sides by −3. \\ −3 x + 6 y = −33 & Use the distributive property . \end{array}

Now, let’s add them.

では、足そう。

\begin{array}{l} \underset{_______________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} 3 x + 5 y = −11 \\ −3 x + 6 y = −33 \end{array} \end{array}} \\ 11 y = −44 \\ y = −4 \end{array}

For the last step, we substitute $y = −4$ into one of the original equations and solve for $x .$

最後の一歩として、 $y = −4$ を元の式の一つに代入し、 $x$ について解く。

\begin{matrix} 3 x + 5 y = - 11 \\ 3 x + 5 (- 4) = - 11 \\ 3 x - 20 = - 11 \\ 3 x = 9 \\ x = 3 \end{matrix}

Our solution is the ordered pair $(3, −4) .$ See Figure 6. Check the solution in the original second equation.

解は順序対 $(3, −4)$ である。図6を見よ。元の二つ目の式で解を確かめよ。

\begin{array}{l} x - 2 y = 11 \\ (3) - 2 (- 4) = 3 + 8 \\ 11 = 11 & True \end{array}

A graph shows two linear equations, 3x + 5y = -11 (red) and x - 2y = 11 (blue), intersecting at the point (3, -4) on a Cartesian coordinate system.

Try It #4やってみよう4

Solve the system of equations by addition.

この連立方程式を足し算で解け。

\begin{matrix} 2 x −7 y = 2 \\ 3 x + y = −20 \end{matrix}

Example 6例6

Using the Addition Method When Multiplication of Both Equations Is Required両方の式に掛け算が要るときに足し算法を使う

Solve the given system of equations in two variables by addition.

与えられた二変数の連立方程式を足し算で解け。

\begin{matrix} 2 x + 3 y = −16 \\ 5 x −10 y = 30 \end{matrix}

Solution 解答

One equation has $2 x$ and the other has $5 x .$ The least common multiple is $10 x$ so we will have to multiply both equations by a constant in order to eliminate one variable. Let’s eliminate $x$ by multiplying the first equation by $−5$ and the second equation by $2.$

一方の式には $2 x$ 、もう一方には $5 x$ がある。最小公倍数は $10 x$ なので、一つの変数を消すには両方の式に定数を掛けなければならない。一つ目の式に $−5$ 、二つ目の式に $2.$ を掛けて $x$ を消そう。

\begin{array}{l} - 5 (2 x + 3 y) = - 5 (−16) \\ - 10 x - 15 y = 80 \\ 2 (5 x - 10 y) = 2 (30) \\ 10 x - 20 y = 60 \end{array}

Then, we add the two equations together.

そして、二つの式を足し合わせる。

\begin{array}{l} \underset{________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} −10 x −15 y = 80 \\ 10 x −20 y = 60 \end{array} \end{array}} \\ −35 y = 140 \\ y = −4 \end{array}

Substitute $y = −4$ into the original first equation.

$y = −4$ を元の一つ目の式に代入する。

\begin{matrix} 2 x + 3 (−4) = −16 \\ 2 x - 12 = −16 \\ 2 x = −4 \\ x = −2 \end{matrix}

The solution is $(−2, −4) .$ Check it in the other equation.

解は $(−2, −4)$ である。もう一方の式で確かめよ。

\begin{array}{r} 5 x −10 y = 30 \\ 5 (−2) −10 (−4) = 30 \\ −10 + 40 = 30 \\ 30 = 30 \end{array}

See Figure 7.

図7を見よ。

A graph displays two intersecting lines: a red line representing 2x + 3y = -16 and a blue line representing 5x - 10y = 30. Their intersection point is labeled as (-2, -4).

Example 7例7

Using the Addition Method in Systems of Equations Containing Fractions分数を含む連立方程式で足し算法を使う

Solve the given system of equations in two variables by addition.

与えられた二変数の連立方程式を足し算で解け。

\begin{array}{l} \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = ​ 1 \end{array}

Solution 解答

First clear each equation of fractions by multiplying both sides of the equation by the least common denominator.

まず、各式の両辺に最小公分母を掛けて分数を払う。

\begin{array}{l} 6 (\frac{x}{3} + \frac{y}{6}) = 6 (3) \\ 2 x + y = 18 \\ 4 (\frac{x}{2} - \frac{y}{4}) = 4 (1) \\ 2 x - y = 4 \end{array}

Now multiply the second equation by $−1$ so that we can eliminate the x-variable.

次に、x の変数を消せるように二つ目の式に $−1$ を掛ける。

\begin{array}{l} −1 (2 x - y) = −1 (4) \\ −2 x + y = −4 \end{array}

Add the two equations to eliminate the x-variable and solve the resulting equation.

二つの式を足して x の変数を消し、できた式を解く。

\begin{array}{l} 2 x + y = 18 \\ \underset{_____________}{−2 x + y = −4} \\ 2 y = 14 \\ y = 7 \end{array}

Substitute $y = 7$ into the first equation.

$y = 7$ を一つ目の式に代入する。

\begin{array}{l} 2 x + (7) = 18 \\ 2 x = 11 \\ x = \frac{11}{2} \\ = 5.5 \end{array}

The solution is $(\frac{11}{2}, 7) .$ Check it in the other equation.

