第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.4 Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas9.4 和積・積和の公式

Learning Objectives 学習目標

• Express products as sums.• Express sums as products.

・積を和として表す。・和を積として表す。

Photo of the UCLA marching band. — Figure 1 The UCLA marching band (credit: Eric Chan, Flickr).図1 UCLA のマーチングバンド(credit: Eric Chan, Flickr)。

A band marches down the field creating an amazing sound that bolsters the crowd. That sound travels as a wave that can be interpreted using trigonometric functions. For example, Figure 2 represents a sound wave for the musical note A. In this section, we will investigate trigonometric identities that are the foundation of everyday phenomena such as sound waves.

バンドが競技場を進み、観衆を沸かせる見事な音を生む。その音は波として伝わり、三角関数で読み解ける。たとえば図2は、音名Aの音波を表している。この節では、音波のような日常の現象の土台をなす三角関数の恒等式を調べる。

Graph of a sound wave for the musical note A - it is a periodic function much like sin and cos - from 0 to .01

Expressing Products as Sums積を和として表す

We have already learned a number of formulas useful for expanding or simplifying trigonometric expressions, but sometimes we may need to express the product of cosine and sine as a sum. We can use the product-to-sum formulas, which express products of trigonometric functions as sums. Let’s investigate the cosine identity first and then the sine identity.

三角関数の式を展開したり簡単にしたりするのに役立つ公式はすでにいくつも学んだが、余弦と正弦の積を和として表す必要が生じることもある。三角関数の積を和として表す、積を和にする公式が使える。まず余弦の等式、次に正弦の等式を調べよう。

Expressing Products as Sums for Cosine余弦について積を和として表す

We can derive the product-to-sum formula from the sum and difference identities for cosine. If we add the two equations, we get:

余弦の加法定理から、積を和にする公式が導ける。この二つの式を足すと、次が得られる。

\begin{array}{l} \underset{___________________________________}{\begin{matrix} \cos α \cos β + \sin α \sin β & = & \cos (α - β) \\ + \cos α \cos β - \sin α \sin β & = & \cos (α + β) \end{matrix}} \\ \begin{matrix} 2 \cos α \cos β & = & \cos (α - β) + \cos (α + β) \end{matrix} \end{array}

Then, we divide by $2$ to isolate the product of cosines:

そして $2$ で割って余弦どうしの積を取り出す。

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

How To 手順

Given a product of cosines, express as a sum.

余弦どうしの積が与えられたとき、それを和として表す。

1. Write the formula for the product of cosines.2. Substitute the given angles into the formula.3. Simplify.

1. 余弦どうしの積の公式を書く。2. 与えられた角を公式に代入する。3. 簡単にする。

Example 1例1

Writing the Product as a Sum Using the Product-to-Sum Formula for Cosine余弦の積を和にする公式を使って、積を和として書く

Write the following product of cosines as a sum: $2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos \frac{3 x}{2} .$

次の余弦どうしの積を和として書け: $2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos \frac{3 x}{2}$

Solution 解答

We begin by writing the formula for the product of cosines:

まず余弦どうしの積の公式を書く。

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

We can then substitute the given angles into the formula and simplify.

そして与えられた角を公式に代入して簡単にできる。

\begin{matrix} 2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos (\frac{3 x}{2}) & = & (2) (\frac{1}{2}) [\cos (\frac{7 x}{2} - \frac{3 x}{2})) + \cos (\frac{7 x}{2} + \frac{3 x}{2})] \\ = & [\cos (\frac{4 x}{2}) + \cos (\frac{10 x}{2})] \\ = & \cos 2 x + \cos 5 x \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

Use the product-to-sum formula to write the product as a sum or difference: $\cos (2 θ) \cos (4 θ) .$

積を和にする公式を使って、この積を和または差として書け: $\cos (2 θ) \cos (4 θ)$

Expressing the Product of Sine and Cosine as a Sum正弦と余弦の積を和として表す

Next, we will derive the product-to-sum formula for sine and cosine from the sum and difference formulas for sine. If we add the sum and difference identities, we get:

次に、正弦の加法定理から、正弦と余弦の積を和にする公式を導く。加法定理を足すと、次が得られる。

\begin{array}{l} \underset{_________________________________________}{\begin{matrix} \sin (α + β) & = & \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ + & \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{matrix}} \\ \begin{matrix} \sin (α + β) + \sin (α - β) & = & 2 \sin α \cos β \end{matrix} \end{array}

Then, we divide by 2 to isolate the product of cosine and sine:

そして2で割って余弦と正弦の積を取り出す。

\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]

Example 2例2

Writing the Product as a Sum Containing only Sine or Cosine正弦か余弦だけを含む和として積を書く

Express the following product as a sum containing only sine or cosine and no products: $\sin (4 θ) \cos (2 θ) .$

次の積を、積を含まず正弦か余弦だけを含む和として表せ: $\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

Solution 解答

Write the formula for the product of sine and cosine. Then substitute the given values into the formula and simplify.

