第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.3 Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas9.3 倍角・半角・次数を下げる公式

Learning Objectives 学習目標

• Use double-angle formulas to find exact values.• Use double-angle formulas to verify identities.• Use reduction formulas to simplify an expression.• Use half-angle formulas to find exact values.

・倍角の公式を使って厳密な値を求める。・倍角の公式を使って等式を確かめる。・次数を下げる公式を使って式を簡単にする。・半角の公式を使って厳密な値を求める。

Picture of two bicycle ramps, one with a steep slope and one with a gentle slope. — Figure 1 Bicycle and skateboard ramps for advanced riders have a steeper incline than those designed for novices.図1 上級者向けの自転車やスケートボードの傾斜台は、初心者向けに造られたものより急である。

Bicycle and skateboard ramps made for competition (see Figure 1) must vary in height depending on the skill level of the competitors. For advanced competitors, the angle formed by the ramp and the ground should be $θ$ such that $\tan θ = \frac{5}{3} .$ The angle is divided in half for novices. What is the steepness of the ramp for novices? In this section, we will investigate three additional categories of identities that we can use to answer questions such as this one.

競技用に造られた自転車やスケートボードの傾斜台(図1を見よ)は、競技者の腕前に応じて高さを変えなければならない。上級の競技者には、傾斜台と地面がなす角を $\tan θ = \frac{5}{3}$ となる $θ$ にすべきである。初心者にはこの角を半分にする。初心者向けの傾斜台の急さはいくらか。この節では、こうした問いに答えるのに使える、さらに三種類の等式を調べる。

Using Double-Angle Formulas to Find Exact Values倍角の公式を使って厳密な値を求める

In the previous section, we used addition and subtraction formulas for trigonometric functions. Now, we take another look at those same formulas. The double-angle formulas are a special case of the sum formulas, where $α = β .$ Deriving the double-angle formula for sine begins with the sum formula,

前の節では、三角関数の加法と減法の公式を使った。ここで、その同じ公式をもう一度見よう。倍角の公式は、 $α = β$ とした和の公式の特別な場合である。正弦の倍角の公式を導くには、和の公式から始める。

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

If we let $α = β = θ,$ then we have

$α = β = θ$ とおくと、次が得られる。

\begin{matrix} \sin (θ + θ) & = & \sin θ \cos θ + \cos θ \sin θ \\ \sin (2 θ) & = & 2 \sin θ \cos θ \end{matrix}

Deriving the double-angle for cosine gives us three options. First, starting from the sum formula, $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β,$ and letting $α = β = θ,$ we have

余弦の倍角を導くには三通りの道がある。まず、和の公式 $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ から始め、 $α = β = θ$ とおくと、次が得られる。

\begin{matrix} \cos (θ + θ) & = & \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ \\ \cos (2 θ) & = & \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \end{matrix}

Using the Pythagorean properties, we can expand this double-angle formula for cosine and get two more variations. The first variation is:

ピタゴラスの性質を使えば、この余弦の倍角の公式を展開して、さらに二つの形が得られる。一つ目の形は次のとおりである。

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = & (1 - \sin^{2} θ) - \sin^{2} θ \\ = & 1 - 2 \sin^{2} θ \end{matrix}

The second variation is:

二つ目の形は次のとおりである。

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = & \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ) \\ = & 2 \cos^{2} θ - 1 \end{matrix}

Similarly, to derive the double-angle formula for tangent, replacing $α = β = θ$ in the sum formula gives

同じように、正接の倍角の公式を導くには、和の公式で $α = β = θ$ を置き換えると次が得られる。

\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (θ + θ) & = & \frac{\tan θ + \tan θ}{1 - \tan θ \tan θ} \\ \tan (2 θ) & = & \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}

Double-Angle Formulas 倍角の公式

The double-angle formulas are summarized as follows:

倍角の公式は次のようにまとめられる。

\begin{matrix} \sin (2 θ) & = & 2 \sin θ \cos θ \end{matrix}

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = & 1 - 2 \sin^{2} θ \\ = & 2 \cos^{2} θ - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \tan (2 θ) & = & \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}

How To 手順

Given the tangent of an angle and the quadrant in which it is located, use the double-angle formulas to find the exact value.

ある角の正接と、その角がある象限が与えられたとき、倍角の公式を使って厳密な値を求める。

1. Draw a triangle to reflect the given information.2. Determine the correct double-angle formula.3. Substitute values into the formula based on the triangle.4. Simplify.