解は $(\frac{11}{2}, 7)$ である。もう一方の式で確かめよ。

\begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1 \\ \frac{\frac{11}{2}}{2} - \frac{7}{4} = 1 \\ \frac{11}{4} - \frac{7}{4} = 1 \\ \frac{4}{4} = 1 \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Solve the system of equations by addition.

この連立方程式を足し算で解け。

\begin{matrix} 2 x + 3 y & = & 8 \\ 3 x + 5 y & = & 10 \end{matrix}

Identifying Inconsistent Systems of Equations Containing Two Variables二変数を含む解の無い連立方程式を見分ける

Now that we have several methods for solving systems of equations, we can use the methods to identify inconsistent systems. Recall that an inconsistent system consists of parallel lines that have the same slope but different $y$ -intercepts. They will never intersect. When searching for a solution to an inconsistent system, we will come up with a false statement, such as $12 = 0.$

連立方程式を解く方法がいくつか手に入ったので、その方法を使って解の無い組を見分けられる。解の無い組は、傾きが同じで $y$ 軸との交点が違う平行な直線からなることを思い出せ。それらはけっして交わらない。解の無い組の解を探すと、 $12 = 0.$ のような偽の式にたどり着く。

Example 8例8

Solving an Inconsistent System of Equations解の無い連立方程式を解く

Solve the following system of equations.

次の連立方程式を解け。

\begin{array}{l} x = 9 −2 y \\ x + 2 y = 13 \end{array}

Solution 解答

We can approach this problem in two ways. Because one equation is already solved for $x,$ the most obvious step is to use substitution.

この問題には二通りの近づき方がある。一方の式がすでに $x$ について解かれているので、いちばん見えやすい一歩は代入を使うことである。

\begin{array}{l} x + 2 y = 13 \\ (9 - 2 y) + 2 y = 13 \\ 9 + 0 y = 13 \\ 9 = 13 \end{array}

Clearly, this statement is a contradiction because $9 \neq 13.$ Therefore, the system has no solution.

明らかに、 $9 \neq 13.$ なのでこの式は矛盾である。したがって、この組に解は無い。

The second approach would be to first manipulate the equations so that they are both in slope-intercept form. We manipulate the first equation as follows.

二つ目の近づき方は、まず両方の式を傾きと切片の形にすることである。一つ目の式を次のように変形する。

\begin{array}{l} x = 9 −2 y \\ 2 y = - x + 9 \\ y = - \frac{1}{2} x + \frac{9}{2} \end{array}

We then convert the second equation expressed to slope-intercept form.

そして二つ目の式を傾きと切片の形に直す。

\begin{array}{l} x + 2 y = 13 \\ 2 y = - x + 13 \\ y = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} \end{array}

Comparing the equations, we see that they have the same slope but different y-intercepts. Therefore, the lines are parallel and do not intersect.

二つの式を比べると、傾きが同じで y軸との交点が違うことが分かる。したがって二直線は平行で、交わらない。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = - \frac{1}{2} x + \frac{9}{2} \end{array} \\ y = - \frac{1}{2} x + \frac{13}{2} \end{array}

Analysis 考察

Writing the equations in slope-intercept form confirms that the system is inconsistent because all lines will intersect eventually unless they are parallel. Parallel lines will never intersect; thus, the two lines have no points in common. The graphs of the equations in this example are shown in Figure 8.

式を傾きと切片の形で書けば、この組に解が無いことが確かめられる。平行でないかぎり、どの直線もいつかは交わるからである。平行な直線はけっして交わらない。ゆえに二直線に共通の点は無い。この例の式のグラフを図8に示す。

A Cartesian coordinate system shows two distinct parallel lines. The red line, labeled with the equation y = -1/2x + 9/2, has a negative slope and a y-intercept of 4.5. The blue line, labeled with the equation y = -1/2x + 13/2, also has a negative slope of -1/2 and a y-intercept of 6.5. Both lines extend across the grid, with the x-axis ranging from -12 to 12 and the y-axis ranging from -12 to 12, marked with increments of 2.

Try It #6やってみよう6

Solve the following system of equations in two variables.

次の二変数の連立方程式を解け。

\begin{array}{l} 2 y −2 x = 2 \\ 2 y −2 x = 6 \end{array}

Expressing the Solution of a System of Dependent Equations Containing Two Variables二変数を含む従属な連立方程式の解を表す

Recall that a dependent system of equations in two variables is a system in which the two equations represent the same line. Dependent systems have an infinite number of solutions because all of the points on one line are also on the other line. After using substitution or addition, the resulting equation will be an identity, such as $0 = 0.$

二変数の従属な連立方程式とは、二つの式が同じ直線を表す組であることを思い出せ。従属な組には解が無限にある。一方の直線上のすべての点が、もう一方の直線上にもあるからである。代入や足し算を使うと、できる式は $0 = 0.$ のような恒等式になる。

Example 9例9

Finding a Solution to a Dependent System of Linear Equations一次の従属な連立方程式の解を求める

Find a solution to the system of equations using the addition method.

