第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

Practice Test実力テスト

For the following exercises, simplify the given expression.

次の各問について、与えられた式を簡単にせよ。

1. $\cos (- x) \sin x \cot x + \sin^{2} x$

2. $\sin (- x) \cos (- 2 x) - \sin (- x) \cos (- 2 x)$

3. $\csc (θ) \cot (θ) (\sec^{2} θ - 1)$

4. $\cos^{2} (θ) \sin^{2} (θ) (1 + \cot^{2} (θ)) (1 + \tan^{2} (θ))$

For the following exercises, find the exact value.

次の各問について、厳密な値を求めよ。

5. $\cos (\frac{7 π}{12})$

6. $\tan (\frac{3 π}{8})$

7. $\tan (\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \tan^{- 1} \sqrt{3})$

8. $2 \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

9. $\cos (\frac{4 π}{3} + θ)$

10. $\tan (- \frac{π}{4} + θ)$

For the following exercises, simplify each expression. Do not evaluate.

次の各問について、各式を簡単にせよ。値は求めなくてよい。

11. $\cos^{2} (32°) \tan^{2} (32°)$

12. $\cot (\frac{θ}{2})$

For the following exercises, find all exact solutions to the equation on $[0, 2 π) .$

次の各問について、 $[0, 2 π)$ で方程式の厳密な解をすべて求めよ。

13. $\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1 = 0$

14. $\cos^{2} x = \cos x$

15. $\cos (2 x) + \sin^{2} x = 0$

16. $2 \sin^{2} x - \sin x = 0$

17. Rewrite the expression as a product instead of a sum: $\cos (2 x) + \cos (- 8 x) .$

17. この式を和ではなく積として書き直せ: $\cos (2 x) + \cos (- 8 x)$

For the following exercise, rewrite the product as a sum or difference.

次の問について、積を和または差に書き直せ。

18. $8 \cos (15 x) \sin (3 x)$

For the following exercise, rewrite the sum or difference as a product.

次の問について、和または差を積に書き直せ。

19. $2 (\sin (8 θ) - \sin (4 θ))$

20. Find all solutions of $\tan (x) - \sqrt{3} = 0.$

20. $\tan (x) - \sqrt{3} = 0.$ の解をすべて求めよ。

21. Find the solutions of $\sec^{2} x - 2 \sec x = 15$ on the interval $[0, 2 π)$ algebraically; then graph both sides of the equation to determine the answer.

21. 区間 $[0, 2 π)$ で $\sec^{2} x - 2 \sec x = 15$ の解を代数的に求めよ。そして方程式の両辺のグラフを描いて答えを決めよ。

For the following exercises, find all solutions exactly on the interval $0 \leq θ \leq π$

次の各問について、区間 $0 \leq θ \leq π$ の解をすべて厳密に求めよ。

22. $2 \cos (\frac{θ}{2}) = 1$

23. $\sqrt{3} \cot (y) = 1$

24. Find $\sin (2 θ), \cos (2 θ),$ and $\tan (2 θ)$ given $\cot θ = - \frac{3}{4}$ and $θ$ is on the interval $[\frac{π}{2}, π] .$

24. $\cot θ = - \frac{3}{4}$ で $θ$ が区間 $[\frac{π}{2}, π]$ にあるとき、 $\sin (2 θ), \cos (2 θ)$ と $\tan (2 θ)$ を求めよ。

25. Find $\sin (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2}),$ and $\tan (\frac{θ}{2})$ given $\cos θ = \frac{7}{25}$ and $θ$ is in quadrant IV.

25. $\cos θ = \frac{7}{25}$ で $θ$ が第IV象限にあるとき、 $\sin (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2})$ と $\tan (\frac{θ}{2})$ を求めよ。

26. Rewrite the expression $\sin^{4} x$ with no powers greater than 1.

26. 式 $\sin^{4} x$ を、1より大きい累乗を含まない形に書き直せ。

For the following exercises, prove the identity.

