第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.5 Solving Trigonometric Equations9.5 三角方程式を解く

Learning Objectives 学習目標

• Solve linear trigonometric equations in sine and cosine.• Solve equations involving a single trigonometric function.• Solve trigonometric equations using a calculator.• Solve trigonometric equations that are quadratic in form.• Solve trigonometric equations using fundamental identities.• Solve trigonometric equations with multiple angles.• Solve right triangle problems.

・正弦や余弦について一次の三角方程式を解く。・一つの三角関数を含む方程式を解く。・電卓を使って三角方程式を解く。・二次式の形をした三角方程式を解く。・基本恒等式を使って三角方程式を解く。・倍角などを含む三角方程式を解く。・直角三角形の問題を解く。

Photo of the Egyptian pyramids near a modern city. — Figure 1 Egyptian pyramids standing near a modern city. (credit: Oisin Mulvihill)図1 今の都市の近くに立つエジプトのピラミッド。(credit: Oisin Mulvihill)

Thales of Miletus (circa 625–547 BC) is known as the founder of geometry. The legend is that he calculated the height of the Great Pyramid of Giza in Egypt using the theory of similar triangles, which he developed by measuring the shadow of his staff. He reasoned that when the height of his staff's shadow was exactly equal to the actual height of the staff, then the height of the nearby pyramid's shadow must also be equal to the height of the actual pyramid. Since the structures and their shadows were creating a right triangle with two equal sides, they were similar triangles. By measuring the length of the pyramid's shadow at that moment, he could obtain the height of the pyramid. Based on proportions, this theory has applications in a number of areas, including fractal geometry, engineering, and architecture. Often, the angle of elevation and the angle of depression are found using similar triangles.

ミレトスのタレス(紀元前625年頃〜紀元前547年頃)は、幾何学の祖として知られる。伝説によれば、彼は自分の杖の影を測って組み立てた相似な三角形の理論を使って、エジプトのギザの大ピラミッドの高さを計算した。杖の影の長さがちょうど杖の実際の高さに等しくなったとき、近くのピラミッドの影の長さも実際のピラミッドの高さに等しいはずだと考えたのである。建造物とその影が二辺の等しい直角三角形をなしていたので、それは相似な三角形だった。その瞬間のピラミッドの影の長さを測れば、ピラミッドの高さが得られた。比にもとづくこの理論は、フラクタル幾何・工学・建築など数多くの分野に応用がある。仰角と俯角は、しばしば相似な三角形を使って求められる。

In earlier sections of this chapter, we looked at trigonometric identities. Identities are true for all values in the domain of the variable. In this section, we begin our study of trigonometric equations to study real-world scenarios such as the finding the dimensions of the pyramids.

この章の前の節では三角関数の恒等式を見た。等式は変数の定義域のすべての値について成り立つ。この節では、ピラミッドの寸法を求めるような現実の筋書きを調べるために、三角方程式の学びを始める。

Solving Linear Trigonometric Equations in Sine and Cosine正弦や余弦について一次の三角方程式を解く

Trigonometric equations are, as the name implies, equations that involve trigonometric functions. Similar in many ways to solving polynomial equations or rational equations, only specific values of the variable will be solutions, if there are solutions at all. Often we will solve a trigonometric equation over a specified interval. However, just as often, we will be asked to find all possible solutions, and as trigonometric functions are periodic, solutions are repeated within each period. In other words, trigonometric equations may have an infinite number of solutions. Additionally, like rational equations, the domain of the function must be considered before we assume that any solution is valid. The period of both the sine function and the cosine function is $2 π .$ In other words, every $2 π$ units, the y-values repeat. If we need to find all possible solutions, then we must add $2 π k,$ where $k$ is an integer, to the initial solution. Recall the rule that gives the format for stating all possible solutions for a function where the period is $2 π :$

三角方程式とは、名前が示すとおり、三角関数を含む方程式である。多項式の方程式や有理式の方程式を解くのと多くの点で似ており、解があるとしても、変数の特定の値だけが解になる。しばしば、指定された区間で三角方程式を解く。だが同じくらいよく、ありうる解をすべて求めよと言われる。三角関数は周期を持つので、解は各周期の中で繰り返す。言い換えれば、三角方程式は無限個の解を持ちうる。さらに、有理式の方程式と同じく、どの解も正しいと考える前に関数の定義域を考えなければならない。正弦関数も余弦関数も周期は $2 π$ である。言い換えれば、 $2 π$ 単位ごとに y の値が繰り返す。ありうる解をすべて求める必要があるなら、初めの解に $2 π k$ ( $k$ は整数)を足さなければならない。周期が $2 π :$ である関数について、ありうる解をすべて述べる書き方の規則を思い出そう。

\sin θ = \sin (θ \pm 2 k π)

There are similar rules for indicating all possible solutions for the other trigonometric functions. Solving trigonometric equations requires the same techniques as solving algebraic equations. We read the equation from left to right, horizontally, like a sentence. We look for known patterns, factor, find common denominators, and substitute certain expressions with a variable to make solving a more straightforward process. However, with trigonometric equations, we also have the advantage of using the identities we developed in the previous sections.

ほかの三角関数についても、ありうる解をすべて示す同じような規則がある。三角方程式を解くには、代数の方程式を解くのと同じ手法が要る。方程式を文のように、左から右へ横に読む。知っている型を探し、因数分解し、通分し、ある式を変数に置き換えて解く手順をまっすぐにする。だが三角方程式では、前の節で組み立てた等式を使えるという利点もある。

Example 1例1

Solving a Linear Trigonometric Equation Involving the Cosine Function余弦関数を含む一次の三角方程式を解く

Find all possible exact solutions for the equation $\cos θ = \frac{1}{2} .$

方程式 $\cos θ = \frac{1}{2}$ のありうる厳密な解をすべて求めよ。

Solution 解答

From the unit circle, we know that

単位円から、次が分かる。

\begin{matrix} \cos θ & = & \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3} \end{matrix}

These are the solutions in the interval $[0, 2 π] .$ All possible solutions are given by

これが区間 $[0, 2 π]$ の解である。ありうる解はすべて次で与えられる。

θ = \frac{π}{3} \pm 2 k π and θ = \frac{5 π}{3} \pm 2 k π

where $k$ is an integer.

ここで $k$ は整数である。

Example 2例2

Solving a Linear Equation Involving the Sine Function正弦関数を含む一次の方程式を解く

Find all possible exact solutions for the equation $\sin t = \frac{1}{2} .$

方程式 $\sin t = \frac{1}{2}$ のありうる厳密な解をすべて求めよ。

Solution 解答

Solving for all possible values of t means that solutions include angles beyond the period of $2 π .$ From Figure 2, we can see that the solutions are $t = \frac{π}{6}$ and $t = \frac{5 π}{6} .$ But the problem is asking for all possible values that solve the equation. Therefore, the answer is

t のありうる値をすべて求めるということは、周期 $2 π$ を超える角も解に含まれるということである。図2から、解が $t = \frac{π}{6}$ と $t = \frac{5 π}{6}$ だと分かる。だがこの問題は、方程式を満たすありうる値をすべて求めよと言っている。したがって答えは次のとおりである。

t = \frac{π}{6} \pm 2 π k and t = \frac{5 π}{6} \pm 2 π k

where $k$ is an integer.

ここで $k$ は整数である。

How To 手順

Given a trigonometric equation, solve using algebra.