足し算法を使って、この連立方程式の解を求めよ。

\begin{matrix} x + 3 y = 2 \\ 3 x + 9 y = 6 \end{matrix}

Solution 解答

With the addition method, we want to eliminate one of the variables by adding the equations. In this case, let’s focus on eliminating $x .$ If we multiply both sides of the first equation by $−3,$ then we will be able to eliminate the $x$ -variable.

足し算法では、式どうしを足して変数の一つを消したい。この場合、 $x$ を消すことに絞ろう。一つ目の式の両辺に $−3$ を掛ければ、 $x$ の変数を消せる。

\begin{array}{l} x + 3 y = 2 \\ (−3) (x + 3 y) = (−3) (2) \\ −3 x - 9 y = - 6 \end{array}

Now add the equations.

では式どうしを足す。

\begin{array}{l} \underset{______________}{\begin{array}{l} - 3 x - 9 y & = −6 \\ + 3 x + 9 y & = 6 \end{array}} \\ \begin{array}{l} 0 & = 0 \end{array} \end{array}

We can see that there will be an infinite number of solutions that satisfy both equations.

両方の式を満たす解が無限にあることが分かる。

Analysis 考察

If we rewrote both equations in the slope-intercept form, we might know what the solution would look like before adding. Let’s look at what happens when we convert the system to slope-intercept form.

両方の式を傾きと切片の形に書き直していれば、足す前に解がどうなるか分かったかもしれない。この組を傾きと切片の形に直すとどうなるかを見よう。

\begin{array}{l} x + 3 y = 2 \\ 3 y = - x + 2 \\ y = - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} \\ 3 x + 9 y = 6 \\ 9 y = −3 x + 6 \\ y = - \frac{3}{9} x + \frac{6}{9} \\ y = - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} \end{array}

See Figure 9. Notice the results are the same. The general solution to the system is $(x, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) .$

図9を見よ。結果が同じであることに注意せよ。この組の一般の解は $(x, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$ である。

A coordinate plane displays the graphs of two linear equations. The first equation, x + 3y = 2, is represented by a red line. The second equation, 3x + 9y = 6, is represented by a blue line. Both lines are coincident, meaning they overlap perfectly, indicating that the two equations are equivalent and have infinitely many solutions. The x-axis is labeled from -5 to 5, and the y-axis is labeled from -5 to 5. The lines pass through points such as (2, 0) and (-4, 2).

Try It #7やってみよう7

Solve the following system of equations in two variables.

次の二変数の連立方程式を解け。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y −2 x = 5 \end{array} \\ −3 y + 6 x = −15 \end{array}

Using Systems of Equations to Investigate Profits連立方程式を使って利益を調べる

Using what we have learned about systems of equations, we can return to the skateboard manufacturing problem at the beginning of the section. The skateboard manufacturer’s revenue function is the function used to calculate the amount of money that comes into the business. It can be represented by the equation $R = x p,$ where $x =$ quantity and $p =$ price. The revenue function is shown in orange in Figure 10.

連立方程式について学んだことを使えば、この節の初めのスケートボードの製造の問題に戻れる。スケートボードの製造業者の収入関数とは、商売に入ってくる金額を計算するのに使う関数である。これは式 $R = x p$ で表せる。ここで $x =$ は数量、 $p =$ は価格である。収入関数を図10に橙色で示す。

The cost function is the function used to calculate the costs of doing business. It includes fixed costs, such as rent and salaries, and variable costs, such as utilities. The cost function is shown in blue in Figure 10. The $x$ -axis represents quantity in hundreds of units. The y-axis represents either cost or revenue in hundreds of dollars.

費用関数とは、商売をするのにかかる費用を計算するのに使う関数である。これには地代や給料のような固定費と、光熱費のような変動費が含まれる。費用関数を図10に青で示す。 $x$ 軸は数量を百台単位で表す。y軸は費用または収入を百ドル単位で表す。

A break-even graph plots Money (in hundreds of dollars) vs. Quantity (in hundreds of units), showing Cost, Revenue, and the break-even point at (7, 33), with profit/loss regions.

The point at which the two lines intersect is called the break-even point. We can see from the graph that if 700 units are produced, the cost is $3,300 and the revenue is also $3,300. In other words, the company breaks even if they produce and sell 700 units. They neither make money nor lose money.

二直線が交わる点を損益分岐点という。グラフから、700台作れば費用は3,300ドル、収入も3,300ドルだと分かる。言い換えれば、この会社は700台作って売れば損得なしになる。もうけも損もしない。

The shaded region to the right of the break-even point represents quantities for which the company makes a profit. The shaded region to the left represents quantities for which the company suffers a loss. The profit function is the revenue function minus the cost function, written as $P (x) = R (x) - C (x) .$ Clearly, knowing the quantity for which the cost equals the revenue is of great importance to businesses.

損益分岐点の右の影を付けた領域は、この会社が利益を出す数量を表す。左の影を付けた領域は、この会社が損を出す数量を表す。利益関数は収入関数から費用関数を引いたもので、 $P (x) = R (x) - C (x)$ と書く。費用が収入に等しくなる数量を知ることが、商売にとってきわめて重要なのは明らかである。

Example 10例10

Finding the Break-Even Point and the Profit Function Using Substitution代入を使って損益分岐点と利益関数を求める

Given the cost function $C (x) = 0.85 x + 35,000$ and the revenue function $R (x) = 1.55 x,$ find the break-even point and the profit function.