正弦と余弦の積の公式を書く。そして与えられた値を公式に代入して簡単にする。

\begin{matrix} \sin α \cos β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \sin (4 θ) \cos (2 θ) & = & \frac{1}{2} [\sin (4 θ + 2 θ) + \sin (4 θ - 2 θ)] \\ = & \frac{1}{2} [\sin (6 θ) + \sin (2 θ)] \end{matrix}

Try It #2やってみよう2

Use the product-to-sum formula to write the product as a sum: $\sin (x + y) \cos (x - y) .$

積を和にする公式を使って、この積を和として書け: $\sin (x + y) \cos (x - y)$

Expressing Products of Sines in Terms of Cosine正弦どうしの積を余弦で表す

Expressing the product of sines in terms of cosine is also derived from the sum and difference identities for cosine. In this case, we will first subtract the two cosine formulas:

正弦どうしの積を余弦で表す公式も、余弦の加法定理から導かれる。この場合は、まず二つの余弦の公式を引く。

\begin{array}{l} \underset{____________________________________________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{array} \\ - \cos (α + β) = - (\cos α \cos β - \sin α \sin β) \end{array}} \\ \cos (α - β) - \cos (α + β) = 2 \sin α \sin β \end{array}

Then, we divide by 2 to isolate the product of sines:

そして2で割って正弦どうしの積を取り出す。

\sin α \sin β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)]

Similarly we could express the product of cosines in terms of sine or derive other product-to-sum formulas.

同じように、余弦どうしの積を正弦で表したり、ほかの積を和にする公式を導いたりもできる。

The Product-to-Sum Formulas 積和の公式

The product-to-sum formulas are as follows:

積を和にする公式は次のとおりである。

\begin{matrix} \cos α \cos β & = & \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)] \end{matrix}

\begin{matrix} \sin α \cos β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \end{matrix}

\begin{matrix} \sin α \sin β & = & \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)] \end{matrix}

\begin{matrix} \cos α \sin β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)] \end{matrix}

Example 3例3

Express the Product as a Sum or Difference積を和または差として表す

Write $\cos (3 θ) \cos (5 θ)$ as a sum or difference.

$\cos (3 θ) \cos (5 θ)$ を和または差として書け。

Solution 解答

We have the product of cosines, so we begin by writing the related formula. Then we substitute the given angles and simplify.

余弦どうしの積なので、まず関わる公式を書く。そして与えられた角を代入して簡単にする。

\begin{matrix} \cos α \cos β & = & \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)] \\ \cos (3 θ) \cos (5 θ) & = & \frac{1}{2} [\cos (3 θ - 5 θ) + \cos (3 θ + 5 θ)] \\ = & \frac{1}{2} [\cos (2 θ) + \cos (8 θ)] & Use even-odd identity . \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

Use the product-to-sum formula to evaluate $\cos \frac{11 π}{12} \cos \frac{π}{12} .$

積を和にする公式を使って $\cos \frac{11 π}{12} \cos \frac{π}{12}$ の値を求めよ。

Expressing Sums as Products和を積として表す

Some problems require the reverse of the process we just used. The sum-to-product formulas allow us to express sums of sine or cosine as products. These formulas can be derived from the product-to-sum identities. For example, with a few substitutions, we can derive the sum-to-product identity for sine. Let $\frac{u + v}{2} = α$ and $\frac{u - v}{2} = β .$

今使ったのと逆の手順が要る問題もある。和を積にする公式を使えば、正弦や余弦の和を積として表せる。この公式は、積を和にする等式から導ける。たとえば、いくつか置き換えれば正弦の和を積にする等式が導ける。 $\frac{u + v}{2} = α$ 、 $\frac{u - v}{2} = β$ とおく。

Then,

すると、

\begin{matrix} α + β & = & \frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2} \\ = & \frac{2 u}{2} \\ = & u \\ α - β & = & \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2} \\ = & \frac{2 v}{2} \\ = & v \end{matrix}

Thus, replacing $α$ and $β$ in the product-to-sum formula with the substitute expressions, we have

したがって、積を和にする公式の $α$ と $β$ をこの置き換えた式に替えると、次が得られる。

\begin{matrix} \sin α \cos β & = & \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) & = & \frac{1}{2} [\sin u + \sin v] & Substitute for (α + β) and (α - β) \\ 2 \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) & = & \sin u + \sin v \end{matrix}

The other sum-to-product identities are derived similarly.