三角方程式が与えられたとき、代数を使って解く。

1. Look for a pattern that suggests an algebraic property, such as the difference of squares or a factoring opportunity.2. Substitute the trigonometric expression with a single variable, such as $x$ or $u .$ 3. Solve the equation the same way an algebraic equation would be solved.4. Substitute the trigonometric expression back in for the variable in the resulting expressions.5. Solve for the angle.

1. 二乗の差や因数分解の機会など、代数の性質を示す型を探す。2. 三角関数の式を $x$ や $u$ のような一つの変数に置き換える。3. 代数の方程式を解くのと同じように、その方程式を解く。4. できあがった式の変数を、元の三角関数の式に戻す。5. 角について解く。

Example 3例3

Solve the Linear Trigonometric Equation一次の三角方程式を解く

Solve the equation exactly: $2 \cos θ - 3 = - 5, 0 \leq θ < 2 π .$

方程式を厳密に解け: $2 \cos θ - 3 = - 5, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

Use algebraic techniques to solve the equation.

代数の手法を使ってこの方程式を解く。

\begin{matrix} 2 \cos θ - 3 & = & - 5 \\ 2 \cos θ & = & - 2 \\ \cos θ & = & - 1 \\ θ & = & π \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

Solve exactly the following linear equation on the interval $[0, 2 π) : 2 \sin x + 1 = 0.$

区間 $[0, 2 π) : 2 \sin x + 1 = 0.$ で次の一次の方程式を厳密に解け。

Solving Equations Involving a Single Trigonometric Function一つの三角関数を含む方程式を解く

When we are given equations that involve only one of the six trigonometric functions, their solutions involve using algebraic techniques and the unit circle (see Figure 2). We need to make several considerations when the equation involves trigonometric functions other than sine and cosine. Problems involving the reciprocals of the primary trigonometric functions need to be viewed from an algebraic perspective. In other words, we will write the reciprocal function, and solve for the angles using the function. Also, an equation involving the tangent function is slightly different from one containing a sine or cosine function. First, as we know, the period of tangent is $π,$ not $2 π .$ Further, the domain of tangent is all real numbers with the exception of odd integer multiples of $\frac{π}{2},$ unless, of course, a problem places its own restrictions on the domain.

六つの三角関数のうち一つだけを含む方程式が与えられたとき、その解には代数の手法と単位円(図2を見よ)を使う。方程式が正弦と余弦以外の三角関数を含むときは、いくつか考えるべきことがある。主だった三角関数の逆数を含む問題は、代数の見方から見る必要がある。言い換えれば、逆数の関数を書き、その関数を使って角について解く。また、正接関数を含む方程式は、正弦や余弦の関数を含むものと少し違う。まず、知ってのとおり正接の周期は $2 π$ ではなく $π$ である。さらに、正接の定義域は、 $\frac{π}{2}$ の奇数倍を除いた実数全体である。もちろん、問題が定義域にそれ自身の制限を課す場合は別である。

Example 4例4

Solving a Problem Involving a Single Trigonometric Function一つの三角関数を含む問題を解く

Solve the problem exactly: $2 \sin^{2} θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

問題を厳密に解け: $2 \sin^{2} θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

As this problem is not easily factored, we will solve using the square root property. First, we use algebra to isolate $\sin θ .$ Then we will find the angles.

この問題は簡単には因数分解できないので、平方根の性質を使って解く。まず代数を使って $\sin θ$ を取り出す。それから角を求める。

\begin{matrix} 2 \sin^{2} θ - 1 & = & 0 \\ 2 \sin^{2} θ & = & 1 \\ \sin^{2} θ & = & \frac{1}{2} \\ \sqrt{\sin^{2} θ} & = & \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \sin θ & = & \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ θ & = & \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4} \end{matrix}

Example 5例5

Solving a Trigonometric Equation Involving Cosecant余割を含む三角方程式を解く

Solve the following equation exactly: $\csc θ = - 2, 0 \leq θ < 4 π .$

次の方程式を厳密に解け: $\csc θ = - 2, 0 \leq θ < 4 π$

Solution 解答

We want all values of $θ$ for which $\csc θ = - 2$ over the interval $0 \leq θ < 4 π .$

区間 $0 \leq θ < 4 π$ で $\csc θ = - 2$ となる $θ$ の値をすべて求めたい。

\begin{matrix} \csc θ & = & - 2 \\ \frac{1}{\sin θ} & = & - 2 \\ \sin θ & = & - \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6} \end{matrix}

Analysis 考察

As $\sin θ = - \frac{1}{2},$ notice that all four solutions are in the third and fourth quadrants.

$\sin θ = - \frac{1}{2}$ なので、四つの解がすべて第3象限と第4象限にあることに注目しよう。

Example 6例6

Solving an Equation Involving Tangent正接を含む方程式を解く

Solve the equation exactly: $\tan (θ - \frac{π}{2}) = 1, 0 \leq θ < 2 π .$

方程式を厳密に解け: $\tan (θ - \frac{π}{2}) = 1, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

Recall that the tangent function has a period of $π .$ On the interval $[0, π),$ and at the angle of $\frac{π}{4},$ the tangent has a value of 1. However, the angle we want is $(θ - \frac{π}{2}) .$ Thus, if $\tan (\frac{π}{4}) = 1,$ then

正接関数の周期が $π$ であることを思い出そう。区間 $[0, π)$ で、角 $\frac{π}{4}$ のとき正接の値は1である。だが求めたい角は $(θ - \frac{π}{2})$ である。よって $\tan (\frac{π}{4}) = 1$ なら、次が成り立つ。

\begin{matrix} θ - \frac{π}{2} & = & \frac{π}{4} \\ θ & = & \frac{3 π}{4} \pm k π \end{matrix}

Over the interval $[0, 2 π),$ we have two solutions:

区間 $[0, 2 π)$ には解が二つある。

θ = \frac{3 π}{4} and θ = \frac{3 π}{4} + π = \frac{7 π}{4}

Try It #2やってみよう2

Find all solutions for $\tan x = \sqrt{3} .$

$\tan x = \sqrt{3}$ の解をすべて求めよ。

Example 7例7

Identify all Solutions to the Equation Involving Tangent正接を含む方程式の解をすべて見分ける

Identify all exact solutions to the equation $2 (\tan x + 3) = 5 + \tan x, 0 \leq x < 2 π .$

方程式 $2 (\tan x + 3) = 5 + \tan x, 0 \leq x < 2 π$ の厳密な解をすべて見分けよ。

Solution 解答

We can solve this equation using only algebra. Isolate the expression $\tan x$ on the left side of the equals sign.

この方程式は代数だけで解ける。等号の左側の式 $\tan x$ を取り出す。

\begin{matrix} 2 (\tan x) + 2 (3) & = & 5 + \tan x \\ 2 \tan x + 6 & = & 5 + \tan x \\ 2 \tan x - \tan x & = & 5 - 6 \\ \tan x & = & - 1 \end{matrix}

There are two angles on the unit circle that have a tangent value of $−1 : θ = \frac{3 π}{4}$ and $θ = \frac{7 π}{4} .$

単位円上で正接の値が $−1 : θ = \frac{3 π}{4}$ となる角は二つあり、 $θ = \frac{7 π}{4}$ である。

Solve Trigonometric Equations Using a Calculator電卓を使って三角方程式を解く

Not all functions can be solved exactly using only the unit circle. When we must solve an equation involving an angle other than one of the special angles, we will need to use a calculator. Make sure it is set to the proper mode, either degrees or radians, depending on the criteria of the given problem.

