第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

Key Equations重要な式

Pythagorean identitiesピタゴラスの等式	$\begin{array}{l} \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 \\ 1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ \\ 1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ \end{array}$
Even-odd identities偶奇の等式	$\begin{matrix} \tan (- θ) & = & - \tan θ \\ \cot (- θ) & = & - \cot θ \\ \sin (- θ) & = & - \sin θ \\ \csc (- θ) & = & - \csc θ \\ \cos (- θ) & = & \cos θ \\ \sec (- θ) & = & \sec θ \end{matrix}$
Reciprocal identities逆数の等式	$\begin{matrix} \sin θ & = & \frac{1}{\csc θ} \\ \cos θ & = & \frac{1}{\sec θ} \\ \tan θ & = & \frac{1}{\cot θ} \\ \csc θ & = & \frac{1}{\sin θ} \\ \sec θ & = & \frac{1}{\cos θ} \\ \cot θ & = & \frac{1}{\tan θ} \end{matrix}$
Quotient identities商の等式	$\begin{matrix} \tan θ & = & \frac{\sin θ}{\cos θ} \\ \cot θ & = & \frac{\cos θ}{\sin θ} \end{matrix}$

Sum Formula for Cosine余弦の和の公式	$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
Difference Formula for Cosine余弦の差の公式	$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
Sum Formula for Sine正弦の和の公式	$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$
Difference Formula for Sine正弦の差の公式	$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$
Sum Formula for Tangent正接の和の公式	$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$
Difference Formula for Tangent正接の差の公式	$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$
Cofunction identities余関数の等式	$\begin{matrix} \sin θ & = & \cos (\frac{π}{2} - θ) \\ \cos θ & = & \sin (\frac{π}{2} - θ) \\ \tan θ & = & \cot (\frac{π}{2} - θ) \\ \cot θ & = & \tan (\frac{π}{2} - θ) \\ \sec θ & = & \csc (\frac{π}{2} - θ) \\ \csc θ & = & \sec (\frac{π}{2} - θ) \end{matrix}$

Double-angle formulas倍角の公式	$\begin{matrix} \sin (2 θ) & = & 2 \sin θ \cos θ \\ \cos (2 θ) & = & \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = & 1 - 2 \sin^{2} θ \\ = & 2 \cos^{2} θ - 1 \\ \tan (2 θ) & = & \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}$
Reduction formulas次数を下げる公式	$\begin{matrix} \sin^{2} θ & = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \\ \cos^{2} θ & = & \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} \\ \tan^{2} θ & = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \end{matrix}$
Half-angle formulas半角の公式	$\begin{matrix} \sin \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \\ \cos \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \\ \tan \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ = & \frac{\sin α}{1 + \cos α} \\ = & \frac{1 - \cos α}{\sin α} \end{matrix}$

Product-to-sum Formulas積を和にする公式	$\begin{matrix} \cos α \cos β & = & \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)] \\ \sin α \cos β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \sin α \sin β & = & \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)] \\ \cos α \sin β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)] \end{matrix}$
Sum-to-product Formulas和を積にする公式	$\begin{matrix} \sin α + \sin β & = & 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) \\ \sin α - \sin β & = & 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2}) \\ \cos α - \cos β & = & - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) \\ \cos α + \cos β & = & 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) \end{matrix}$

Key Concepts要点

• There are multiple ways to represent a trigonometric expression. Verifying the identities illustrates how expressions can be rewritten to simplify a problem.• Graphing both sides of an identity will verify it. See Example 1.• Simplifying one side of the equation to equal the other side is another method for verifying an identity. See Example 2 and Example 3.• The approach to verifying an identity depends on the nature of the identity. It is often useful to begin on the more complex side of the equation. See Example 4.• We can create an identity and then verify it. See Example 5.• Verifying an identity may involve algebra with the fundamental identities. See Example 6 and Example 7.• Algebraic techniques can be used to simplify trigonometric expressions. We use algebraic techniques throughout this text, as they consist of the fundamental rules of mathematics. See Example 8, Example 9, and Example 10.