ほかの和を積にする等式も同じように導かれる。

Sum-to-Product Formulas 和積の公式

The sum-to-product formulas are as follows:

和を積にする公式は次のとおりである。

\begin{matrix} \sin α + \sin β & = & 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} \sin α - \sin β & = & 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} \cos α - \cos β & = & −2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} \cos α + \cos β & = & 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) \end{matrix}

Example 4例4

Writing the Difference of Sines as a Product正弦の差を積として書く

Write the following difference of sines expression as a product: $\sin (4 θ) - \sin (2 θ) .$

次の正弦の差の式を積として書け: $\sin (4 θ) - \sin (2 θ)$

Solution 解答

We begin by writing the formula for the difference of sines.

まず正弦の差の公式を書く。

\sin α - \sin β = 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})

Substitute the values into the formula, and simplify.

値を公式に代入して簡単にする。

\begin{matrix} \sin (4 θ) - \sin (2 θ) & = & 2 \sin (\frac{4 θ - 2 θ}{2}) \cos (\frac{4 θ + 2 θ}{2}) \\ = & 2 \sin (\frac{2 θ}{2}) \cos (\frac{6 θ}{2}) \\ = & 2 \sin θ \cos (3 θ) \end{matrix}

Try It #4やってみよう4

Use the sum-to-product formula to write the sum as a product: $\sin (3 θ) + \sin (θ) .$

和を積にする公式を使って、この和を積として書け: $\sin (3 θ) + \sin (θ)$

Example 5例5

Evaluating Using the Sum-to-Product Formula和を積にする公式を使って値を求める

Evaluate $\cos (15°) - \cos (75°) .$ Check the answer with a graphing calculator.

$\cos (15°) - \cos (75°)$ の値を求めよ。グラフ電卓で答えを検算せよ。

Solution 解答

We begin by writing the formula for the difference of cosines.

まず余弦の差の公式を書く。

\cos α - \cos β = - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2})

Then we substitute the given angles and simplify.

そして与えられた角を代入して簡単にする。

\begin{matrix} \cos (15°) - \cos (75°) & = & −2 \sin (\frac{15° + 75°}{2}) \sin (\frac{15° - 75°}{2}) \\ = & −2 \sin (45°) \sin (−30°) \\ = & −2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (- \frac{1}{2}) \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}

Example 6例6

Proving an Identity等式を証明する

Prove the identity:

次の等式を証明せよ。

\frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{\sin (4 t) + \sin (2 t)} = - \tan t

Solution 解答

We will start with the left side, the more complicated side of the equation, and rewrite the expression until it matches the right side.

方程式のより込み入った側である左辺から始め、右辺と一致するまでその式を書き直す。

\begin{matrix} \frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{\sin (4 t) + \sin (2 t)} & = & \frac{- 2 \sin (\frac{4 t + 2 t}{2}) \sin (\frac{4 t - 2 t}{2})}{2 \sin (\frac{4 t + 2 t}{2}) \cos (\frac{4 t - 2 t}{2})} \\ = & \frac{- 2 \sin (3 t) \sin t}{2 \sin (3 t) \cos t} \\ = & \frac{- 2 \sin (3 t) \sin t}{2 \sin (3 t) \cos t} \\ = & - \frac{\sin t}{\cos t} \\ = & - \tan t \end{matrix}

Analysis 考察

Recall that verifying trigonometric identities has its own set of rules. The procedures for solving an equation are not the same as the procedures for verifying an identity. When we prove an identity, we pick one side to work on and make substitutions until that side is transformed into the other side.