すべての関数が単位円だけで厳密に解けるわけではない。特別な角以外の角を含む方程式を解かなければならないときは、電卓を使う必要がある。与えられた問題の条件に応じて、度かラジアンの正しいモードに設定してあるのを確かめること。

Example 8例8

Using a Calculator to Solve a Trigonometric Equation Involving Sine電卓を使って正弦を含む三角方程式を解く

Use a calculator to solve the equation $\sin θ = 0.8,$ where $θ$ is in radians.

電卓を使って方程式 $\sin θ = 0.8$ を解け。ここで $θ$ はラジアンである。

Solution 解答

Make sure mode is set to radians. To find $θ,$ use the inverse sine function. On most calculators, you will need to push the 2^ND button and then the SIN button to bring up the $\sin^{- 1}$ function. What is shown on the screen is $\sin^{- 1} (.$ The calculator is ready for the input within the parentheses. For this problem, we enter $\sin^{- 1} (0.8),$ and press ENTER. Thus, to four decimals places,

モードがラジアンに設定してあるのを確かめる。 $θ$ を求めるには逆正弦関数を使う。ほとんどの電卓では、2ND ボタンを押してから SIN ボタンを押すと $\sin^{- 1}$ の機能が出る。画面には $\sin^{- 1} ($ と表示される。電卓は括弧の中の入力を待っている。この問題では $\sin^{- 1} (0.8)$ と入れて ENTER を押す。よって小数第四位まで求めると、次のようになる。

\sin^{- 1} (0.8) \approx 0.9273

The solution is

解は次のとおりである。

θ \approx 0.9273 \pm 2 π k

The angle measurement in degrees is

度で表した角の大きさは次のとおりである。

\begin{matrix} θ & \approx & 53.1° \\ θ & \approx & 180° - 53.1° \\ \approx & 126.9° \end{matrix}

Analysis 考察

Note that a calculator will only return an angle in quadrants I or IV for the sine function, since that is the range of the inverse sine. The other angle is obtained by using $π - θ .$ Thus, the additional solution is $\approx 2.2143 \pm 2 π k$

逆正弦の値域がそうなので、電卓は正弦関数について第I象限か第IV象限の角しか返さないことに注意せよ。もう一つの角は $π - θ$ を使って得られる。よってもう一つの解は $\approx 2.2143 \pm 2 π k$ である。

Example 9例9

Using a Calculator to Solve a Trigonometric Equation Involving Secant電卓を使って正割を含む三角方程式を解く

Use a calculator to solve the equation $\sec θ = −4,$ giving your answer in radians.

電卓を使って方程式 $\sec θ = −4$ を解け。答えはラジアンで示せ。

Solution 解答

We can begin with some algebra.

少し代数から始められる。

\begin{matrix} \sec θ & = & - 4 \\ \frac{1}{\cos θ} & = & - 4 \\ \cos θ & = & - \frac{1}{4} \end{matrix}

Check that the MODE is in radians. Now use the inverse cosine function.

MODE がラジアンになっているか確かめる。そして逆余弦関数を使う。

\begin{matrix} \cos^{- 1} (- \frac{1}{4}) & \approx & 1.8235 \\ θ & \approx & 1.8235 + 2 π k \end{matrix}

Since $\frac{π}{2} \approx 1.57$ and $π \approx 3.14,$ 1.8235 is between these two numbers, thus $θ \approx 1 .8235$ is in quadrant II. Cosine is also negative in quadrant III. Note that a calculator will only return an angle in quadrants I or II for the cosine function, since that is the range of the inverse cosine. See Figure 2.

$\frac{π}{2} \approx 1.57$ かつ $π \approx 3.14$ で、1.8235 はこの二つの数のあいだにあるので、 $θ \approx 1 .8235$ は第II象限にある。余弦は第III象限でも負である。逆余弦の値域がそうなので、電卓は余弦関数について第I象限か第II象限の角しか返さないことに注意せよ。図2を見よ。

Graph of angles theta =approx 1.8235, theta prime =approx pi - 1.8235 = approx 1.3181, and then theta prime = pi + 1.3181 = approx 4.4597

So, we also need to find the measure of the angle in quadrant III. In quadrant II, the reference angle is $θ ' \approx π - 1 .8235 \approx 1 .3181 .$ The other solution in quadrant III is $θ ' \approx π + 1 .3181 \approx 4 .4597 .$

よって、第III象限の角の大きさも求める必要がある。第II象限では基準角が $θ ' \approx π - 1 .8235 \approx 1 .3181$ である。第III象限のもう一つの解は $θ ' \approx π + 1 .3181 \approx 4 .4597$ である。

The solutions are $θ \approx 1.8235 \pm 2 π k$ and $θ \approx 4.4597 \pm 2 π k .$

解は $θ \approx 1.8235 \pm 2 π k$ と $θ \approx 4.4597 \pm 2 π k$ である。

Try It #3やってみよう3

Solve $\cos θ = - 0.2.$

$\cos θ = - 0.2.$ を解け。

Solving Trigonometric Equations in Quadratic Form二次式の形をした三角方程式を解く

Solving a quadratic equation may be more complicated, but once again, we can use algebra as we would for any quadratic equation. Look at the pattern of the equation. Is there more than one trigonometric function in the equation, or is there only one? Which trigonometric function is squared? If there is only one function represented and one of the terms is squared, think about the standard form of a quadratic. Replace the trigonometric function with a variable such as $x$ or $u .$ If substitution makes the equation look like a quadratic equation, then we can use the same methods for solving quadratics to solve the trigonometric equations.

二次方程式を解くのはもっと込み入っているかもしれないが、ここでもどの二次方程式でもするように代数が使える。方程式の型を見よう。方程式に三角関数が二つ以上あるか、一つだけか。どの三角関数が2乗されているか。関数が一つだけで、項の一つが2乗されているなら、二次式の標準形を考えよう。三角関数を $x$ や $u$ のような変数に置き換える。置き換えて方程式が二次方程式のように見えるなら、二次方程式を解くのと同じ方法で三角方程式が解ける。

Example 10例10

Solving a Trigonometric Equation in Quadratic Form二次式の形をした三角方程式を解く

Solve the equation exactly: $\cos^{2} θ + 3 \cos θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

方程式を厳密に解け: $\cos^{2} θ + 3 \cos θ - 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

We begin by using substitution and replacing cos $θ$ with $x .$ It is not necessary to use substitution, but it may make the problem easier to solve visually. Let $\cos θ = x .$ We have

まず置き換えを使い、cos $θ$ を $x$ に替える。置き換えは必ずしも要らないが、目で見て問題を解きやすくなるかもしれない。 $\cos θ = x$ とおく。すると次が得られる。

x^{2} + 3 x - 1 = 0

The equation cannot be factored, so we will use the quadratic formula $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

この方程式は因数分解できないので、解の公式 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ を使う。

\begin{matrix} x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2} \end{matrix}

Replace $x$ with $\cos θ,$ and solve.