費用関数 $C (x) = 0.85 x + 35,000$ と収入関数 $R (x) = 1.55 x$ が与えられたとき、損益分岐点と利益関数を求めよ。

Solution 解答

Write the system of equations using $y$ to replace function notation.

関数の表記を $y$ に置き換えて、連立方程式を書く。

\begin{array}{l} \begin{array}{l} y = 0.85 x + 35,000 \end{array} \\ y = 1.55 x \end{array}

Substitute the expression $0.85 x + 35,000$ from the first equation into the second equation and solve for $x .$

一つ目の式の $0.85 x + 35,000$ の式を二つ目の式に代入し、 $x$ について解く。

\begin{matrix} 0.85 x + 35,000 = 1.55 x \\ 35,000 = 0.7 x \\ 50,000 = x \end{matrix}

Then, we substitute $x = 50,000$ into either the cost function or the revenue function.

そして、 $x = 50,000$ を費用関数か収入関数のどちらかに代入する。

1.55 (50,000) = 77,500

The break-even point is $(50,000, 77,500) .$

損益分岐点は $(50,000, 77,500)$ である。

The profit function is found using the formula $P (x) = R (x) - C (x) .$

利益関数は公式 $P (x) = R (x) - C (x)$ で求まる。

\begin{array}{l} P (x) = 1.55 x - (0.85 x + 35, 000) \\ = 0.7 x - 35, 000 \end{array}

The profit function is $P (x) = 0.7 x −35,000.$

利益関数は $P (x) = 0.7 x −35,000.$ である。

Analysis 考察

The cost to produce 50,000 units is $77,500, and the revenue from the sales of 50,000 units is also $77,500. To make a profit, the business must produce and sell more than 50,000 units. See Figure 11.

50,000台作る費用は77,500ドル、50,000台の売り上げからの収入も77,500ドルである。利益を出すには、この商売は50,000台より多く作って売らなければならない。図11を見よ。

A line graph plots 'Dollars' on the y-axis against 'Quantity' on the x-axis. The blue line represents the Revenue function, R(x) = 1.55x, starting from the origin. The red line represents the Cost function, C(x) = 0.85x + 35,000, starting from a y-intercept of 35,000. The two lines intersect at a point labeled 'Break-even point' with coordinates (50,000, 77,500). The shaded area where the revenue line is above the cost line, to the right of the break-even point, is labeled 'Profit'. The x-axis ranges from 0 to 100,000, and the y-axis ranges from 0 to 100,000.

We see from the graph in Figure 12 that the profit function has a negative value until $x = 50,000,$ when the graph crosses the x-axis. Then, the graph emerges into positive y-values and continues on this path as the profit function is a straight line. This illustrates that the break-even point for businesses occurs when the profit function is 0. The area to the left of the break-even point represents operating at a loss.

図12のグラフから、利益関数はグラフが x軸と交わる $x = 50,000$ まで負の値をとることが分かる。そのあとグラフは正の y の値へ出て、利益関数はまっすぐな直線なのでその道を進み続ける。これは、商売の損益分岐点が利益関数が0になるところで起こることを示している。損益分岐点の左の領域は、損を出しながら営むことを表す。

A line graph showing profit P(x) = 0.7x - 35,000. The x-axis is quantity, y-axis is dollars profit. The break-even point is at (50,000, 0), where profit is zero.

Example 11例11

Writing and Solving a System of Equations in Two Variables二変数の連立方程式を立てて解く

The cost of a ticket to the circus is $$ 25.00$ for children and $$ 50.00$ for adults. On a certain day, attendance at the circus is $2,000$ and the total gate revenue is $$ 70,000.$ How many children and how many adults bought tickets?

曲馬団の切符の値段は、子どもが $$ 25.00$ 、大人が $$ 50.00$ である。ある日、曲馬団の入場者数は $2,000$ で、入場料の収入の合計は $$ 70,000.$ だった。子どもと大人はそれぞれ何人が切符を買ったか。

Solution 解答

Let c = the number of children and a = the number of adults in attendance.

c を入場した子どもの人数、a を入場した大人の人数とする。

The total number of people is $2,000.$ We can use this to write an equation for the number of people at the circus that day.

人数の合計は $2,000.$ である。これを使って、その日の曲馬団の人数についての式が書ける。

c + a = 2,000

The revenue from all children can be found by multiplying $$ 25.00$ by the number of children, $25 c .$ The revenue from all adults can be found by multiplying $$ 50.00$ by the number of adults, $50 a .$ The total revenue is $$ 70,000.$ We can use this to write an equation for the revenue.

子ども全員からの収入は、 $$ 25.00$ に子どもの人数 $25 c$ を掛ければ求まる。大人全員からの収入は、 $$ 50.00$ に大人の人数 $50 a$ を掛ければ求まる。収入の合計は $$ 70,000.$ である。これを使って収入についての式が書ける。

25 c + 50 a = 70,000

We now have a system of linear equations in two variables.