三角関数の恒等式を確かめるには、それ自身の規則があることを思い出そう。方程式を解く手順は、等式を確かめる手順と同じではない。等式を証明するときは、作業する側を一つ選び、その側がもう一方に変わるまで置き換えていく。

Example 7例7

Verifying the Identity Using Double-Angle Formulas and Reciprocal Identities倍角の公式と逆数の等式を使って等式を確かめる

Verify the identity $\csc^{2} θ - 2 = \frac{\cos (2 θ)}{\sin^{2} θ} .$

等式 $\csc^{2} θ - 2 = \frac{\cos (2 θ)}{\sin^{2} θ}$ を確かめよ。

Solution 解答

For verifying this equation, we are bringing together several of the identities. We will use the double-angle formula and the reciprocal identities. We will work with the right side of the equation and rewrite it until it matches the left side.

この式を確かめるために、等式をいくつも合わせて使う。倍角の公式と逆数の等式を使う。方程式の右辺で作業し、左辺と一致するまで書き直す。

\begin{matrix} \frac{\cos (2 θ)}{\sin^{2} θ} & = & \frac{1 - 2 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = & \frac{1}{\sin^{2} θ} - \frac{2 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = & \csc^{2} θ - 2 \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

Verify the identity $\tan θ \cot θ - \cos^{2} θ = \sin^{2} θ .$

等式 $\tan θ \cot θ - \cos^{2} θ = \sin^{2} θ$ を確かめよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with the product-to-sum and sum-to-product identities.

積を和にする等式と和を積にする等式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Sum to Product Identities• Sum to Product and Product to Sum Identities

・和を積にする等式・和を積にする等式と積を和にする等式

Verbal言葉で答える問題

1. Starting with the product to sum formula $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)],$ explain how to determine the formula for $\cos α \sin β .$

1. 積を和にする公式 $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$ から始めて、 $\cos α \sin β$ の公式をどう決めるかを説明せよ。

2. Provide two different methods of calculating $\cos (195°) \cos (105°),$ one of which uses the product to sum. Which method is easier?

2. $\cos (195°) \cos (105°)$ を計算する方法を二通り示せ。うち一つは積を和にする公式を使うこと。どちらの方法が楽か。

3. Describe a situation where we would convert an equation from a sum to a product and give an example.

3. 式を和から積に直したくなる場面を述べ、例を挙げよ。

4. Describe a situation where we would convert an equation from a product to a sum, and give an example.

4. 式を積から和に直したくなる場面を述べ、例を挙げよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, rewrite the product as a sum or difference.

次の各問について、積を和または差に書き直せ。

5. $16 \sin (16 x) \sin (11 x)$

6. $20 \cos (36 t) \cos (6 t)$

7. $2 \sin (5 x) \cos (3 x)$

8. $10 \cos (5 x) \sin (10 x)$

9. $\sin (- x) \sin (5 x)$

10. $\sin (3 x) \cos (5 x)$

For the following exercises, rewrite the sum or difference as a product.

次の各問について、和または差を積に書き直せ。

11. $\cos (6 t) + \cos (4 t)$

12. $\sin (3 x) + \sin (7 x)$

13. $\cos (7 x) + \cos (- 7 x)$

14. $\sin (3 x) - \sin (- 3 x)$

15. $\cos (3 x) + \cos (9 x)$

16. $\sin h - \sin (3 h)$

For the following exercises, evaluate the product for the following using a sum or difference of two functions. Evaluate exactly.

次の各問について、二つの関数の和または差を使って積の値を求めよ。厳密に求めよ。

17. $\cos (45°) \cos (15°)$

18. $\cos (45°) \sin (15°)$

19. $\sin (−345°) \sin (−15°)$

20. $\sin (195°) \cos (15°)$

21. $\sin (−45°) \sin (−15°)$

For the following exercises, evaluate the product using a sum or difference of two functions. Leave in terms of sine and cosine.

次の各問について、二つの関数の和または差を使って積の値を求めよ。正弦と余弦のままでよい。

22. $\cos (23°) \sin (17°)$

23. $2 \sin (100°) \sin (20°)$

24. $2 \sin (−100°) \sin (−20°)$

25. $\sin (213°) \cos (8°)$

26. $2 \cos (56°) \cos (47°)$

For the following exercises, rewrite the sum as a product of two functions. Leave in terms of sine and cosine.

次の各問について、和を二つの関数の積として書き直せ。正弦と余弦のままでよい。

27. $\sin (76°) + \sin (14°)$

28. $\cos (58°) - \cos (12°)$

29. $\sin (101°) - \sin (32°)$

30. $\cos (100°) + \cos (200°)$

31. $\sin (−1°) + \sin (−2°)$

For the following exercises, prove the identity.