1. 与えられた情報を映す三角形を描く。2. 正しい倍角の公式を決める。3. 三角形をもとに、値を公式に代入する。4. 簡単にする。

Example 1例1

Using a Double-Angle Formula to Find the Exact Value Involving Tangent倍角の公式を使って、正接を含む厳密な値を求める

Given that $\tan θ = - \frac{3}{4}$ and $θ$ is in quadrant II, find the following:

$\tan θ = - \frac{3}{4}$ で $θ$ が第II象限にあるとき、次を求めよ。

ⓐ $\sin (2 θ)$ ⓑ $\cos (2 θ)$ ⓒ $\tan (2 θ)$

Solution 解答

If we draw a triangle to reflect the information given, we can find the values needed to solve the problems on the image. We are given $\tan θ = - \frac{3}{4},$ such that $θ$ is in quadrant II. The tangent of an angle is equal to the opposite side over the adjacent side, and because $θ$ is in the second quadrant, the adjacent side is on the x-axis and is negative. Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse:

与えられた情報を映す三角形を描けば、図の上で問題を解くのに要る値が求められる。 $θ$ が第II象限にあるとして $\tan θ = - \frac{3}{4}$ が与えられている。角の正接は対辺を隣辺で割ったものに等しく、 $θ$ は第2象限にあるので、隣辺は x軸の上にあって負である。ピタゴラスの定理を使って斜辺の長さを求める。

\begin{matrix} {(−4)}^{2} + {(3)}^{2} & = & c^{2} \\ 16 + 9 & = & c^{2} \\ 25 & = & c^{2} \\ c & = & 5 \end{matrix}

Now we can draw a triangle similar to the one shown in Figure 2.

これで、図2に示すものに似た三角形が描ける。

Diagram of a triangle in the x,y-plane. The vertices are at the origin, (-4,0), and (-4,3). The angle at the origin is theta. The angle formed by the side (-4,3) to (-4,0) forms a right angle with the x axis. The hypotenuse across from the right angle is length 5.

ⓐLet’s begin by writing the double-angle formula for sine. $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ We see that we to need to find $\sin θ$ and $\cos θ .$ Based on Figure 2, we see that the hypotenuse equals 5, so $\sin θ = \frac{3}{5},$ and $\cos θ = - \frac{4}{5} .$ Substitute these values into the equation, and simplify.Thus, $\begin{matrix} \sin (2 θ) & = & 2 (\frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) \\ = & - \frac{24}{25} \end{matrix}$ ⓑWrite the double-angle formula for cosine. $\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ Again, substitute the values of the sine and cosine into the equation, and simplify. $\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & {(- \frac{4}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} \\ = & \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ = & \frac{7}{25} \end{matrix}$ ⓒWrite the double-angle formula for tangent. $\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ In this formula, we need the tangent, which we were given as $\tan θ = - \frac{3}{4} .$ Substitute this value into the equation, and simplify. $\begin{matrix} \tan (2 θ) & = & \frac{2 (- \frac{3}{4})}{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} \\ = & \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} \\ = & - \frac{3}{2} (\frac{16}{7}) \\ = & - \frac{24}{7} \end{matrix}$

ⓐまず正弦の倍角の公式を書こう。 $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ 。 $\sin θ$ と $\cos θ$ を求める必要があると分かる。図2から斜辺が5だと分かるので、 $\sin θ = \frac{3}{5}$ かつ $\cos θ = - \frac{4}{5}$ である。この値を式に代入して簡単にする。したがって $\begin{matrix} \sin (2 θ) & = & 2 (\frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) \\ = & - \frac{24}{25} \end{matrix}$ である。ⓑ余弦の倍角の公式を書く。 $\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$ 。ここでも正弦と余弦の値を式に代入して簡単にする。 $\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & {(- \frac{4}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} \\ = & \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ = & \frac{7}{25} \end{matrix}$ ⓒ正接の倍角の公式を書く。 $\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ 。この公式には正接が要るが、それは $\tan θ = - \frac{3}{4}$ として与えられている。この値を式に代入して簡単にする。 $\begin{matrix} \tan (2 θ) & = & \frac{2 (- \frac{3}{4})}{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} \\ = & \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} \\ = & - \frac{3}{2} (\frac{16}{7}) \\ = & - \frac{24}{7} \end{matrix}$