・三角関数の式を表すしかたは何通りもある。等式を確かめることは、問題を簡単にするために式をどう書き直せるかを示している。・等式の両辺のグラフを描けば、それが確かめられる。例1を見よ。・方程式の片側を簡単にしてもう一方に等しくするのも、等式を確かめる方法である。例2と例3を見よ。・等式を確かめる近づき方は、その等式の性質に依る。方程式のより込み入った側から始めるのがしばしば役立つ。例4を見よ。・等式を作り、そして確かめることもできる。例5を見よ。・等式を確かめるのに、基本恒等式を使った代数が要ることもある。例6と例7を見よ。・代数の手法を使えば三角関数の式が簡単にできる。数学の基本の規則からなるものなので、この教科書を通して代数の手法を使う。例8、例9、例10を見よ。

• The sum formula for cosines states that the cosine of the sum of two angles equals the product of the cosines of the angles minus the product of the sines of the angles. The difference formula for cosines states that the cosine of the difference of two angles equals the product of the cosines of the angles plus the product of the sines of the angles.• The sum and difference formulas can be used to find the exact values of the sine, cosine, or tangent of an angle. See Example 1 and Example 2.• The sum formula for sines states that the sine of the sum of two angles equals the product of the sine of the first angle and cosine of the second angle plus the product of the cosine of the first angle and the sine of the second angle. The difference formula for sines states that the sine of the difference of two angles equals the product of the sine of the first angle and cosine of the second angle minus the product of the cosine of the first angle and the sine of the second angle. See Example 3.• The sum and difference formulas for sine and cosine can also be used for inverse trigonometric functions. See Example 4.• The sum formula for tangent states that the tangent of the sum of two angles equals the sum of the tangents of the angles divided by 1 minus the product of the tangents of the angles. The difference formula for tangent states that the tangent of the difference of two angles equals the difference of the tangents of the angles divided by 1 plus the product of the tangents of the angles. See Example 5.• The Pythagorean Theorem along with the sum and difference formulas can be used to find multiple sums and differences of angles. See Example 6.• The cofunction identities apply to complementary angles and pairs of reciprocal functions. See Example 7.• Sum and difference formulas are useful in verifying identities. See Example 8 and Example 9.• Application problems are often easier to solve by using sum and difference formulas. See Example 10 and Example 11.

・余弦の和の公式は、二つの角の和の余弦が、その角の余弦どうしの積から正弦どうしの積を引いたものに等しいと述べる。余弦の差の公式は、二つの角の差の余弦が、その角の余弦どうしの積に正弦どうしの積を足したものに等しいと述べる。・加法定理を使えば、ある角の正弦・余弦・正接の厳密な値が求められる。例1と例2を見よ。・正弦の和の公式は、二つの角の和の正弦が、一つ目の角の正弦と二つ目の角の余弦の積に、一つ目の角の余弦と二つ目の角の正弦の積を足したものに等しいと述べる。正弦の差の公式は、二つの角の差の正弦が、一つ目の角の正弦と二つ目の角の余弦の積から、一つ目の角の余弦と二つ目の角の正弦の積を引いたものに等しいと述べる。例3を見よ。・正弦と余弦の加法定理は、逆三角関数にも使える。例4を見よ。・正接の和の公式は、二つの角の和の正接が、その角の正接の和を、1からその角の正接どうしの積を引いたもので割ったものに等しいと述べる。正接の差の公式は、二つの角の差の正接が、その角の正接の差を、1にその角の正接どうしの積を足したもので割ったものに等しいと述べる。例5を見よ。・ピタゴラスの定理と加法定理を使えば、角の和や差をいくつも求められる。例6を見よ。・余関数の等式は、余角と、互いに逆数の関数の組に当てはまる。例7を見よ。・加法定理は等式を確かめるのに役立つ。例8と例9を見よ。・応用問題は、加法定理を使うほうがしばしば解きやすい。例10と例11を見よ。

• Double-angle identities are derived from the sum formulas of the fundamental trigonometric functions: sine, cosine, and tangent. See Example 1, Example 2, Example 3, and Example 4.• Reduction formulas are especially useful in calculus, as they allow us to reduce the power of the trigonometric term. See Example 5 and Example 6.• Half-angle formulas allow us to find the value of trigonometric functions involving half-angles, whether the original angle is known or not. See Example 7, Example 8, and Example 9.