次の各問について、等式を証明せよ。

27. $\tan^{3} x - \tan x \sec^{2} x = \tan (- x)$

28. $\sin (3 x) - \cos x \sin (2 x) = \cos^{2} x \sin x - \sin^{3} x$

29. $\frac{\sin (2 x)}{\sin x} - \frac{\cos (2 x)}{\cos x} = \sec x$

30. Plot the points and find a function of the form $y = A \cos (B x + C) + D$ that fits the given data.

30. 点を打ち、与えられた資料に合う $y = A \cos (B x + C) + D$ の形の関数を求めよ。

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$−2$	$2$	$−2$	$2$	$−2$	$2$

31. The displacement $h (t)$ in centimeters of a mass suspended by a spring is modeled by the function $h (t) = \frac{1}{4} \sin (120 π t),$ where $t$ is measured in seconds. Find the amplitude, period, and frequency of this displacement.

31. ばねで吊るした重りのセンチメートルでの変位 $h (t)$ は、関数 $h (t) = \frac{1}{4} \sin (120 π t)$ でモデル化される。ここで $t$ は秒で測る。この変位の振幅・周期・振動数を求めよ。

32. A woman is standing 300 feet away from a 2000-foot building. If she looks to the top of the building, at what angle above horizontal is she looking? A worker looks down at her from the 15^th floor (1500 feet above her). At what angle is he looking down at her? Round to the nearest tenth of a degree.

32. ある女性が、高さ2000フィートの建物から300フィート離れて立っている。建物の頂上を見上げるとき、水平から何度の角で見ているか。ある作業者が15階(彼女より1500フィート上)から彼女を見下ろす。何度の角で彼女を見下ろしているか。度の小数第一位まで丸めよ。

33. Two frequencies of sound are played on an instrument governed by the equation $n (t) = 8 \cos (20 π t) \cos (1000 π t) .$ What are the period and frequency of the “fast” and “slow” oscillations? What is the amplitude?

33. 式 $n (t) = 8 \cos (20 π t) \cos (1000 π t)$ に従う楽器で、二つの振動数の音が鳴らされる。「速い」振れと「遅い」振れの周期と振動数はいくらか。振幅はいくらか。

34. The average monthly snowfall in a small village in the Himalayas is 6 inches, with the low of 1 inch occurring in July. Construct a function that models this behavior. During what period is there more than 10 inches of snowfall?

34. ヒマラヤの小さな村の月ごとの平均降雪量は6インチで、最低の1インチは7月に起こる。このふるまいをモデル化する関数を組み立てよ。降雪量が10インチを超えるのはどの期間か。

35. A spring attached to a ceiling is pulled down 20 cm. After 3 seconds, wherein it completes 6 full periods, the amplitude is only 15 cm. Find the function modeling the position of the spring $t$ seconds after being released. At what time will the spring come to rest? In this case, use 1 cm amplitude as rest.

35. 天井に付けたばねを20cm引き下げる。6周期分を終える3秒後、振幅は15cmしかない。放してから $t$ 秒後のばねの位置をモデル化する関数を求めよ。このばねはいつ静止するか。この場合、振幅1cmを静止とせよ。

36. Water levels near a glacier currently average 9 feet, varying seasonally by 2 inches above and below the average and reaching their highest point in January. Due to global warming, the glacier has begun melting faster than normal. Every year, the water levels rise by a steady 3 inches. Find a function modeling the depth of the water $t$ months from now. If the docks are 2 feet above current water levels, at what point will the water first rise above the docks?

36. ある氷河の近くの水位は今、平均9フィートで、季節によって平均の上下2インチの範囲で変わり、1月に最も高くなる。地球温暖化のため、この氷河はいつもより速く融け始めている。毎年、水位は着実に3インチ上がる。今から $t$ か月後の水深をモデル化する関数を求めよ。桟橋が今の水位より2フィート上にあるとき、水位が初めて桟橋を超えるのはいつか。