第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.1 Verifying Trigonometric Identities and Using Trigonometric Identities to Simplify Trigonometric Expressions9.1 三角関数の恒等式の証明と式の整理

Learning Objectives 学習目標

• Verify the fundamental trigonometric identities.• Simplify trigonometric expressions using algebra and the identities.

・三角関数の基本恒等式を証明する。・代数の計算と恒等式を使って三角関数の式を整理する。

Photo of international passports. — Figure 1 International passports and travel documents図1 国際的なパスポートと渡航文書

In espionage movies, we see international spies with multiple passports, each claiming a different identity. However, we know that each of those passports represents the same person. The trigonometric identities act in a similar manner to multiple passports—there are many ways to represent the same trigonometric expression. Just as a spy will choose an Italian passport when traveling to Italy, we choose the identity that applies to the given scenario when solving a trigonometric equation.

スパイ映画には、異なる身分のパスポートを何冊も持つ人物が登場する。名前や国籍が違っていても、持ち主は同じ1人である。三角関数の恒等式もこれに似ている。見た目の異なる式で、同じ値を表せるからだ。スパイがイタリアへ行くときにイタリアのパスポートを選ぶように、三角方程式を解くときには、その問題に適した恒等式を選んで使う。

In this section, we will begin an examination of the fundamental trigonometric identities, including how we can verify them and how we can use them to simplify trigonometric expressions.

この節では、基本の三角関数の恒等式を調べ始める。それをどう確かめられるか、そしてそれを使ってどう三角関数の式を簡単にできるかを見る。

Verifying the Fundamental Trigonometric Identities三角関数の基本恒等式を証明する

Identities enable us to simplify complicated expressions. They are the basic tools of trigonometry used in solving trigonometric equations, just as factoring, finding common denominators, and using special formulas are the basic tools of solving algebraic equations. In fact, we use algebraic techniques constantly to simplify trigonometric expressions. Basic properties and formulas of algebra, such as the difference of squares formula and the perfect squares formula, will simplify the work involved with trigonometric expressions and equations. We already know that all of the trigonometric functions are related because they all are defined in terms of the unit circle. Consequently, any trigonometric identity can be written in many ways.

恒等式を使うと、複雑な式を扱いやすい形に変形できる。因数分解や通分、公式の利用が代数方程式を解くための基本となるのと同じく、三角関数の恒等式は三角方程式を解くための基本となる。三角関数の式を整理するときにも、代数の手法を繰り返し使う。平方の差の公式や完全平方の公式を使えば、式の変形や方程式の処理が簡単になる。三角関数はどれも単位円を使って定義され、互いに関係している。そのため、1つの三角関数の恒等式を、さまざまな形に書き換えることができる。

To verify the trigonometric identities, we usually start with the more complicated side of the equation and essentially rewrite the expression until it has been transformed into the same expression as the other side of the equation. Sometimes we have to factor expressions, expand expressions, find common denominators, or use other algebraic strategies to obtain the desired result. In this first section, we will work with the fundamental identities: the Pythagorean identities, the even-odd identities, the reciprocal identities, and the quotient identities.

三角関数の恒等式を確かめるには、ふつう方程式のより込み入った側から始め、その式が方程式のもう一方の側と同じ式に変わるまで書き直していく。式を因数分解したり、展開したり、通分したり、ほかの代数の手立てを使ったりして、望む結果を得なければならないこともある。この最初の節では、基本恒等式——ピタゴラスの等式、偶奇の等式、逆数の等式、商の等式——を扱う。

We will begin with the Pythagorean identities (see Table 1), which are equations involving trigonometric functions based on the properties of a right triangle. We have already seen and used the first of these identifies, but now we will also use additional identities.

まずピタゴラスの等式(表1を見よ)から始める。これは直角三角形の性質にもとづく、三角関数を含む式である。このうち最初のものはすでに見て使ったが、ここではさらにほかの等式も使う。

Pythagorean Identitiesピタゴラスの等式
$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$	$1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$	$1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$

Table 1

The second and third identities can be obtained by manipulating the first. The identity $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$ is found by rewriting the left side of the equation in terms of sine and cosine.