・倍角の等式は、基本の三角関数である正弦・余弦・正接の和の公式から導かれる。例1、例2、例3、例4を見よ。・次数を下げる公式は微積分でとくに役立つ。三角の項の次数を下げられるからである。例5と例6を見よ。・半角の公式のおかげで、元の角が分かっていてもいなくても、半角を含む三角関数の値が求められる。例7、例8、例9を見よ。

• From the sum and difference identities, we can derive the product-to-sum formulas and the sum-to-product formulas for sine and cosine.• We can use the product-to-sum formulas to rewrite products of sines, products of cosines, and products of sine and cosine as sums or differences of sines and cosines. See Example 1, Example 2, and Example 3.• We can also derive the sum-to-product identities from the product-to-sum identities using substitution.• We can use the sum-to-product formulas to rewrite sum or difference of sines, cosines, or products sine and cosine as products of sines and cosines. See Example 4.• Trigonometric expressions are often simpler to evaluate using the formulas. See Example 5.• The identities can be verified using other formulas or by converting the expressions to sines and cosines. To verify an identity, we choose the more complicated side of the equals sign and rewrite it until it is transformed into the other side. See Example 6 and Example 7.

・加法定理から、正弦と余弦の、積を和にする公式と和を積にする公式が導ける。・積を和にする公式を使えば、正弦どうしの積、余弦どうしの積、正弦と余弦の積を、正弦と余弦の和や差に書き直せる。例1、例2、例3を見よ。・置き換えを使えば、積を和にする等式から和を積にする等式も導ける。・和を積にする公式を使えば、正弦や余弦の和や差、あるいは正弦と余弦の積を、正弦と余弦の積に書き直せる。例4を見よ。・三角関数の式は、この公式を使うほうがしばしば値を求めやすい。例5を見よ。・等式は、ほかの公式を使うか、式を正弦と余弦に直せば確かめられる。等式を確かめるには、等号のより込み入った側を選び、もう一方に変わるまで書き直す。例6と例7を見よ。

• When solving linear trigonometric equations, we can use algebraic techniques just as we do solving algebraic equations. Look for patterns, like the difference of squares, quadratic form, or an expression that lends itself well to substitution. See Example 1, Example 2, and Example 3.• Equations involving a single trigonometric function can be solved or verified using the unit circle. See Example 4, Example 5, and Example 6, and Example 7.• We can also solve trigonometric equations using a graphing calculator. See Example 8 and Example 9.• Many equations appear quadratic in form. We can use substitution to make the equation appear simpler, and then use the same techniques we use solving an algebraic quadratic: factoring, the quadratic formula, etc. See Example 10, Example 11, Example 12, and Example 13.• We can also use the identities to solve trigonometric equation. See Example 14, Example 15, and Example 16.• We can use substitution to solve a multiple-angle trigonometric equation, which is a compression of a standard trigonometric function. We will need to take the compression into account and verify that we have found all solutions on the given interval. See Example 17.• Real-world scenarios can be modeled and solved using the Pythagorean Theorem and trigonometric functions. See Example 18.

・一次の三角方程式を解くときは、代数の方程式を解くのと同じように代数の手法が使える。二乗の差、二次の形、置き換えに向いた式など、型を探そう。例1、例2、例3を見よ。・一つの三角関数を含む方程式は、単位円を使って解いたり確かめたりできる。例4、例5、例6、例7を見よ。・グラフ電卓を使っても三角方程式は解ける。例8と例9を見よ。・多くの方程式は二次の形に見える。置き換えを使えば方程式が簡単に見え、そして代数の二次方程式を解くのと同じ手法——因数分解、解の公式など——が使える。例10、例11、例12、例13を見よ。・等式を使っても三角方程式は解ける。例14、例15、例16を見よ。・標準の三角関数を縮めたものである、倍角などを含む三角方程式は、置き換えを使って解ける。その縮みを勘定に入れ、与えられた区間で解をすべて求めたことを確かめる必要がある。例17を見よ。・現実の筋書きは、ピタゴラスの定理と三角関数を使ってモデル化して解ける。例18を見よ。