$x$ を $\cos θ$ に戻して解く。

\begin{matrix} \cos θ & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2} \\ θ & = & \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \end{matrix}

Note that only the + sign is used. This is because we get an error when we solve $θ = \cos^{- 1} (\frac{- 3 - \sqrt{13}}{2})$ on a calculator, since the domain of the inverse cosine function is $[- 1, 1] .$ However, there is a second solution:

+ の符号だけを使っていることに注意せよ。逆余弦関数の定義域が $[- 1, 1]$ なので、電卓で $θ = \cos^{- 1} (\frac{- 3 - \sqrt{13}}{2})$ を解こうとすると誤りになるからである。だが二つ目の解がある。

\begin{matrix} θ & = & \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \\ \approx & 1.26 \end{matrix}

This terminal side of the angle lies in quadrant I. Since cosine is also positive in quadrant IV, the second solution is

この角の動径は第I象限にある。余弦は第IV象限でも正なので、二つ目の解は次のとおりである。

\begin{matrix} θ & = & 2 π - \cos^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}) \\ \approx & 5.02 \end{matrix}

Example 11例11

Solving a Trigonometric Equation in Quadratic Form by Factoring因数分解して二次式の形をした三角方程式を解く

Solve the equation exactly: $2 \sin^{2} θ - 5 \sin θ + 3 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π .$

方程式を厳密に解け: $2 \sin^{2} θ - 5 \sin θ + 3 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π$

Solution 解答

Using grouping, this quadratic can be factored. Either make the real substitution, $\sin θ = u,$ or imagine it, as we factor:

組にまとめれば、この二次式は因数分解できる。因数分解するとき、実際に $\sin θ = u$ と置き換えてもよいし、頭の中でそう思ってもよい。

\begin{matrix} 2 \sin^{2} θ - 5 \sin θ + 3 & = & 0 \\ (2 \sin θ - 3) (\sin θ - 1) & = & 0 \end{matrix}

Now set each factor equal to zero.

そして各因数を0とおく。

\begin{matrix} 2 \sin θ - 3 & = & 0 \\ 2 \sin θ & = & 3 \\ \sin θ & = & \frac{3}{2} \\ \sin θ - 1 & = & 0 \\ \sin θ & = & 1 \end{matrix}

Next solve for $θ : \sin θ \neq \frac{3}{2},$ as the range of the sine function is $[−1, 1] .$ However, $\sin θ = 1,$ giving the solution $θ = \frac{π}{2} .$

次に $θ : \sin θ \neq \frac{3}{2}$ について解く。正弦関数の値域は $[−1, 1]$ である。だが $\sin θ = 1$ なので、解 $θ = \frac{π}{2}$ が得られる。

Analysis 考察

Make sure to check all solutions on the given domain as some factors have no solution.

因数によっては解が無いので、与えられた定義域ですべての解を必ず確かめること。

Try It #4やってみよう4

Solve $\sin^{2} θ = 2 \cos θ + 2, 0 \leq θ \leq 2 π .$ [Hint: Make a substitution to express the equation only in terms of cosine.]

$\sin^{2} θ = 2 \cos θ + 2, 0 \leq θ \leq 2 π$ を解け。[ヒント: 置き換えをして、この方程式を余弦だけで表せ。]

Example 12例12

Solving a Trigonometric Equation Using Algebra代数を使って三角方程式を解く

Solve exactly:

厳密に解け。

2 \sin^{2} θ + \sin θ = 0; 0 \leq θ < 2 π

Solution 解答

This problem should appear familiar as it is similar to a quadratic. Let $\sin θ = x .$ The equation becomes $2 x^{2} + x = 0.$ We begin by factoring:

この問題は二次式に似ているので、見覚えがあるはずである。 $\sin θ = x$ とおく。方程式は $2 x^{2} + x = 0.$ になる。まず因数分解する。

\begin{matrix} 2 x^{2} + x & = & 0 \\ x (2 x + 1) & = & 0 \end{matrix}

Set each factor equal to zero.

各因数を0とおく。

\begin{matrix} x & = & 0 \\ (2 x + 1) & = & 0 \\ x & = & - \frac{1}{2} \end{matrix}

Then, substitute back into the equation the original expression $\sin θ$ for $x .$ Thus,

そして $x$ を元の式 $\sin θ$ に戻す。したがって、

\begin{matrix} \sin θ & = & 0 \\ θ & = & 0, π \\ \sin θ & = & - \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} \end{matrix}

The solutions within the domain $0 \leq θ < 2 π$ are $θ = 0, π, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} .$

定義域 $0 \leq θ < 2 π$ の解は $θ = 0, π, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ である。

If we prefer not to substitute, we can solve the equation by following the same pattern of factoring and setting each factor equal to zero.

置き換えたくないなら、同じように因数分解して各因数を0とおけば、この方程式は解ける。

\begin{matrix} 2 \sin^{2} θ + \sin θ & = & 0 \\ \sin θ (2 \sin θ + 1) & = & 0 \\ \sin θ & = & 0 \\ θ & = & 0, π \\ 2 \sin θ + 1 & = & 0 \\ 2 \sin θ & = & - 1 \\ \sin θ & = & - \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} \end{matrix}

Analysis 考察

We can see the solutions on the graph in Figure 3. On the interval $0 \leq θ < 2 π,$ the graph crosses the x-axis four times, at the solutions noted. Notice that trigonometric equations that are in quadratic form can yield up to four solutions instead of the expected two that are found with quadratic equations. In this example, each solution (angle) corresponding to a positive sine value will yield two angles that would result in that value.

図3のグラフで解が見てとれる。区間 $0 \leq θ < 2 π$ で、グラフは示した解のところで x軸を4回横切る。二次式の形をした三角方程式は、二次方程式で見込まれる二つではなく、四つまで解を生みうることに注目しよう。この例では、正の正弦の値に対応する各解(角)が、その値になる角を二つ生む。

Graph of 2*(sin(theta))^2 + sin(theta) from 0 to 2pi. Zeros are at 0, pi, 7pi/6, and 11pi/6.

We can verify the solutions on the unit circle in Figure 2 as well.

図2の単位円でも解を確かめられる。

Example 13例13

Solving a Trigonometric Equation Quadratic in Form二次式の形をした三角方程式を解く

Solve the equation quadratic in form exactly: $2 \sin^{2} θ - 3 \sin θ + 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π .$

二次の形の方程式を厳密に解け: $2 \sin^{2} θ - 3 \sin θ + 1 = 0, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

We can factor using grouping. Solution values of $θ$ can be found on the unit circle.

組にまとめて因数分解できる。 $θ$ の解の値は単位円上で求められる。

\begin{matrix} (2 \sin θ - 1) (\sin θ - 1) & = & 0 \\ 2 \sin θ - 1 & = & 0 \\ \sin θ & = & \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6} \\ \sin θ & = & 1 \\ θ & = & \frac{π}{2} \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Solve the quadratic equation $2 \cos^{2} θ + \cos θ = 0.$

二次方程式 $2 \cos^{2} θ + \cos θ = 0.$ を解け。

Solving Trigonometric Equations Using Fundamental Identities基本恒等式を使って三角方程式を解く

While algebra can be used to solve a number of trigonometric equations, we can also use the fundamental identities because they make solving equations simpler. Remember that the techniques we use for solving are not the same as those for verifying identities. The basic rules of algebra apply here, as opposed to rewriting one side of the identity to match the other side. In the next example, we use two identities to simplify the equation.

代数を使えば多くの三角方程式が解けるが、基本恒等式も使える。それは方程式を解くのを簡単にするからである。解くのに使う手法は、等式を確かめる手法と同じではないことを忘れないでほしい。等式の片側をもう一方に合わせて書き直すのではなく、ここでは代数の基本の規則が当てはまる。次の例では、二つの等式を使って方程式を簡単にする。

Example 14例14

Use Identities to Solve an Equation等式を使って方程式を解く

Use identities to solve exactly the trigonometric equation over the interval $0 \leq x < 2 π .$

等式を使って、区間 $0 \leq x < 2 π$ でこの三角方程式を厳密に解け。

\cos x \cos (2 x) + \sin x \sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Solution 解答

Notice that the left side of the equation is the difference formula for cosine.