これで二変数の連立一次方程式ができた。

\begin{matrix} c + a = 2,000 \\ 25 c + 50 a = 70,000 \end{matrix}

In the first equation, the coefficient of both variables is 1. We can quickly solve the first equation for either $c$ or $a .$ We will solve for $a .$

一つ目の式では、どちらの変数の係数も1である。一つ目の式は $c$ でも $a$ でもすぐに解ける。ここでは $a$ について解く。

\begin{matrix} c + a = 2,000 \\ a = 2,000 - c \end{matrix}

Substitute the expression $2,000 - c$ in the second equation for $a$ and solve for $c .$

二つ目の式の $a$ に式 $2,000 - c$ を代入し、 $c$ について解く。

\begin{array}{l} 25 c + 50 (2,000 - c) = 70,000 \\ 25 c + 100,000 - 50 c = 70,000 \\ - 25 c = −30,000 \\ c = 1,200 \end{array}

Substitute $c = 1,200$ into the first equation to solve for $a .$

$c = 1,200$ を一つ目の式に代入して $a$ について解く。

\begin{array}{l} 1,200 + a = 2,000 \\ a = 800 \end{array}

We find that $1,200$ children and $800$ adults bought tickets to the circus that day.

その日、 $1,200$ 人の子どもと $800$ 人の大人が曲馬団の切符を買ったと分かる。

Try It #8やってみよう8

Meal tickets at the circus cost $$ 4.00$ for children and $$ 12.00$ for adults. If $1,650$ meal tickets were bought for a total of $$ 14,200,$ how many children and how many adults bought meal tickets?

曲馬団の食事券の値段は、子どもが $$ 4.00$ 、大人が $$ 12.00$ である。 $1,650$ 枚の食事券が合計 $$ 14,200$ で買われたとすると、子どもと大人はそれぞれ何人が食事券を買ったか。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with systems of linear equations.

連立一次方程式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Solving Systems of Equations Using Substitution• Solving Systems of Equations Using Elimination• Applications of Systems of Equations

・代入を使って連立方程式を解く・消去を使って連立方程式を解く・連立方程式の応用

Verbal言葉で答える問題

1. Can a system of linear equations have exactly two solutions? Explain why or why not.

1. 連立一次方程式に解がちょうど二つあることはありうるか。なぜそうか、あるいはなぜそうでないかを説明せよ。

2. If you are performing a break-even analysis for a business and their cost and revenue equations are dependent, explain what this means for the company’s profit margins.

2. ある商売の損益分岐の分析を行っていて、費用の式と収入の式が従属だったとき、それがその会社の利幅にとって何を意味するかを説明せよ。

3. If you are solving a break-even analysis and get a negative break-even point, explain what this signifies for the company?

3. 損益分岐の分析をしていて、損益分岐点が負になったとき、それがその会社にとって何を示すかを説明せよ。

4. If you are solving a break-even analysis and there is no break-even point, explain what this means for the company. How should they ensure there is a break-even point?

4. 損益分岐の分析をしていて、損益分岐点が無いとき、それがその会社にとって何を意味するかを説明せよ。損益分岐点があるようにするには、どうすればよいか。

5. Given a system of equations, explain at least two different methods of solving that system.

5. 連立方程式が与えられたとき、その組を解く少なくとも二つの異なる方法を説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, determine whether the given ordered pair is a solution to the system of equations.

次の各問について、与えられた順序対がこの連立方程式の解かどうかを判定せよ。

6. $\begin{matrix} 5 x - y = 4 \\ x + 6 y = 2 \end{matrix}$ and $(4, 0)$

6. $\begin{matrix} 5 x - y = 4 \\ x + 6 y = 2 \end{matrix}$ と $(4, 0)$

7. $\begin{array}{l} −3 x - 5 y = 13 \\ - x + 4 y = 10 \end{array}$ and $(−6, 1)$

7. $\begin{array}{l} −3 x - 5 y = 13 \\ - x + 4 y = 10 \end{array}$ と $(−6, 1)$

8. $\begin{matrix} 3 x + 7 y = 1 \\ 2 x + 4 y = 0 \end{matrix}$ and $(2, 3)$

8. $\begin{matrix} 3 x + 7 y = 1 \\ 2 x + 4 y = 0 \end{matrix}$ と $(2, 3)$

9. $\begin{array}{l} −2 x + 5 y = 7 \\ 2 x + 9 y = 7 \end{array}$ and $(−1, 1)$

9. $\begin{array}{l} −2 x + 5 y = 7 \\ 2 x + 9 y = 7 \end{array}$ と $(−1, 1)$

10. $\begin{matrix} x + 8 y = 43 \\ 3 x −2 y = −1 \end{matrix}$ and $(3, 5)$

10. $\begin{matrix} x + 8 y = 43 \\ 3 x −2 y = −1 \end{matrix}$ と $(3, 5)$

For the following exercises, solve each system by substitution.