二つ目と三つ目の等式は、一つ目を変形すれば得られる。等式 $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$ は、方程式の左辺を正弦と余弦で書き直せば求まる。

Prove: $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$

証明せよ: $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$

\begin{matrix} 1 + \cot^{2} θ & = & (1 + \frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ}) & Rewrite the left side . \\ = & (\frac{\sin^{2} θ}{\sin^{2} θ}) + (\frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ}) & Write both terms with the common denominator . \\ = & \frac{\sin^{2} θ + \cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = & \frac{1}{\sin^{2} θ} \\ = & \csc^{2} θ \end{matrix}

Similarly, $1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$ can be obtained by rewriting the left side of this identity in terms of sine and cosine. This gives

同じように $1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$ も、この等式の左辺を正弦と余弦で書き直せば得られる。すると次が得られる。

\begin{matrix} 1 + \tan^{2} θ & = & 1 + {(\frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} & Rewrite left side . \\ = & {(\frac{\cos θ}{\cos θ})}^{2} + {(\frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} & Write both terms with the common denominator . \\ = & \frac{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = & \frac{1}{\cos^{2} θ} \\ = & \sec^{2} θ \end{matrix}

Recall that we determined which trigonometric functions are odd and which are even. The next set of fundamental identities is the set of even-odd identities. The even-odd identities relate the value of a trigonometric function at a given angle to the value of the function at the opposite angle. (See Table 2).

どの三角関数が奇関数でどれが偶関数かを決めたことを思い出そう。次の基本恒等式の組は、偶奇の等式である。偶奇の等式は、ある角での三角関数の値を、符号を変えた角でのその関数の値に結びつける。(表2を見よ。)

Even-Odd Identities偶奇の等式
$\begin{array}{l} \tan (- θ) = - \tan θ \\ \cot (- θ) = - \cot θ \end{array}$	$\begin{array}{l} \sin (- θ) = - \sin θ \\ \csc (- θ) = - \csc θ \end{array}$	$\begin{array}{l} \cos (- θ) = \cos θ \\ \sec (- θ) = \sec θ \end{array}$

Recall that an odd function is one in which $f (- x) = - f (x)$ for all $x$ in the domain of $f .$ The sine function is an odd function because $\sin (- θ) = - \sin θ .$ The graph of an odd function is symmetric about the origin. For example, consider corresponding inputs of $\frac{π}{2}$ and $- \frac{π}{2} .$ The output of $\sin (\frac{π}{2})$ is opposite the output of $\sin (- \frac{π}{2}) .$ Thus,

奇関数とは、 $f$ の定義域のすべての $x$ について $f (- x) = - f (x)$ となる関数であることを思い出そう。 $\sin (- θ) = - \sin θ$ なので、正弦関数は奇関数である。奇関数のグラフは原点に関して対称である。たとえば、対応する入力 $\frac{π}{2}$ と $- \frac{π}{2}$ を考えよう。 $\sin (\frac{π}{2})$ の出力は $\sin (- \frac{π}{2})$ の出力の符号を変えたものである。したがって、

\begin{matrix} \sin (\frac{π}{2}) & = & 1 \\ and \\ \sin (- \frac{π}{2}) & = & - \sin (\frac{π}{2}) \\ = & −1 \end{matrix}

This is shown in Figure 2.

これを図2に示す。

Graph of y=sin(theta) from -2pi to 2pi, showing in particular that it is symmetric about the origin. Points given are (pi/2, 1) and (-pi/2, -1). — Figure 2 Graph of $y = \sin θ$ 図2 $y = \sin θ$ のグラフ

Recall that an even function is one in which

偶関数とは、次のようになる関数であることを思い出そう。

f (- x) = f (x) for all x in the domain of f

The graph of an even function is symmetric about the y-axis. The cosine function is an even function because $\cos (- θ) = \cos θ .$ For example, consider corresponding inputs $\frac{π}{4}$ and $- \frac{π}{4} .$ The output of $\cos (\frac{π}{4})$ is the same as the output of $\cos (- \frac{π}{4}) .$ Thus,

偶関数のグラフは y軸に関して対称である。 $\cos (- θ) = \cos θ$ なので、余弦関数は偶関数である。たとえば、対応する入力 $\frac{π}{4}$ と $- \frac{π}{4}$ を考えよう。 $\cos (\frac{π}{4})$ の出力は $\cos (- \frac{π}{4})$ の出力と同じである。したがって、

\begin{matrix} \cos (- \frac{π}{4}) & = & \cos (\frac{π}{4}) \\ \approx & 0.707 \end{matrix}

See Figure 3.

図3を見よ。

Graph of y=cos(theta) from -2pi to 2pi, showing in particular that it is symmetric about the y-axis. Points given are (-pi/4, .707) and (pi/4, .707). — Figure 3 Graph of $y = \cos θ$ 図3 $y = \cos θ$ のグラフ

For all $θ$ in the domain of the sine and cosine functions, respectively, we can state the following:

それぞれ正弦関数と余弦関数の定義域のすべての $θ$ について、次が述べられる。

• Since $\sin (- θ) = - \sin θ,$ sine is an odd function.• Since, $\cos (- θ) = \cos θ,$ cosine is an even function.