方程式の左辺が余弦の差の公式であることに注目しよう。

\begin{matrix} \cos x \cos (2 x) + \sin x \sin (2 x) & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (x - 2 x) & = & \frac{\sqrt{3}}{2} & Difference formula for cosine \\ \cos (- x) & = & \frac{\sqrt{3}}{2} & Use the negative angle identity . \\ \cos x & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

From the unit circle in Figure 2, we see that $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ when $x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6} .$

図2の単位円から、 $x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$ のとき $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ だと分かる。

Example 15例15

Solving the Equation Using a Double-Angle Formula倍角の公式を使って方程式を解く

Solve the equation exactly using a double-angle formula: $\cos (2 θ) = \cos θ .$

倍角の公式を使って方程式を厳密に解け: $\cos (2 θ) = \cos θ$

Solution 解答

We have three choices of expressions to substitute for the double-angle of cosine. As it is simpler to solve for one trigonometric function at a time, we will choose the double-angle identity involving only cosine:

余弦の倍角に代入できる式は三つある。一度に一つの三角関数について解くほうが簡単なので、余弦だけを含む倍角の等式を選ぶ。

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & \cos θ \\ 2 \cos^{2} θ - 1 & = & \cos θ \\ 2 \cos^{2} θ - \cos θ - 1 & = & 0 \\ (2 \cos θ + 1) (\cos θ - 1) & = & 0 \\ 2 \cos θ + 1 & = & 0 \\ \cos θ & = & - \frac{1}{2} \\ \cos θ - 1 & = & 0 \\ \cos θ & = & 1 \end{matrix}

So, if $\cos θ = - \frac{1}{2},$ then $θ = \frac{2 π}{3} \pm 2 π k$ and $θ = \frac{4 π}{3} \pm 2 π k;$ if $\cos θ = 1,$ then $θ = 0 \pm 2 π k .$

よって $\cos θ = - \frac{1}{2}$ なら $θ = \frac{2 π}{3} \pm 2 π k$ かつ $θ = \frac{4 π}{3} \pm 2 π k;$ であり、 $\cos θ = 1$ なら $θ = 0 \pm 2 π k$ である。

Example 16例16

Solving an Equation Using an Identity等式を使って方程式を解く

Solve the equation exactly using an identity: $3 \cos θ + 3 = 2 \sin^{2} θ, 0 \leq θ < 2 π .$

等式を使って方程式を厳密に解け: $3 \cos θ + 3 = 2 \sin^{2} θ, 0 \leq θ < 2 π$

Solution 解答

If we rewrite the right side, we can write the equation in terms of cosine:

右辺を書き直せば、この方程式を余弦で書ける。

\begin{matrix} 3 \cos θ + 3 & = & 2 \sin^{2} θ \\ 3 \cos θ + 3 & = & 2 (1 - \cos^{2} θ) \\ 3 \cos θ + 3 & = & 2 - 2 \cos^{2} θ \\ 2 \cos^{2} θ + 3 \cos θ + 1 & = & 0 \\ (2 \cos θ + 1) (\cos θ + 1) & = & 0 \\ 2 \cos θ + 1 & = & 0 \\ \cos θ & = & - \frac{1}{2} \\ θ & = & \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3} \\ \cos θ + 1 & = & 0 \\ \cos θ & = & - 1 \\ θ & = & π \end{matrix}

Our solutions are $θ = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, π .$

解は $θ = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, π$ である。

Solving Trigonometric Equations with Multiple Angles倍角などを含む三角方程式を解く

Sometimes it is not possible to solve a trigonometric equation with identities that have a multiple angle, such as $\sin (2 x)$ or $\cos (3 x) .$ When confronted with these equations, recall that $y = \sin (2 x)$ is a horizontal compression by a factor of 2 of the function $y = \sin x .$ On an interval of $2 π,$ we can graph two periods of $y = \sin (2 x),$ as opposed to one cycle of $y = \sin x .$ This compression of the graph leads us to believe there may be twice as many x-intercepts or solutions to $\sin (2 x) = 0$ compared to $\sin x = 0.$ This information will help us solve the equation.

$\sin (2 x)$ や $\cos (3 x)$ のように倍角などを含む三角方程式は、等式では解けないことがある。この方程式に出会ったら、 $y = \sin (2 x)$ が関数 $y = \sin x$ を横に2倍に縮めたものであることを思い出そう。区間 $2 π$ で、 $y = \sin x$ の1周期に対して $y = \sin (2 x)$ の2周期が描ける。このグラフの縮みから、 $\sin x = 0.$ に比べて $\sin (2 x) = 0$ の x切片すなわち解が2倍あるかもしれないと考えられる。この情報が方程式を解くのに役立つ。

Example 17例17

Solving a Multiple Angle Trigonometric Equation倍角などを含む三角方程式を解く

Solve exactly: $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ on $[0, 2 π) .$

$[0, 2 π)$ で $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ を厳密に解け。

Solution 解答

We can see that this equation is the standard equation with a multiple of an angle. If $\cos (α) = \frac{1}{2},$ we know $α$ is in quadrants I and IV. While $θ = \cos^{- 1} \frac{1}{2}$ will only yield solutions in quadrants I and II, we recognize that the solutions to the equation $\cos θ = \frac{1}{2}$ will be in quadrants I and IV.

この方程式が、角の倍数を含む標準の方程式だと分かる。 $\cos (α) = \frac{1}{2}$ なら、 $α$ は第I象限と第IV象限にあると分かる。 $θ = \cos^{- 1} \frac{1}{2}$ は第I象限と第II象限の解しか生まないが、方程式 $\cos θ = \frac{1}{2}$ の解は第I象限と第IV象限にあると見分けられる。

Therefore, the possible angles are $θ = \frac{π}{3}$ and $θ = \frac{5 π}{3} .$ So, $2 x = \frac{π}{3}$ or $2 x = \frac{5 π}{3},$ which means that $x = \frac{π}{6}$ or $x = \frac{5 π}{6} .$ Does this make sense? Yes, because $\cos (2 (\frac{π}{6})) = \cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

したがって、ありうる角は $θ = \frac{π}{3}$ と $θ = \frac{5 π}{3}$ である。よって $2 x = \frac{π}{3}$ または $2 x = \frac{5 π}{3}$ であり、 $x = \frac{π}{6}$ または $x = \frac{5 π}{6}$ となる。これは理にかなうか。 $\cos (2 (\frac{π}{6})) = \cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ なので、かなう。

Are there any other possible answers? Let us return to our first step.