次の各問について、各組を代入で解け。

11. $\begin{array}{l} x + 3 y = 5 \\ 2 x + 3 y = 4 \end{array}$

12. $\begin{array}{l} 3 x −2 y = 18 \\ 5 x + 10 y = −10 \end{array}$

13. $\begin{array}{l} 4 x + 2 y = −10 \\ 3 x + 9 y = 0 \end{array}$

14. $\begin{array}{l} 2 x + 4 y = −3.8 \\ 9 x −5 y = 1.3 \end{array}$

15. $\begin{array}{l} - 2 x + 3 y = 1.2 \\ - 3 x - 6 y = 1.8 \end{array}$

16. $\begin{array}{l} x −0.2 y = 1 \\ −10 x + 2 y = 5 \end{array}$

17. $\begin{array}{l} 3 x + 5 y = 9 \\ 30 x + 50 y = −90 \end{array}$

18. $\begin{array}{l} −3 x + y = 2 \\ 12 x −4 y = −8 \end{array}$

19. $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 16 \\ \frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9 \end{array}$

20. $\begin{array}{l} - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2} y = 11 \\ - \frac{1}{8} x + \frac{1}{3} y = 3 \end{array}$

For the following exercises, solve each system by addition.

次の各問について、各組を足し算で解け。

21. $\begin{array}{l} −2 x + 5 y = −42 \\ 7 x + 2 y = 30 \end{array}$

22. $\begin{array}{l} 6 x −5 y = −34 \\ 2 x + 6 y = 4 \end{array}$

23. $\begin{array}{l} 5 x - y = −2.6 \\ −4 x −6 y = 1.4 \end{array}$

24. $\begin{array}{l} 7 x −2 y = 3 \\ 4 x + 5 y = 3.25 \end{array}$

25. $\begin{array}{l} −x + 2 y = −1 \\ 5 x −10 y = 6 \end{array}$

26. $\begin{array}{l} 7 x + 6 y = 2 \\ −28 x −24 y = −8 \end{array}$

27. $\begin{array}{l} \frac{5}{6} x + \frac{1}{4} y = 0 \\ \frac{1}{8} x - \frac{1}{2} y = - \frac{43}{120} \end{array}$

28. $\begin{array}{l} \frac{1}{3} x + \frac{1}{9} y = \frac{2}{9} \\ - \frac{1}{2} x + \frac{4}{5} y = - \frac{1}{3} \end{array}$

29. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} −0.2 x + 0.4 y = 0.6 \\ x −2 y = −3 \end{array} \end{array}$

30. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} −0.1 x + 0.2 y = 0.6 \end{array} \\ 5 x −10 y = 1 \end{array}$

For the following exercises, solve each system by any method.

次の各問について、各組をどの方法で解いてもよい。

31. $\begin{array}{l} 5 x + 9 y = 16 \\ x + 2 y = 4 \end{array}$

32. $\begin{array}{l} 6 x −8 y = −0.6 \\ 3 x + 2 y = 0.9 \end{array}$

33. $\begin{array}{l} 5 x −2 y = 2.25 \\ 7 x −4 y = 3 \end{array}$

34. $\begin{array}{l} x - \frac{5}{12} y = - \frac{55}{12} \\ −6 x + \frac{5}{2} y = \frac{55}{2} \end{array}$

35. $\begin{array}{l} 7 x −4 y = \frac{7}{6} \\ 2 x + 4 y = \frac{1}{3} \end{array}$

36. $\begin{array}{l} 3 x + 6 y = 11 \\ 2 x + 4 y = 9 \end{array}$

37. $\begin{array}{l} \frac{7}{3} x - \frac{1}{6} y = 2 \\ - \frac{21}{6} x + \frac{3}{12} y = −3 \end{array}$

38. $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} y = - \frac{1}{8} \end{array}$

39. $\begin{array}{l} 2.2 x + 1.3 y = −0.1 \\ 4.2 x + 4.2 y = 2.1 \end{array}$

40. $\begin{array}{l} 0.1 x + 0.2 y = 2 \\ 0.35 x −0.3 y = 0 \end{array}$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, graph the system of equations and state whether the system is consistent, inconsistent, or dependent and whether the system has one solution, no solution, or infinite solutions.

次の各問について、この連立方程式のグラフを描き、この組が解を持つか、解が無いか、従属かを述べ、解が一つか、無いか、無限にあるかを述べよ。

41. $\begin{array}{l} 3 x - y = 0.6 \\ x −2 y = 1.3 \end{array}$

42. $\begin{array}{l} - x + 2 y = 4 \\ 2 x −4 y = 1 \end{array}$

43. $\begin{array}{l} x + 2 y = 7 \\ 2 x + 6 y = 12 \end{array}$

44. $\begin{array}{l} 3 x −5 y = 7 \\ x −2 y = 3 \end{array}$

45. $\begin{array}{l} 3 x −2 y = 5 \\ −9 x + 6 y = −15 \end{array}$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use the intersect function on a graphing device to solve each system. Round all answers to the nearest hundredth.