・ $\sin (- θ) = - \sin θ$ なので、正弦は奇関数である。・ $\cos (- θ) = \cos θ$ なので、余弦は偶関数である。

The other even-odd identities follow from the even and odd nature of the sine and cosine functions. For example, consider the tangent identity, $\tan (- θ) = −tan θ .$ We can interpret the tangent of a negative angle as $\tan (- θ) = \frac{\sin (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- \sin θ}{\cos θ} = - \tan θ .$ Tangent is therefore an odd function, which means that $\tan (- θ) = - \tan (θ)$ for all $θ$ in the domain of the tangent function.

ほかの偶奇の等式は、正弦関数と余弦関数の偶奇の性質から従う。たとえば正接の等式 $\tan (- θ) = −tan θ$ を考えよう。負の角の正接は $\tan (- θ) = \frac{\sin (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- \sin θ}{\cos θ} = - \tan θ$ と読める。したがって正接は奇関数であり、正接関数の定義域のすべての $θ$ について $\tan (- θ) = - \tan (θ)$ となる。

The cotangent identity, $\cot (- θ) = - \cot θ,$ also follows from the sine and cosine identities. We can interpret the cotangent of a negative angle as $\cot (- θ) = \frac{\cos (- θ)}{\sin (- θ)} = \frac{\cos θ}{- \sin θ} = - \cot θ .$ Cotangent is therefore an odd function, which means that $\cot (- θ) = - \cot (θ)$ for all $θ$ in the domain of the cotangent function.

余接の等式 $\cot (- θ) = - \cot θ$ も、正弦と余弦の等式から従う。負の角の余接は $\cot (- θ) = \frac{\cos (- θ)}{\sin (- θ)} = \frac{\cos θ}{- \sin θ} = - \cot θ$ と読める。したがって余接は奇関数であり、余接関数の定義域のすべての $θ$ について $\cot (- θ) = - \cot (θ)$ となる。

The cosecant function is the reciprocal of the sine function, which means that the cosecant of a negative angle will be interpreted as $\csc (- θ) = \frac{1}{\sin (- θ)} = \frac{1}{- \sin θ} = - \csc θ .$ The cosecant function is therefore odd.

余割関数は正弦関数の逆数なので、負の角の余割は $\csc (- θ) = \frac{1}{\sin (- θ)} = \frac{1}{- \sin θ} = - \csc θ$ と読める。したがって余割関数は奇関数である。

Finally, the secant function is the reciprocal of the cosine function, and the secant of a negative angle is interpreted as $\sec (- θ) = \frac{1}{\cos (- θ)} = \frac{1}{\cos θ} = \sec θ .$ The secant function is therefore even.

最後に、正割関数は余弦関数の逆数であり、負の角の正割は $\sec (- θ) = \frac{1}{\cos (- θ)} = \frac{1}{\cos θ} = \sec θ$ と読める。したがって正割関数は偶関数である。

To sum up, only two of the trigonometric functions, cosine and secant, are even. The other four functions are odd, verifying the even-odd identities.

まとめると、三角関数のうち偶関数なのは余弦と正割の二つだけである。ほかの四つは奇関数であり、偶奇の等式が確かめられる。

The next set of fundamental identities is the set of reciprocal identities, which, as their name implies, relate trigonometric functions that are reciprocals of each other. See Table 3. Recall that we first encountered these identities when defining trigonometric functions from right angles in Right Angle Trigonometry.

次の基本恒等式の組は逆数の等式である。名前が示すとおり、互いに逆数である三角関数を結ぶ。表3を見よ。「直角三角形の三角法」で直角から三角関数を定めたとき、この等式に初めて出会ったことを思い出そう。

Reciprocal Identities逆数の等式
$\sin θ = \frac{1}{\csc θ}$	$\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$
$\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$	$\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$
$\tan θ = \frac{1}{\cot θ}$	$\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$

The final set of identities is the set of quotient identities, which define relationships among certain trigonometric functions and can be very helpful in verifying other identities. See Table 4.

最後の等式の組は商の等式である。これはある三角関数どうしの関係を定め、ほかの等式を確かめるのにとても役立つ。表4を見よ。

Quotient Identities商の等式
$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$	$\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$

Table 4

The reciprocal and quotient identities are derived from the definitions of the basic trigonometric functions.

逆数の等式と商の等式は、基本の三角関数の定義から導かれる。

Summarizing Trigonometric Identities 三角関数の恒等式の一覧

The Pythagorean identities are based on the properties of a right triangle.

ピタゴラスの等式は、直角三角形の性質にもとづく。

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ

The even-odd identities relate the value of a trigonometric function at a given angle to the value of the function at the opposite angle.