次の各問について、等式を証明せよ。

32. $\frac{\cos (a + b)}{\cos (a - b)} = \frac{1 - \tan a \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

33. $4 \sin (3 x) \cos (4 x) = 2 \sin (7 x) - 2 \sin x$

34. $\frac{6 \cos (8 x) \sin (2 x)}{\sin (- 6 x)} = −3 \sin (10 x) \csc (6 x) + 3$

35. $\sin x + \sin (3 x) = 4 \sin x \cos^{2} x$

36. $2 (\cos^{3} x - \cos x \sin^{2} x) = \cos (3 x) + \cos x$

37. $2 \tan x \cos (3 x) = \sec x (\sin (4 x) - \sin (2 x))$

38. $\cos (a + b) + \cos (a - b) = 2 \cos a \cos b$

Numeric数値の問題

For the following exercises, rewrite the sum as a product of two functions or the product as a sum of two functions. Give your answer in terms of sines and cosines. Then evaluate the final answer numerically, rounded to four decimal places.

次の各問について、和を二つの関数の積として、あるいは積を二つの関数の和として書き直せ。答えは正弦と余弦で示せ。そして最後の答えを数値で求め、小数第四位まで丸めよ。

39. $\cos (58°) + \cos (12°)$

40. $\sin (2°) - \sin (3°)$

41. $\cos (44°) - \cos (22°)$

42. $\cos (176°) \sin (9°)$

43. $\sin (−14°) \sin (85°)$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, algebraically determine whether each of the given equation is an identity. If it is not an identity, replace the right-hand side with an expression equivalent to the left side. Verify the results by graphing both expressions on a calculator.

次の各問について、与えられた各方程式が等式かどうかを代数的に判定せよ。等式でないなら、右辺を左辺と同値な式に置き換えよ。両方の式のグラフを電卓で描いて結果を確かめよ。

44. $2 \sin (2 x) \sin (3 x) = \cos x - \cos (5 x)$

45. $\frac{\cos (10 θ) + \cos (6 θ)}{\cos (6 θ) - \cos (10 θ)} = \cot (2 θ) \cot (8 θ)$

46. $\frac{\sin (3 x) - \sin (5 x)}{\cos (3 x) + \cos (5 x)} = \tan x$

47. $2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x = 2 \sin x$

48. $\frac{\sin (2 x) + \sin (4 x)}{\sin (2 x) - \sin (4 x)} = - \tan (3 x) \cot x$

For the following exercises, simplify the expression to one term, then graph the original function and your simplified version to verify they are identical.

次の各問について、式を一項に簡単にし、元の関数と簡単にしたものの両方のグラフを描いて同じであることを確かめよ。

49. $\frac{\sin (9 t) - \sin (3 t)}{\cos (9 t) + \cos (3 t)}$

50. $2 \sin (8 x) \cos (6 x) - \sin (2 x)$

51. $\frac{\sin (3 x) - \sin x}{\sin x}$

52. $\frac{\cos (5 x) + \cos (3 x)}{\sin (5 x) + \sin (3 x)}$

53. $\sin x \cos (15 x) - \cos x \sin (15 x)$

Extensions発展問題

For the following exercises, prove the following sum-to-product formulas.

次の各問について、次の和を積にする公式を証明せよ。

54. $\sin x - \sin y = 2 \sin (\frac{x - y}{2}) \cos (\frac{x + y}{2})$

55. $\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$

For the following exercises, prove the identity.

次の各問について、等式を証明せよ。

56. $\frac{\sin (6 x) + \sin (4 x)}{\sin (6 x) - \sin (4 x)} = \tan (5 x) \cot x$

57. $\frac{\cos (3 x) + \cos x}{\cos (3 x) - \cos x} = - \cot (2 x) \cot x$

58. $\frac{\cos (6 y) + \cos (8 y)}{\sin (6 y) - \sin (4 y)} = \cot y \cos (7 y) \sec (5 y)$

59. $\frac{\cos (2 y) - \cos (4 y)}{\sin (2 y) + \sin (4 y)} = \tan y$

60. $\frac{\sin (10 x) - \sin (2 x)}{\cos (10 x) + \cos (2 x)} = \tan (4 x)$

61. $\cos x - \cos (3 x) = 4 \sin^{2} x \cos x$

62. ${(\cos (2 x) - \cos (4 x))}^{2} + {(\sin (4 x) + \sin (2 x))}^{2} = 4 \sin^{2} (3 x)$

63. $\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}$