次の各問について、グラフを描く機器の交点を求める機能を使って各組を解け。答えはすべて小数第二位まで求めよ。

46. $\begin{array}{l} 0.1 x + 0.2 y = 0.3 \\ −0.3 x + 0.5 y = 1 \end{array}$

47. $\begin{array}{l} −0.01 x + 0.12 y = 0.62 \\ 0.15 x + 0.20 y = 0.52 \end{array}$

48. $\begin{array}{l} 0.5 x + 0.3 y = 4 \\ 0.25 x −0.9 y = 0.46 \end{array}$

49. $\begin{array}{l} 0.15 x + 0.27 y = 0.39 \\ −0.34 x + 0.56 y = 1.8 \end{array}$

50. $\begin{array}{l} −0.71 x + 0.92 y = 0.13 \\ 0.83 x + 0.05 y = 2.1 \end{array}$

Extensions発展問題

For the following exercises, solve each system in terms of $A, B, C, D, E,$ and $F$ where $A - F$ are nonzero numbers. Note that $A \neq B$ and $A E \neq B D .$

次の各問について、 $A - F$ を零でない数として、各組を $A, B, C, D, E$ と $F$ で解け。 $A \neq B$ と $A E \neq B D$ に注意せよ。

51. $\begin{array}{l} x + y = A \\ x - y = B \end{array}$

52. $\begin{array}{l} x + A y = 1 \\ x + B y = 1 \end{array}$

53. $\begin{array}{l} A x + y = 0 \\ B x + y = 1 \end{array}$

54. $\begin{array}{l} A x + B y = C \\ x + y = 1 \end{array}$

55. $\begin{array}{l} A x + B y = C \\ D x + E y = F \end{array}$

Real-World Applications現実世界への応用

For the following exercises, solve for the desired quantity.

次の各問について、求める量を解け。

56. A stuffed animal business has a total cost of production $C = 12 x + 30$ and a revenue function $R = 20 x .$ Find the break-even point.

56. ある縫いぐるみの商売の製造の総費用が $C = 12 x + 30$ 、収入関数が $R = 20 x$ である。損益分岐点を求めよ。

57. An Ethiopian restaurant has a cost of production $C (x) = 11 x + 120$ and a revenue function $R (x) = 5 x .$ When does the company start to turn a profit?

57. あるエチオピア料理店の製造の費用が $C (x) = 11 x + 120$ 、収入関数が $R (x) = 5 x$ である。この会社はいつから利益を出し始めるか。

58. A cell phone factory has a cost of production $C (x) = 150 x + 10, 000$ and a revenue function $R (x) = 200 x .$ What is the break-even point?

58. ある携帯電話の工場の製造の費用が $C (x) = 150 x + 10, 000$ 、収入関数が $R (x) = 200 x$ である。損益分岐点はいくらか。

59. A musician charges $C (x) = 64 x + 20,000$ where $x$ is the total number of attendees at the concert. The venue charges $80 per ticket. After how many people buy tickets does the venue break even, and what is the value of the total tickets sold at that point?

59. ある音楽家は $C (x) = 64 x + 20,000$ を請求する。ここで $x$ は演奏会の入場者数の合計である。会場は切符1枚あたり80ドルを取る。何人が切符を買えば会場は損得なしになり、その時点で売れた切符の総額はいくらか。

60. A guitar factory has a cost of production $C (x) = 75 x + 50,000.$ If the company needs to break even after 150 units sold, at what price should they sell each guitar? Round up to the nearest dollar, and write the revenue function.

60. あるギター工場の製造の費用が $C (x) = 75 x + 50,000.$ である。この会社が150台売った時点で損得なしになる必要があるとき、ギター1台をいくらで売るべきか。1ドル単位に切り上げて求め、収入関数を書け。

For the following exercises, use a system of linear equations with two variables and two equations to solve.

次の各問について、二変数二式の連立一次方程式を使って解け。

61. Find two numbers whose sum is 28 and difference is 13.

61. 和が28、差が13である二つの数を求めよ。

62. A number is 9 more than another number. Twice the sum of the two numbers is 10. Find the two numbers.

62. ある数は、もう一つの数より9大きい。二つの数の和の2倍は10である。この二つの数を求めよ。

63. The startup cost for a restaurant is $120,000, and each meal costs $10 for the restaurant to make. If each meal is then sold for $15, after how many meals does the restaurant break even?

63. ある料理店の開業の費用は120,000ドルで、食事1食を作るのに10ドルかかる。1食を15ドルで売るとすると、何食で損得なしになるか。

64. A moving company charges a flat rate of $150, and an additional $5 for each box. If a taxi service would charge $20 for each box, how many boxes would you need for it to be cheaper to use the moving company, and what would be the total cost?

64. ある引越し業者は一律150ドルに加えて、箱1個につき5ドルを取る。タクシーの業者なら箱1個につき20ドルを取るとして、引越し業者を使うほうが安くなるには箱が何個必要か。またそのときの総費用はいくらか。

65. A total of 1,595 first- and second-year college students gathered at a pep rally. The number of first-years exceeded the number of second-years by 15. How many students from each year group were in attendance?

65. 応援集会に大学1年生と2年生が合わせて1,595人集まった。1年生の人数は2年生の人数より15人多かった。各学年から何人が出席していたか。

66. 276 students enrolled in an introductory chemistry class. By the end of the semester, 5 times the number of students passed as failed. Find the number of students who passed, and the number of students who failed.