ほかにありうる答えはあるか。最初の手順に戻ろう。

In quadrant I, $2 x = \frac{π}{3},$ so $x = \frac{π}{6}$ as noted. Let us revolve around the circle again:

第I象限では $2 x = \frac{π}{3}$ なので、述べたとおり $x = \frac{π}{6}$ である。もう一周まわってみよう。

\begin{matrix} 2 x & = & \frac{π}{3} + 2 π \\ = & \frac{π}{3} + \frac{6 π}{3} \\ = & \frac{7 π}{3} \end{matrix}

so $x = \frac{7 π}{6} .$

よって $x = \frac{7 π}{6}$ である。

One more rotation yields

もう一周まわると次が得られる。

\begin{matrix} 2 x & = & \frac{π}{3} + 4 π \\ = & \frac{π}{3} + \frac{12 π}{3} \\ = & \frac{13 π}{3} \end{matrix}

$x = \frac{13 π}{6} > 2 π,$ so this value for $x$ is larger than $2 π,$ so it is not a solution on $[0, 2 π) .$

$x = \frac{13 π}{6} > 2 π$ なので、この $x$ の値は $2 π$ より大きく、 $[0, 2 π)$ の解ではない。

In quadrant IV, $2 x = \frac{5 π}{3},$ so $x = \frac{5 π}{6}$ as noted. Let us revolve around the circle again:

第IV象限では $2 x = \frac{5 π}{3}$ なので、述べたとおり $x = \frac{5 π}{6}$ である。もう一周まわってみよう。

\begin{matrix} 2 x & = & \frac{5 π}{3} + 2 π \\ = & \frac{5 π}{3} + \frac{6 π}{3} \\ = & \frac{11 π}{3} \end{matrix}

so $x = \frac{11 π}{6} .$

よって $x = \frac{11 π}{6}$ である。

One more rotation yields

もう一周まわると次が得られる。

\begin{matrix} 2 x & = & \frac{5 π}{3} + 4 π \\ = & \frac{5 π}{3} + \frac{12 π}{3} \\ = & \frac{17 π}{3} \end{matrix}

$x = \frac{17 π}{6} > 2 π,$ so this value for $x$ is larger than $2 π,$ so it is not a solution on $[0, 2 π) .$

$x = \frac{17 π}{6} > 2 π$ なので、この $x$ の値は $2 π$ より大きく、 $[0, 2 π)$ の解ではない。

Our solutions are $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, and \frac{11 π}{6}$ . Note that whenever we solve a problem in the form of $\sin (n x) = c,$ we must go around the unit circle $n$ times.

解は $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, および \frac{11 π}{6}$ である。 $\sin (n x) = c$ の形の問題を解くときは、単位円を $n$ 周しなければならないことに注意せよ。

Solving Right Triangle Problems直角三角形の問題を解く

We can now use all of the methods we have learned to solve problems that involve applying the properties of right triangles and the Pythagorean Theorem. We begin with the familiar Pythagorean Theorem, $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ and model an equation to fit a situation.

これで、直角三角形の性質とピタゴラスの定理を当てはめる問題を解くのに、学んだ方法をすべて使える。よく知られたピタゴラスの定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ から始め、状況に合う方程式を立てる。

Example 18例18

Using the Pythagorean Theorem to Model an Equationピタゴラスの定理を使って方程式を立てる

Use the Pythagorean Theorem, and the properties of right triangles to model an equation that fits the problem.

ピタゴラスの定理と直角三角形の性質を使って、問題に合う方程式を立てよ。

One of the cables that anchors the center of the London Eye Ferris wheel to the ground must be replaced. The center of the Ferris wheel is 69.5 meters above the ground, and the second anchor on the ground is 23 meters from the base of the Ferris wheel. Approximately how long is the cable, and what is the angle of elevation (from ground up to the center of the Ferris wheel)? See Figure 4.

ロンドン・アイの観覧車の中心を地面に固定する索の一本を取り替えなければならない。観覧車の中心は地上69.5メートル、地面の二つ目の固定点は観覧車の底から23メートルのところにある。この索の長さはおよそいくらか。また、仰角(地面から観覧車の中心まで)はいくらか。図4を見よ。

Basic diagram of a ferris wheel (circle) and its support cables (form a right triangle). One cable runs from the center of the circle to the ground (outside the circle), is perpendicular to the ground, and has length 69.5. Another cable of unknown length (the hypotenuse) runs from the center of the circle to the ground 23 feet away from the other cable at an angle of theta degrees with the ground. So, in closing, there is a right triangle with base 23, height 69.5, hypotenuse unknown, and angle between base and hypotenuse of theta degrees.

Solution 解答

Using the information given, we can draw a right triangle. We can find the length of the cable with the Pythagorean Theorem.

与えられた情報を使えば直角三角形が描ける。ピタゴラスの定理で索の長さが求められる。

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = & c^{2} \\ {(23)}^{2} + {(69.5)}^{2} & \approx & 5359 \\ \sqrt{5359} & \approx & 73.2 m \end{matrix}

The angle of elevation is $θ,$ formed by the second anchor on the ground and the cable reaching to the center of the wheel. We can use the tangent function to find its measure. Round to two decimal places.

仰角は、地面の二つ目の固定点と、車輪の中心へ届く索がなす $θ$ である。正接関数を使ってその大きさが求められる。小数第二位まで丸めよ。

\begin{matrix} \tan θ & = & \frac{69.5}{23} \\ \tan^{−1} (\frac{69.5}{23}) & \approx & 1.2522 \\ \approx & 71.69° \end{matrix}

The angle of elevation is approximately $71.7°,$ and the length of the cable is 73.2 meters.

仰角はおよそ $71.7°$ 、索の長さは73.2メートルである。

Example 19例19

Using the Pythagorean Theorem to Model an Abstract Problemピタゴラスの定理を使って抽象的な問題を立てる

OSHA safety regulations require that the base of a ladder be placed 1 foot from the wall for every 4 feet of ladder length. Find the angle that a ladder of any length forms with the ground and the height at which the ladder touches the wall.

OSHA の安全規則は、梯子の長さ4フィートごとに、梯子の足を壁から1フィート離して置くことを求めている。どの長さの梯子でも、それが地面となす角と、梯子が壁に触れる高さを求めよ。

Solution 解答

For any length of ladder, the base needs to be a distance from the wall equal to one fourth of the ladder’s length. Equivalently, if the base of the ladder is “a” feet from the wall, the length of the ladder will be 4a feet. See Figure 5.

どの長さの梯子でも、足は壁から梯子の長さの4分の1に等しい距離だけ離す必要がある。同じことだが、梯子の足が壁から「a」フィート離れているなら、梯子の長さは 4a フィートになる。図5を見よ。

Diagram of a right triangle with base length a, height length b, hypotenuse length 4a. Opposite the height is an angle of theta degrees, and opposite the hypotenuse is an angle of 90 degrees.

The side adjacent to $θ$ is a and the hypotenuse is $4 a .$ Thus,

$θ$ の隣辺は a、斜辺は $4 a$ である。したがって、

\begin{matrix} \cos θ & = & \frac{a}{4 a} = \frac{1}{4} \\ \cos^{−1} (\frac{1}{4}) & \approx & 75.5° \end{matrix}

The elevation of the ladder forms an angle of $75.5°$ with the ground. The height at which the ladder touches the wall can be found using the Pythagorean Theorem:

梯子は地面と $75.5°$ の角をなす。梯子が壁に触れる高さは、ピタゴラスの定理を使えば求められる。

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = & {(4 a)}^{2} \\ b^{2} & = & {(4 a)}^{2} - a^{2} \\ b^{2} & = & 16 a^{2} - a^{2} \\ b^{2} & = & 15 a^{2} \\ b & = & a \sqrt{15} \end{matrix}

Thus, the ladder touches the wall at $a \sqrt{15}$ feet from the ground.

したがって、梯子は地面から $a \sqrt{15}$ フィートのところで壁に触れる。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with solving trigonometric equations.

三角方程式を解くことについての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Solving Trigonometric Equations I• Solving Trigonometric Equations II• Solving Trigonometric Equations III• Solving Trigonometric Equations IV• Solving Trigonometric Equations V• Solving Trigonometric Equations VI

・三角方程式を解く I・三角方程式を解く II・三角方程式を解く III・三角方程式を解く IV・三角方程式を解く V・三角方程式を解く VI

Verbal言葉で答える問題

1. Will there always be solutions to trigonometric function equations? If not, describe an equation that would not have a solution. Explain why or why not.