偶奇の等式は、ある角での三角関数の値を、符号を変えた角でのその関数の値に結びつける。

\tan (- θ) = - \tan θ

\cot (- θ) = - \cot θ

\sin (- θ) = - \sin θ

\csc (- θ) = - \csc θ

\cos (- θ) = \cos θ

\sec (- θ) = \sec θ

The reciprocal identities define reciprocals of the trigonometric functions.

逆数の等式は、三角関数の逆数を定める。

\sin θ = \frac{1}{\csc θ}

\cos θ = \frac{1}{\sec θ}

\tan θ = \frac{1}{\cot θ}

\csc θ = \frac{1}{\sin θ}

\sec θ = \frac{1}{\cos θ}

\cot θ = \frac{1}{\tan θ}

The quotient identities define the relationship among the trigonometric functions.

商の等式は、三角関数どうしの関係を定める。

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}

Example 1例1

Graphing the Expressions of an Identity等式の両辺の式のグラフを描く

Graph both sides of the identity $\cot θ = \frac{1}{\tan θ} .$ In other words, on the graphing calculator, graph $y = \cot θ$ and $y = \frac{1}{\tan θ} .$

等式 $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ の両辺のグラフを描け。言い換えれば、グラフ電卓で $y = \cot θ$ と $y = \frac{1}{\tan θ}$ のグラフを描け。

Solution 解答

See Figure 4.

図4を見よ。

Graph of y = cot(theta) and y=1/tan(theta) from -2pi to 2pi. They are the same!

Analysis 考察

We see only one graph because both expressions generate the same image. One is on top of the other. This is a good way to confirm an identity verified with analytical means. If both expressions give the same graph, then they are most likely identities.

両方の式が同じ図を生むので、グラフは一つしか見えない。一方がもう一方の上に重なっている。これは、解析的な手立てで確かめた等式を裏づける良いやり方である。両方の式が同じグラフになるなら、それは等式である見込みが高い。

How To 手順

Given a trigonometric identity, verify that it is true.

三角関数の恒等式が与えられたとき、それが正しいことを確かめる。

1. Work on one side of the equation. It is usually better to start with the more complex side, as it is easier to simplify than to build.2. Look for opportunities to factor expressions, square a binomial, or add fractions.3. Noting which functions are in the final expression, look for opportunities to use the identities and make the proper substitutions.4. If these steps do not yield the desired result, try converting all terms to sines and cosines.

1. 方程式の一方の側で作業する。組み立てるより簡単にするほうが楽なので、ふつうはより込み入った側から始めるほうがよい。2. 式を因数分解したり、二項式を2乗したり、分数を足したりできる機会を探す。3. 最後の式にどの関数があるかに注意しながら、等式を使って正しく置き換えられる機会を探す。4. この手順で望む結果が得られないなら、すべての項を正弦と余弦に直してみる。

Example 2例2

Verifying a Trigonometric Identity三角関数の恒等式を確かめる

Verify $\tan θ \cos θ = \sin θ .$

$\tan θ \cos θ = \sin θ$ を確かめよ。

Solution 解答

We will start on the left side, as it is the more complicated side:

より込み入っている左辺から始める。

\begin{matrix} \tan θ \cos θ & = & (\frac{\sin θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = & (\frac{\sin θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = & \sin θ \end{matrix}

Analysis 考察

This identity was fairly simple to verify, as it only required writing $\tan θ$ in terms of $\sin θ$ and $\cos θ .$

この等式は、 $\tan θ$ を $\sin θ$ と $\cos θ$ で書くだけでよかったので、確かめるのはかなり簡単だった。

Try It #1やってみよう1

Verify the identity $\csc θ \cos θ \tan θ = 1.$

等式 $\csc θ \cos θ \tan θ = 1.$ を確かめよ。

Example 3例3

Verifying the Equivalency Using the Even-Odd Identities偶奇の等式を使って同値であることを確かめる

Verify the following equivalency using the even-odd identities:

偶奇の等式を使って、次が同値であることを確かめよ。

(1 + \sin x) [1 + \sin (- x)] = \cos^{2} x

Solution 解答

Working on the left side of the equation, we have

方程式の左辺で作業すると、次が得られる。

\begin{matrix} (1 + \sin x) [1 + \sin (- x)] & = & (1 + \sin x) (1 - \sin x) & Since sin(− x)= - \sin x \\ = & 1 - \sin^{2} x & Difference of squares \\ = & \cos^{2} x & {cos}^{2} x = 1 - \sin^{2} x \end{matrix}

Example 4例4

Verifying a Trigonometric Identity Involving sec²θsec2θ を含む三角関数の恒等式を確かめる

Verify the identity $\frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \sin^{2} θ$

等式 $\frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \sin^{2} θ$ を確かめよ。

Solution 解答

As the left side is more complicated, let’s begin there.