Try It #1やってみよう1

Given $\sin α = \frac{5}{8},$ with $α$ in quadrant I, find $\cos (2 α) .$

$α$ が第I象限にあるとして $\sin α = \frac{5}{8}$ が与えられたとき、 $\cos (2 α)$ を求めよ。

Example 2例2

Using the Double-Angle Formula for Cosine without Exact Values厳密な値を使わずに余弦の倍角の公式を使う

Use the double-angle formula for cosine to write $\cos (6 x)$ in terms of $\cos (3 x) .$

余弦の倍角の公式を使って、 $\cos (6 x)$ を $\cos (3 x)$ で書け。

Solution 解答

\begin{matrix} \cos (6 x) & = & \cos (2 (3 x)) \\ = & {2 \cos}^{2} (3 x) - 1 \end{matrix}

Analysis 考察

This example illustrates that we can use the double-angle formula without having exact values. It emphasizes that the pattern is what we need to remember and that identities are true for all values in the domain of the trigonometric function.

この例は、厳密な値が無くても倍角の公式が使えることを示している。覚えておくべきは型であり、等式は三角関数の定義域のすべての値について成り立つということを強調している。

Using Double-Angle Formulas to Verify Identities倍角の公式を使って等式を確かめる

Establishing identities using the double-angle formulas is performed using the same steps we used to derive the sum and difference formulas. Choose the more complicated side of the equation and rewrite it until it matches the other side.

倍角の公式を使って等式を立てるのは、加法定理を導くのに使ったのと同じ手順で行う。方程式のより込み入った側を選び、もう一方と一致するまで書き直す。

Example 3例3

Using the Double-Angle Formulas to Verify an Identity倍角の公式を使って等式を確かめる

Verify the following identity using double-angle formulas:

倍角の公式を使って次の等式を確かめよ。

1 + \sin (2 θ) = {(\sin θ + \cos θ)}^{2}

Solution 解答

We will work on the right side of the equal sign and rewrite the expression until it matches the left side.

等号の右側で作業し、左側と一致するまでその式を書き直す。

\begin{matrix} {(\sin θ + \cos θ)}^{2} & = & \sin^{2} θ + 2 \sin θ \cos θ + \cos^{2} θ \\ = & (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) + 2 \sin θ \cos θ \\ = & 1 + 2 \sin θ \cos θ \\ = & 1 + \sin (2 θ) \end{matrix}

Analysis 考察

This process is not complicated, as long as we recall the perfect square formula from algebra:

代数の完全平方の公式を思い出せば、この手順は込み入っていない。

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

where $a = \sin θ$ and $b = \cos θ .$ Part of being successful in mathematics is the ability to recognize patterns. While the terms or symbols may change, the algebra remains consistent.

ここで $a = \sin θ$ かつ $b = \cos θ$ である。数学でうまくやることの一部は、型を見分ける力である。項や記号が変わっても、代数は変わらない。

Try It #2やってみよう2

Verify the identity: $\cos^{4} θ - \sin^{4} θ = \cos (2 θ) .$

等式 $\cos^{4} θ - \sin^{4} θ = \cos (2 θ)$ を確かめよ。

Example 4例4

Verifying a Double-Angle Identity for Tangent正接の倍角の等式を確かめる

Verify the identity:

次の等式を確かめよ。

\tan (2 θ) = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Solution 解答

In this case, we will work with the left side of the equation and simplify or rewrite until it equals the right side of the equation.

この場合は方程式の左辺で作業し、右辺に等しくなるまで簡単にするか書き直す。

\begin{matrix} \tan (2 θ) & = & \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} & Double-angle formula \\ = & \frac{2 \tan θ (\frac{1}{\tan θ})}{(1 - \tan^{2} θ) (\frac{1}{\tan θ})} & Multiply by a term that results in desired numerator . \\ = & \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \frac{\tan^{2} θ}{\tan θ}} \\ = & \frac{2}{\cot θ - \tan θ} & Use reciprocal identity for \frac{1}{\tan θ} . \end{matrix}

Analysis 考察

Here is a case where the more complicated side of the initial equation appeared on the right, but we chose to work the left side. However, if we had chosen the left side to rewrite, we would have been working backwards to arrive at the equivalency. For example, suppose that we wanted to show

ここでは、初めの方程式のより込み入った側は右にあったが、左側で作業することにした。だが左側を書き直すことにしていたら、同値にたどりつくのに逆向きに進むことになっただろう。たとえば、次を示したいとしよう。

\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Let’s work on the right side.