1. 三角関数の方程式には、つねに解があるか。無いなら、解を持たない方程式を述べよ。なぜそうなるか、あるいはならないかを説明せよ。

2. When solving a trigonometric equation involving more than one trig function, do we always want to try to rewrite the equation so it is expressed in terms of one trigonometric function? Why or why not?

2. 三角関数を二つ以上含む三角方程式を解くとき、つねに一つの三角関数で表すよう書き直そうとしたいか。なぜそうか、あるいはそうでないか。

3. When solving linear trig equations in terms of only sine or cosine, how do we know whether there will be solutions?

3. 正弦か余弦だけで表した一次の三角方程式を解くとき、解があるかどうかをどう見分けるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find all solutions exactly on the interval $0 \leq θ < 2 π .$

次の各問について、区間 $0 \leq θ < 2 π$ の解をすべて厳密に求めよ。

4. $2 \sin θ = − \sqrt{2}$

5. $2 \sin θ = \sqrt{3}$

6. $2 \cos θ = 1$

7. $2 \cos θ = − \sqrt{2}$

8. $\tan θ = −1$

9. $\tan x = 1$

10. $\cot x + 1 = 0$

11. $4 \sin^{2} x - 2 = 0$

12. $\csc^{2} x - 4 = 0$

For the following exercises, solve exactly on $[0, 2 π) .$

次の各問について、 $[0, 2 π)$ で厳密に解け。

13. $2 \cos θ = \sqrt{2}$

14. $2 \cos θ = −1$

15. $2 \sin θ = −1$

16. $2 \sin θ = − \sqrt{3}$

17. $2 \sin (3 θ) = 1$

18. $2 \sin (2 θ) = \sqrt{3}$

19. $2 \cos (3 θ) = - \sqrt{2}$

20. $\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

21. $2 \sin (π θ) = 1$

22. $2 \cos (\frac{π}{5} θ) = \sqrt{3}$

For the following exercises, find all exact solutions on $[0, 2 π) .$

次の各問について、 $[0, 2 π)$ の厳密な解をすべて求めよ。

23. $\sec (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

24. $\tan (x) - 2 \sin (x) \tan (x) = 0$

25. $2 \cos^{2} t + \cos (t) = 1$

26. $2 \tan^{2} (t) = 3 \sec (t)$

27. $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

28. $\cos^{2} θ = \frac{1}{2}$

29. $\sec^{2} x = 1$

30. $\tan^{2} (x) = −1 + 2 \tan (- x)$

31. $8 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) + 1 = 0$

32. $\tan^{5} (x) = \tan (x)$

For the following exercises, solve with the methods shown in this section exactly on the interval $[0, 2 π) .$

次の各問について、この節で示した方法を使って、区間 $[0, 2 π)$ で厳密に解け。

33. $\sin (3 x) \cos (6 x) - \cos (3 x) \sin (6 x) = −0.9$

34. $\sin (6 x) \cos (11 x) - \cos (6 x) \sin (11 x) = −0.1$

35. $\cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x = 1$

36. $6 \sin (2 t) + 9 \sin t = 0$

37. $9 \cos (2 θ) = 9 \cos^{2} θ - 4$

38. $\sin (2 t) = \cos t$

39. $\cos (2 t) = \sin t$

40. $\cos (6 x) - \cos (3 x) = 0$

For the following exercises, solve exactly on the interval $[0, 2 π) .$ Use the quadratic formula if the equations do not factor.

次の各問について、区間 $[0, 2 π)$ で厳密に解け。因数分解できない方程式には解の公式を使え。

41. $\tan^{2} x - \sqrt{3} \tan x = 0$

42. $\sin^{2} x + \sin x - 2 = 0$

43. $\sin^{2} x - 2 \sin x - 4 = 0$

44. $5 \cos^{2} x + 3 \cos x - 1 = 0$

45. $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 2 = 0$

46. $5 \sin^{2} x + 2 \sin x - 1 = 0$

47. $\tan^{2} x + 5 \tan x - 1 = 0$

48. $\cot^{2} x = - \cot x$

49. $- \tan^{2} x - \tan x - 2 = 0$

For the following exercises, find exact solutions on the interval $[0, 2 π) .$ Look for opportunities to use trigonometric identities.

次の各問について、区間 $[0, 2 π)$ の厳密な解を求めよ。三角関数の恒等式を使える機会を探せ。

50. $\sin^{2} x - \cos^{2} x - \sin x = 0$

51. $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 0$

52. $\sin (2 x) - \sin x = 0$

53. $\cos (2 x) - \cos x = 0$

54. $\frac{2 \tan x}{2 - \sec^{2} x} - \sin^{2} x = \cos^{2} x$

55. $1 - \cos (2 x) = 1 + \cos (2 x)$

56. $\sec^{2} x = 7$

57. $10 \sin x \cos x = 6 \cos x$

58. $−3 \sin t = 15 \cos t \sin t$

59. $4 \cos^{2} x - 4 = 15 \cos x$

60. $8 \sin^{2} x + 6 \sin x + 1 = 0$

61. $8 \cos^{2} θ = 3 - 2 \cos θ$

62. $6 \cos^{2} x + 7 \sin x - 8 = 0$

63. $12 \sin^{2} t + \cos t - 6 = 0$

64. $\tan x = 3 \sin x$

65. $\cos^{3} t = \cos t$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, algebraically determine all solutions of the trigonometric equation exactly, then verify the results by graphing the equation and finding the zeros. Use an interval of $[0, 2 π)$

次の各問について、三角方程式の解をすべて代数的に厳密に求め、そしてその方程式のグラフを描いて零点を求め、結果を確かめよ。区間は $[0, 2 π)$ を使え。

66. $6 \sin^{2} x - 5 \sin x + 1 = 0$

67. $8 \cos^{2} x - 2 \cos x - 1 = 0$

68. $100 \tan^{2} x + 20 \tan x - 3 = 0$

69. $2 \cos^{2} x - \cos x + 15 = 0$

70. $20 \sin^{2} x - 27 \sin x + 7 = 0$

71. $2 \tan^{2} x + 7 \tan x + 6 = 0$

72. $130 \tan^{2} x + 69 \tan x - 130 = 0$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator to find all solutions to four decimal places.

次の各問について、電卓を使って解をすべて小数第四位まで求めよ。

73. $\sin x = 0.27$

74. $\sin x = −0.55$

75. $\tan x = −0.34$

76. $\cos x = 0.71$

For the following exercises, solve the equations algebraically, and then use a calculator to find the values on the interval $[0, 2 π) .$ Round to four decimal places.