左辺のほうが込み入っているので、そこから始めよう。

\begin{matrix} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} & = & \frac{(\tan^{2} θ + 1) - 1}{\sec^{2} θ} & {sec}^{2} θ = \tan^{2} θ + 1 \\ = & \frac{\tan^{2} θ}{\sec^{2} θ} \\ = & \tan^{2} θ (\frac{1}{\sec^{2} θ}) \\ = & \tan^{2} θ (\cos^{2} θ) & \cos^{2} θ = \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = & (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) & {tan}^{2} θ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = & (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) \\ = & \sin^{2} θ \end{matrix}

There is more than one way to verify an identity. Here is another possibility. Again, we can start with the left side.

等式を確かめるしかたは一つではない。別のやり方を示す。ここでも左辺から始められる。

\begin{matrix} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} & = & \frac{\sec^{2} θ}{\sec^{2} θ} - \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = & 1 - \cos^{2} θ \\ = & \sin^{2} θ \end{matrix}

Analysis 考察

In the first method, we used the identity $\sec^{2} θ = \tan^{2} θ + 1$ and continued to simplify. In the second method, we split the fraction, putting both terms in the numerator over the common denominator. This problem illustrates that there are multiple ways we can verify an identity. Employing some creativity can sometimes simplify a procedure. As long as the substitutions are correct, the answer will be the same.

一つ目の方法では、等式 $\sec^{2} θ = \tan^{2} θ + 1$ を使って簡単にし続けた。二つ目の方法では、分数を分けて、両方の項を共通の分母の上に置いた。この問題は、等式を確かめるしかたが何通りもあることを示している。少し工夫すれば、手順が簡単になることもある。置き換えが正しければ、答えは同じになる。

Try It #2やってみよう2

Show that $\frac{\cot θ}{\csc θ} = \cos θ .$

$\frac{\cot θ}{\csc θ} = \cos θ$ を示せ。

Example 5例5

Creating and Verifying an Identity等式を作って確かめる

Create an identity for the expression $2 \tan θ \sec θ$ by rewriting strictly in terms of sine.

式 $2 \tan θ \sec θ$ を正弦だけで書き直して、等式を作れ。

Solution 解答

There are a number of ways to begin, but here we will use the quotient and reciprocal identities to rewrite the expression:

始め方は何通りもあるが、ここでは商の等式と逆数の等式を使ってこの式を書き直す。

\begin{matrix} 2 \tan θ \sec θ & = & 2 (\frac{\sin θ}{\cos θ}) (\frac{1}{\cos θ}) \\ = & \frac{2 \sin θ}{\cos^{2} θ} \\ = & \frac{2 \sin θ}{1 - \sin^{2} θ} & Substitute 1 - \sin^{2} θ for \cos^{2} θ . \end{matrix}

Thus,

したがって、

2 \tan θ \sec θ = \frac{2 \sin θ}{1 - \sin^{2} θ}

Example 6例6

Verifying an Identity Using Algebra and Even/Odd Identities代数と偶奇の等式を使って等式を確かめる

Verify the identity:

次の等式を確かめよ。

\frac{\sin^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} = \cos θ - \sin θ

Solution 解答

Let’s start with the left side and simplify:

左辺から始めて簡単にしよう。

\begin{matrix} \frac{\sin^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} & = & \frac{{[\sin (- θ)]}^{2} - {[\cos (- θ)]}^{2}}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} \\ = & \frac{{(- \sin θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- \sin θ - \cos θ} & \sin (- x) = - \sin x and \cos (- x) = \cos x \\ = & \frac{{(\sin θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- \sin θ - \cos θ} & Difference of squares \\ = & \frac{(\sin θ - \cos θ) (\sin θ + \cos θ)}{- (\sin θ + \cos θ)} \\ = & \frac{(\sin θ - \cos θ) (\sin θ + \cos θ)}{- (\sin θ + \cos θ)} \\ = & \cos θ - \sin θ \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

Verify the identity $\frac{\sin^{2} θ - 1}{\tan θ \sin θ - \tan θ} = \frac{\sin θ + 1}{\tan θ} .$

等式 $\frac{\sin^{2} θ - 1}{\tan θ \sin θ - \tan θ} = \frac{\sin θ + 1}{\tan θ}$ を確かめよ。

Example 7例7

Verifying an Identity Involving Cosines and Cotangents余弦と余接を含む等式を確かめる

Verify the identity: $(1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = 1.$

等式 $(1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = 1.$ を確かめよ。

Solution 解答

We will work on the left side of the equation.