66. 276人の学生が化学入門の講義に登録した。学期の終わりまでに、合格した人数は落第した人数の5倍だった。合格した学生の人数と落第した学生の人数を求めよ。

67. There were 130 faculty at a conference. If there were 18 more women than men attending, how many of each gender attended the conference?

67. ある会議に130人の教員がいた。出席した女性が男性より18人多かったとすると、各性別から何人が会議に出席したか。

68. A jeep and a pickup truck enter a highway running east-west at the same exit heading in opposite directions. The jeep entered the highway 30 minutes before the pickup did, and traveled 7 mph slower than the pickup. After 2 hours from the time the pickup entered the highway, the cars were 306.5 miles apart. Find the speed of each car, assuming they were driven on cruise control and retained the same speed.

68. ジープと小型貨物車が、東西に走る幹線道路の同じ出入口から逆向きに入る。ジープは小型貨物車より30分早く幹線道路に入り、小型貨物車より毎時7マイル遅く走った。小型貨物車が幹線道路に入ってから2時間後、二台は306.5マイル離れていた。どちらも定速走行装置で走り同じ速さを保ったとして、各車の速さを求めよ。

69. If a scientist mixed 10% saline solution with 60% saline solution to get 25 gallons of 40% saline solution, how many gallons of 10% and 60% solutions were mixed?

69. ある科学者が10%の食塩水と60%の食塩水を混ぜて40%の食塩水を25ガロン作ったとすると、10%と60%の溶液を何ガロンずつ混ぜたか。

70. An investor earned triple the profits of what they earned last year. If they made $500,000.48 total for both years, how much did the investor earn in profits each year?

70. ある投資家が、去年得た利益の3倍を得た。二年で合わせて500,000.48ドルを得たとすると、この投資家は各年にいくらの利益を得たか。

71. An investor invested 1.1 million dollars into two land investments. On the first investment, Swan Peak, her return was a 110% increase on the money she invested. On the second investment, Riverside Community, she earned 50% over what she invested. If she earned $1 million in profits, how much did she invest in each of the land deals?

71. ある投資家が110万ドルを二つの土地への投資に投じた。一つ目の投資であるスワン・ピークでは、投じた金に対して110%の増しの見返りがあった。二つ目の投資であるリバーサイド・コミュニティでは、投じた額に対して50%を得た。100万ドルの利益を得たとすると、各土地の取引にいくらずつ投じたか。

72. If an investor invests a total of $25,000 into two bonds, one that pays 3% simple interest, and the other that pays $2 \frac{7}{8} %$ interest, and the investor earns $737.50 annual interest, how much was invested in each account?

72. ある投資家が合計25,000ドルを二つの債券に投じ、一方は単利3%、もう一方は $2 \frac{7}{8} %$ の利率で、この投資家が年に737.50ドルの利息を得たとすると、各口座にいくらずつ投じたか。

73. If an investor invests $23,000 into two bonds, one that pays 4% in simple interest, and the other paying 2% simple interest, and the investor earns $710.00 annual interest, how much was invested in each account?

73. ある投資家が23,000ドルを二つの債券に投じ、一方は単利4%、もう一方は単利2%で、この投資家が年に710.00ドルの利息を得たとすると、各口座にいくらずつ投じたか。

74. Blu-rays cost $5.96 more than regular DVDs at All Bets Are Off Electronics. How much would 6 Blu-rays and 2 DVDs cost if 5 Blu-rays and 2 DVDs cost $127.73?

74. オール・ベッツ・アー・オフ電器店では、ブルーレイは通常のDVDより5.96ドル高い。ブルーレイ5枚とDVD 2枚が127.73ドルなら、ブルーレイ6枚とDVD 2枚はいくらになるか。

75. A store clerk sold 60 pairs of sneakers. The high-tops sold for $98.99 and the low-tops sold for $129.99. If the receipts for the two types of sales totaled $6,404.40, how many of each type of sneaker were sold?

75. ある店員が運動靴を60足売った。ハイトップは98.99ドル、ロートップは129.99ドルで売れた。二種類の売り上げの合計が6,404.40ドルだったとすると、各種類の運動靴は何足ずつ売れたか。

76. A concert manager counted 350 ticket receipts the day after a concert. The price for a student ticket was $12.50, and the price for an adult ticket was $16.00. The register confirms that $5,075 was taken in. How many student tickets and adult tickets were sold?

76. ある演奏会の支配人が、演奏会の翌日に350枚の切符の控えを数えた。学生券の値段は12.50ドル、大人券の値段は16.00ドルだった。金銭登録機は5,075ドルを受け取ったと示している。学生券と大人券は何枚ずつ売れたか。

77. Admission into an amusement park for 4 children and 2 adults is $116.90. For 6 children and 3 adults, the admission is $175.35. Assuming a different price for children and adults, what is the price of the child’s ticket and the price of the adult ticket?

77. ある遊園地の入場料は、子ども4人と大人2人で116.90ドルである。子ども6人と大人3人では175.35ドルである。子どもと大人で値段が違うとして、子ども券の値段と大人券の値段はいくらか。