次の各問について、方程式を代数的に解き、そして電卓を使って区間 $[0, 2 π)$ の値を求めよ。小数第四位まで丸めよ。

77. $\tan^{2} x + 3 \tan x - 3 = 0$

78. $6 \tan^{2} x + 13 \tan x = −6$

79. $\tan^{2} x - \sec x = 1$

80. $\sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = 0$

81. $2 \tan^{2} x + 9 \tan x - 6 = 0$

82. $4 \sin^{2} x + \sin (2 x) \sec x - 3 = 0$

Extensions発展問題

For the following exercises, find all solutions exactly to the equations on the interval $[0, 2 π) .$

次の各問について、区間 $[0, 2 π)$ の方程式の解をすべて厳密に求めよ。

83. $\csc^{2} x - 3 \csc x - 4 = 0$

84. $\sin^{2} x - \cos^{2} x - 1 = 0$

85. $\sin^{2} x (1 - \sin^{2} x) + \cos^{2} x (1 - \sin^{2} x) = 0$

86. $3 \sec^{2} x + 2 + \sin^{2} x - \tan^{2} x + \cos^{2} x = 0$

87. $\sin^{2} x - 1 + 2 \cos (2 x) - \cos^{2} x = 1$

88. $\tan^{2} x - 1 - \sec^{3} x \cos x = 0$

89. $\frac{\sin (2 x)}{\sec^{2} x} = 0$

90. $\frac{\sin (2 x)}{2 \csc^{2} x} = 0$

91. $2 \cos^{2} x - \sin^{2} x - \cos x - 5 = 0$

92. $\frac{1}{\sec^{2} x} + 2 + \sin^{2} x + 4 \cos^{2} x = 4$

Real-World Applications応用問題

93. An airplane has only enough gas to fly to a city 200 miles northeast of its current location. If the pilot knows that the city is 25 miles north, how many degrees north of east should the airplane fly?

93. ある飛行機に、今いる場所から北東に200マイルの都市まで飛ぶ分の燃料しか無い。操縦士がその都市が北に25マイルだと知っているとき、飛行機は東から北へ何度の向きに飛ぶべきか。

94. If a loading ramp is placed next to a truck, at a height of 4 feet, and the ramp is 15 feet long, what angle does the ramp make with the ground?

94. 高さ4フィートのトラックの横に、長さ15フィートの荷積み用の傾斜板を置くとき、この板は地面と何度の角をなすか。

95. If a loading ramp is placed next to a truck, at a height of 2 feet, and the ramp is 20 feet long, what angle does the ramp make with the ground?

95. 高さ2フィートのトラックの横に、長さ20フィートの荷積み用の傾斜板を置くとき、この板は地面と何度の角をなすか。

96. A woman is watching a launched rocket currently 11 miles in altitude. If she is standing 4 miles from the launch pad, at what angle is she looking up from horizontal?

96. ある女性が、今高度11マイルにある打ち上げられたロケットを見ている。彼女が発射台から4マイル離れて立っているとき、水平から何度の角で見上げているか。

97. An astronaut is in a launched rocket currently 15 miles in altitude. If a man is standing 2 miles from the launch pad, at what angle is the astronaut looking down at him from horizontal? (Hint: this is called the angle of depression.)

97. ある宇宙飛行士が、今高度15マイルにある打ち上げられたロケットに乗っている。ある男性が発射台から2マイル離れて立っているとき、宇宙飛行士は水平から何度の角でその男性を見下ろしているか。(ヒント: これを俯角という。)

98. A woman is standing 8 meters away from a 10-meter tall building. At what angle is she looking to the top of the building?

98. ある女性が、高さ10メートルの建物から8メートル離れて立っている。彼女は建物の頂上を何度の角で見ているか。

99. Issa is standing 10 meters away from a 6-meter tall building. Travis is at the top of the building looking down at Issa. At what angle is Travis looking at Issa?

99. Issa は高さ6メートルの建物から10メートル離れて立っている。Travis は建物の屋上から Issa を見下ろしている。Travis は何度の角で Issa を見ているか。

100. A 20-foot tall building has a shadow that is 55 feet long. What is the angle of elevation of the sun?

100. 高さ20フィートの建物の影の長さが55フィートである。太陽の仰角はいくらか。

101. A 90-foot tall building has a shadow that is 2 feet long. What is the angle of elevation of the sun?

101. 高さ90フィートの建物の影の長さが2フィートである。太陽の仰角はいくらか。

102. A spotlight on the ground 3 meters from a 2-meter tall man casts a 6 meter shadow on a wall 6 meters from the man. At what angle is the light?

102. 高さ2メートルの男性から3メートル離れた地面の投光器が、男性から6メートル離れた壁に6メートルの影を落とす。この光は何度の角にあるか。

103. A spotlight on the ground 3 feet from a 5-foot tall woman casts a 15-foot tall shadow on a wall 6 feet from the woman. At what angle is the light?

103. 高さ5フィートの女性から3フィート離れた地面の投光器が、女性から6フィート離れた壁に高さ15フィートの影を落とす。この光は何度の角にあるか。

For the following exercises, find a solution to the following word problem algebraically. Then use a calculator to verify the result. Round the answer to the nearest tenth of a degree.

次の各問について、次の文章題の解を代数的に求めよ。そして電卓を使って結果を確かめよ。答えは度の小数第一位まで丸めよ。

104. A person does a handstand with their feet touching a wall and their hands 1.5 feet away from the wall. If the person is 6 feet tall, what angle do their feet make with the wall?

104. ある人が、足を壁につけ、手を壁から1.5フィート離して逆立ちしている。この人の身長が6フィートのとき、その足は壁と何度の角をなすか。

105. A person does a handstand with her feet touching a wall and her hands 3 feet away from the wall. If the person is 5 feet tall, what angle do her feet make with the wall?

105. ある人が、足を壁につけ、手を壁から3フィート離して逆立ちしている。この人の身長が5フィートのとき、その足は壁と何度の角をなすか。

106. A 23-foot ladder is positioned next to a house. If the ladder slips at 7 feet from the house when there is not enough traction, what angle should the ladder make with the ground to avoid slipping?

106. 23フィートの梯子を家の横に立てかける。摩擦が足りないと、家から7フィートのところで梯子が滑る。滑らないようにするには、梯子は地面と何度の角をなすべきか。

Key Terms重要語

double-angle formulas identities derived from the sum formulas for sine, cosine, and tangent in which the angles are equal

倍角の公式 正弦・余弦・正接の和の公式で、角を等しいとおいて導いた等式

even-odd identities set of equations involving trigonometric functions such that if $f (- x) = - f (x),$ the identity is odd, and if $f (- x) = f (x),$ the identity is even

偶奇の等式 三角関数を含む式の組。 $f (- x) = - f (x)$ なら奇の等式、 $f (- x) = f (x)$ なら偶の等式である

half-angle formulas identities derived from the reduction formulas and used to determine half-angle values of trigonometric functions

半角の公式 次数を下げる公式から導かれ、三角関数の半角の値を決めるのに使う等式

product-to-sum formula a trigonometric identity that allows the writing of a product of trigonometric functions as a sum or difference of trigonometric functions

積を和にする公式 三角関数の積を三角関数の和または差として書けるようにする三角関数の恒等式

Pythagorean identities set of equations involving trigonometric functions based on the right triangle properties

ピタゴラスの等式 直角三角形の性質にもとづく、三角関数を含む式の組

quotient identities pair of identities based on the fact that tangent is the ratio of sine and cosine, and cotangent is the ratio of cosine and sine

商の等式 正接が正弦と余弦の比、余接が余弦と正弦の比であることにもとづく一対の等式

reciprocal identities set of equations involving the reciprocals of basic trigonometric definitions

逆数の等式 基本の三角関数の定義の逆数を含む式の組

reduction formulas identities derived from the double-angle formulas and used to reduce the power of a trigonometric function

次数を下げる公式 倍角の公式から導かれ、三角関数の次数を下げるのに使う等式

sum-to-product formula a trigonometric identity that allows, by using substitution, the writing of a sum of trigonometric functions as a product of trigonometric functions

和を積にする公式 置き換えを使って、三角関数の和を三角関数の積として書けるようにする三角関数の恒等式