方程式の左辺で作業する。

\begin{matrix} (1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) & = & (1 - \cos^{2} x) (1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}) \\ = & (1 - \cos^{2} x) (\frac{\sin^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}) & Find the common denominator . \\ = & (1 - \cos^{2} x) (\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x}) \\ = & (\sin^{2} x) (\frac{1}{\sin^{2} x}) \\ = & 1 \end{matrix}

Using Algebra to Simplify Trigonometric Expressions代数を使って三角関数の式を簡単にする

We have seen that algebra is very important in verifying trigonometric identities, but it is just as critical in simplifying trigonometric expressions before solving. Being familiar with the basic properties and formulas of algebra, such as the difference of squares formula, the perfect square formula, or substitution, will simplify the work involved with trigonometric expressions and equations.

三角関数の恒等式を確かめるうえで代数がとても大切なのを見てきたが、解く前に三角関数の式を簡単にするうえでも同じくらい欠かせない。二乗の差の公式、完全平方の公式、置き換えなど、代数の基本の性質と公式に慣れていれば、三角関数の式や方程式にまつわる仕事が楽になる。

For example, the equation $(\sin x + 1) (\sin x - 1) = 0$ resembles the equation $(x + 1) (x - 1) = 0,$ which uses the factored form of the difference of squares. Using algebra makes finding a solution straightforward and familiar. We can set each factor equal to zero and solve. This is one example of recognizing algebraic patterns in trigonometric expressions or equations.

たとえば方程式 $(\sin x + 1) (\sin x - 1) = 0$ は、二乗の差を因数分解した形を使う方程式 $(x + 1) (x - 1) = 0$ に似ている。代数を使えば、解を求めるのがまっすぐで馴染み深くなる。各因数を0とおいて解けばよい。これは、三角関数の式や方程式に代数の型を見分ける一例である。

Another example is the difference of squares formula, $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b),$ which is widely used in many areas other than mathematics, such as engineering, architecture, and physics. We can also create our own identities by continually expanding an expression and making the appropriate substitutions. Using algebraic properties and formulas makes many trigonometric equations easier to understand and solve.

もう一つの例は二乗の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ で、これは工学・建築・物理など、数学以外の多くの分野で広く使われる。式を次々に展開し、ふさわしい置き換えをすれば、自分で等式を作ることもできる。代数の性質と公式を使えば、多くの三角方程式が理解しやすく解きやすくなる。

Example 8例8

Writing the Trigonometric Expression as an Algebraic Expression三角関数の式を代数の式として書く

Write the following trigonometric expression as an algebraic expression: $2 \cos^{2} θ + \cos θ - 1.$

次の三角関数の式を代数の式として書け: $2 \cos^{2} θ + \cos θ - 1.$

Solution 解答

Notice that the pattern displayed has the same form as a standard quadratic expression, $a x^{2} + b x + c .$ Letting $\cos θ = x,$ we can rewrite the expression as follows:

示された型が、標準の二次の式 $a x^{2} + b x + c$ と同じ形をしていることに注目しよう。 $\cos θ = x$ とおけば、この式を次のように書き直せる。

2 x^{2} + x - 1

This expression can be factored as $(2 x - 1) (x + 1) .$ If it were set equal to zero and we wanted to solve the equation, we would use the zero factor property and solve each factor for $x .$ At this point, we would replace $x$ with $\cos θ$ and solve for $θ .$

この式は $(2 x - 1) (x + 1)$ と因数分解できる。これを0とおいて方程式を解きたいなら、積が0になる性質を使って各因数を $x$ について解く。そこで $x$ を $\cos θ$ に戻し、 $θ$ について解けばよい。

Example 9例9

Rewriting a Trigonometric Expression Using the Difference of Squares二乗の差を使って三角関数の式を書き直す

Rewrite the trigonometric expression using the difference of squares: $4 \cos^{2} θ - 1.$

二乗の差を使って三角関数の式を書き直せ: $4 \cos^{2} θ - 1.$

Solution 解答

Notice that both the coefficient and the trigonometric expression in the first term are squared, and the square of the number 1 is 1. This is the difference of squares.

最初の項では係数も三角関数の式も2乗されており、数1の2乗は1であることに注目しよう。これは二乗の差である。

\begin{matrix} 4 \cos^{2} θ - 1 & = & {(2 \cos θ)}^{2} - 1 \\ = & (2 \cos θ - 1) (2 \cos θ + 1) \end{matrix}

Analysis 考察

If this expression were written in the form of an equation set equal to zero, we could solve each factor using the zero factor property. We could also use substitution like we did in the previous problem and let $\cos θ = x,$ rewrite the expression as $4 x^{2} - 1,$ and factor $(2 x - 1) (2 x + 1) .$ Then replace $x$ with $\cos θ$ and solve for the angle.

この式が0とおいた方程式の形で書かれていたら、積が0になる性質を使って各因数を解けばよい。前の問題と同じように置き換えを使い、 $\cos θ = x$ とおいてこの式を $4 x^{2} - 1$ と書き直し、 $(2 x - 1) (2 x + 1)$ と因数分解することもできる。そして $x$ を $\cos θ$ に戻して角について解く。

Try It #4やってみよう4

Rewrite the trigonometric expression using the difference of squares: $25 - 9 \sin^{2} θ .$

二乗の差を使って三角関数の式を書き直せ: $25 - 9 \sin^{2} θ$

Example 10例10

Simplify by Rewriting and Using Substitution書き直しと置き換えで簡単にする

Simplify the expression by rewriting and using identities:

書き直しと等式を使ってこの式を簡単にせよ。

\csc^{2} θ - \cot^{2} θ

Solution 解答

We can start with the Pythagorean identity.

ピタゴラスの等式から始められる。

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

Now we can simplify by substituting $1 + \cot^{2} θ$ for $\csc^{2} θ .$ We have

これで $\csc^{2} θ$ を $1 + \cot^{2} θ$ に置き換えて簡単にできる。次が得られる。

\begin{matrix} \csc^{2} θ - \cot^{2} θ & = & 1 + \cot^{2} θ - \cot^{2} θ \\ = & 1 \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Use algebraic techniques to verify the identity: $\frac{\cos θ}{1 + \sin θ} = \frac{1 - \sin θ}{\cos θ} .$

代数の手法を使って等式 $\frac{\cos θ}{1 + \sin θ} = \frac{1 - \sin θ}{\cos θ}$ を確かめよ。

(Hint: Multiply the numerator and denominator on the left side by $1 - \sin θ .)$

(ヒント: 左辺の分子と分母に $1 - \sin θ .)$ を掛ける。)

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with the fundamental trigonometric identities.

基本の三角関数の恒等式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Fundamental Trigonometric Identities• Verifying Trigonometric Identities

・基本の三角関数の恒等式・三角関数の恒等式を確かめる

Verbal言葉で答える問題

1. We know $g (x) = \cos x$ is an even function, and $f (x) = \sin x$ and $h (x) = \tan x$ are odd functions. What about $G (x) = \cos^{2} x, F (x) = \sin^{2} x,$ and $H (x) = \tan^{2} x ?$ Are they even, odd, or neither? Why?

1. $g (x) = \cos x$ が偶関数、 $f (x) = \sin x$ と $h (x) = \tan x$ が奇関数だと分かっている。 $G (x) = \cos^{2} x, F (x) = \sin^{2} x$ と $H (x) = \tan^{2} x ?$ はどうか。偶関数か、奇関数か、どちらでもないか。なぜか。

2. Examine the graph of $f (x) = \sec x$ on the interval $[- π, π] .$ How can we tell whether the function is even or odd by only observing the graph of $f (x) = \sec x ?$

2. 区間 $[- π, π]$ で $f (x) = \sec x$ のグラフを調べよ。 $f (x) = \sec x ?$ のグラフを見るだけで、この関数が偶関数か奇関数かをどう見分けられるか。

3. After examining the reciprocal identity for $\sec t,$ explain why the function is undefined at certain points.

3. $\sec t$ の逆数の等式を調べて、この関数がある点で定義されない理由を説明せよ。

4. All of the Pythagorean identities are related. Describe how to manipulate the equations to get from $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ to the other forms.

4. ピタゴラスの等式はどれも互いに関わっている。 $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ からほかの形へ、式をどう変形すればよいかを述べよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, use the fundamental identities to fully simplify the expression.

次の各問について、基本恒等式を使って式を完全に簡単にせよ。

5. $\sin x \cos x \sec x$

6. $\sin (- x) \cos (- x) \csc (- x)$

7. $\tan x \sin x + \sec x \cos^{2} x$

8. $\csc x + \cos x \cot (- x)$

9. $\frac{\cot t + \tan t}{\sec (- t)}$

10. $3 \sin^{3} t \csc t + \cos^{2} t + 2 \cos (- t) \cos t$

11. $- \tan (- x) \cot (- x)$

12. $\frac{- \sin (- x) \cos x \sec x \csc x \tan x}{\cot x}$

13. $\frac{1 + \tan^{2} θ}{\csc^{2} θ} + \sin^{2} θ + \frac{1}{\sec^{2} θ}$

14. $(\frac{\tan x}{\csc^{2} x} + \frac{\tan x}{\sec^{2} x}) (\frac{1 + \tan x}{1 + \cot x}) - \frac{1}{\cos^{2} x}$

15. $\frac{1 - \cos^{2} x}{\tan^{2} x} + 2 \sin^{2} x$

For the following exercises, simplify the first trigonometric expression by writing the simplified form in terms of the second expression.

次の各問について、二つ目の式で簡単にした形を書いて、一つ目の三角関数の式を簡単にせよ。

16. $\frac{\tan x + \cot x}{\csc x}; \cos x$

17. $\frac{\sec x + \csc x}{1 + \tan x}; \sin x$

18. $\frac{\cos x}{1 + \sin x} + \tan x; \cos x$

19. $\frac{1}{\sin x \cos x} - \cot x; \cot x$

20. $\frac{1}{1 - \cos x} - \frac{\cos x}{1 + \cos x}; \csc x$

21. $(\sec x + \csc x) (\sin x + \cos x) - 2 - \cot x; \tan x$

22. $\frac{1}{\csc x - \sin x}; \sec x and \tan x$

式中の英語：and：および

23. $\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} - \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}; \sec x and \tan x$

式中の英語：and：および

24. $\tan x; \sec x$

25. $\sec x; \cot x$

26. $\sec x; \sin x$

27. $\cot x; \sin x$

28. $\cot x; \csc x$

For the following exercises, verify the identity.

次の各問について、等式を確かめよ。

29. $\cos x - \cos^{3} x = \cos x \sin^{2} x$

30. $\cos x (\tan x - \sec (- x)) = \sin x - 1$

31. $\frac{1 + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + 2 \tan^{2} x$

32. ${(\sin x + \cos x)}^{2} = 1 + 2 \sin x \cos x$

33. $\cos^{2} x - \tan^{2} x = 2 - \sin^{2} x - \sec^{2} x$

Extensions発展問題

For the following exercises, prove or disprove the identity.

次の各問について、その等式を証明するか、反証せよ。

34. $\frac{1}{1 + \cos x} - \frac{1}{1 - \cos (- x)} = - 2 \cot x \csc x$

35. $\csc^{2} x (1 + \sin^{2} x) = \cot^{2} x$

36. $(\frac{\sec^{2} (- x) - \tan^{2} x}{\tan x}) (\frac{2 + 2 \tan x}{2 + 2 \cot x}) - 2 \sin^{2} x = \cos 2 x$

37. $\frac{\tan x}{\sec x} \sin (- x) = \cos^{2} x$

38. $\frac{\sec (- x)}{\tan x + \cot x} = - \sin (- x)$

39. $\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 + \sin (- x)}$

For the following exercises, determine whether the identity is true or false. If false, find an appropriate equivalent expression.

次の各問について、その等式が正しいか正しくないかを判定せよ。正しくないなら、ふさわしい同値な式を求めよ。

40. $\frac{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}{1 - \tan^{2} θ} = \sin^{2} θ$

41. $3 \sin^{2} θ + 4 \cos^{2} θ = 3 + \cos^{2} θ$

42. $\frac{\sec θ + \tan θ}{\cot θ + \cos θ} = \sec^{2} θ$

第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.1 Verifying Trigonometric Identities and Using Trigonometric Identities to Simplify Trigonometric Expressions9.1 三角関数の恒等式の証明と式の整理

Verifying the Fundamental Trigonometric Identities三角関数の基本恒等式を証明する

Graphing the Expressions of an Identity等式の両辺の式のグラフを描く

Verifying a Trigonometric Identity三角関数の恒等式を確かめる

Verifying the Equivalency Using the Even-Odd Identities偶奇の等式を使って同値であることを確かめる

Verifying a Trigonometric Identity Involving sec2θsec2θ を含む三角関数の恒等式を確かめる

Creating and Verifying an Identity等式を作って確かめる

Verifying an Identity Using Algebra and Even/Odd Identities代数と偶奇の等式を使って等式を確かめる

Verifying an Identity Involving Cosines and Cotangents余弦と余接を含む等式を確かめる

Using Algebra to Simplify Trigonometric Expressions代数を使って三角関数の式を簡単にする

Writing the Trigonometric Expression as an Algebraic Expression三角関数の式を代数の式として書く

Rewriting a Trigonometric Expression Using the Difference of Squares二乗の差を使って三角関数の式を書き直す

Simplify by Rewriting and Using Substitution書き直しと置き換えで簡単にする

Verifying a Trigonometric Identity Involving sec²θsec2θ を含む三角関数の恒等式を確かめる