右辺で作業しよう。

\begin{matrix} \frac{2}{\cot θ - \tan θ} & = & \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \tan θ} (\frac{\tan θ}{\tan θ}) \\ = & \frac{2 \tan θ}{\frac{1}{\tan θ} (\tan θ) - \tan θ (\tan θ)} \\ = & \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}

When using the identities to simplify a trigonometric expression or solve a trigonometric equation, there are usually several paths to a desired result. There is no set rule as to what side should be manipulated. However, we should begin with the guidelines set forth earlier.

等式を使って三角関数の式を簡単にしたり三角方程式を解いたりするとき、望む結果に至る道はふつういくつかある。どちらの側を変形すべきかについて決まった規則は無い。だが、先に示した手引きから始めるべきである。

Try It #3やってみよう3

Verify the identity: $\cos (2 θ) \cos θ = \cos^{3} θ - \cos θ \sin^{2} θ .$

等式 $\cos (2 θ) \cos θ = \cos^{3} θ - \cos θ \sin^{2} θ$ を確かめよ。

Use Reduction Formulas to Simplify an Expression次数を下げる公式を使って式を簡単にする

The double-angle formulas can be used to derive the reduction formulas, which are formulas we can use to reduce the power of a given expression involving even powers of sine or cosine. They allow us to rewrite the even powers of sine or cosine in terms of the first power of cosine. These formulas are especially important in higher-level math courses, calculus in particular. Also called the power-reducing formulas, three identities are included and are easily derived from the double-angle formulas.

倍角の公式を使えば次数を下げる公式が導ける。これは、正弦や余弦の偶数乗を含む式の次数を下げるのに使える公式である。この公式のおかげで、正弦や余弦の偶数乗を余弦の1乗で書き直せる。この公式は、より上級の数学の課程、とくに微積分でとくに大切である。次数を下げる公式とも呼ばれ、三つの等式があり、倍角の公式から簡単に導ける。

We can use two of the three double-angle formulas for cosine to derive the reduction formulas for sine and cosine. Let’s begin with $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ .$ Solve for $\sin^{2} θ :$

余弦の三つの倍角の公式のうち二つを使えば、正弦と余弦の次数を下げる公式が導ける。まず $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ$ から始める。 $\sin^{2} θ :$ について解く。

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & 1 - 2 \sin^{2} θ \\ 2 \sin^{2} θ & = & 1 - \cos (2 θ) \\ \sin^{2} θ & = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \end{matrix}

Next, we use the formula $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1.$ Solve for $\cos^{2} θ :$

次に公式 $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1.$ を使う。 $\cos^{2} θ :$ について解く。

\begin{matrix} \cos (2 θ) & = & 2 \cos^{2} θ - 1 \\ 1 + \cos (2 θ) & = & 2 \cos^{2} θ \\ \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} & = & \cos^{2} θ \end{matrix}

The last reduction formula is derived by writing tangent in terms of sine and cosine:

最後の次数を下げる公式は、正接を正弦と余弦で書けば導ける。

\begin{matrix} \tan^{2} θ & = & \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = & \frac{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}}{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} & Substitute the reduction formulas . \\ = & (\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}) (\frac{2}{1 + \cos (2 θ)}) \\ = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \end{matrix}

Reduction Formulas 次数を下げる公式

The reduction formulas are summarized as follows:

次数を下げる公式は次のようにまとめられる。

\sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

\cos^{2} θ = \frac{1 + \cos (2 θ)}{2}

\tan^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)}

Example 5例5

Writing an Equivalent Expression Not Containing Powers Greater Than 11より大きい累乗を含まない同値な式を書く

Write an equivalent expression for $\cos^{4} x$ that does not involve any powers of sine or cosine greater than 1.

正弦や余弦の1より大きい累乗を含まない、 $\cos^{4} x$ と同値な式を書け。

Solution 解答

We will apply the reduction formula for cosine twice.

余弦の次数を下げる公式を二度当てはめる。

\begin{matrix} \cos^{4} x & = & {(\cos^{2} x)}^{2} \\ = & {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} & {Substitute reduction formula for cos}^{2} x . \\ = & \frac{1}{4} (1 + 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \\ = & \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1 + \cos 2 (2 x)}{2}) & {Substitute reduction formula for cos}^{2} x . \\ = & \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos (4 x) \\ = & \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} \cos (4 x) \end{matrix}

Analysis 考察

The solution is found by using the reduction formula twice, as noted, and the perfect square formula from algebra.

述べたとおり、次数を下げる公式を二度使い、代数の完全平方の公式を使えば答えが求まる。

Example 6例6

Using the Power-Reducing Formulas to Prove an Identity次数を下げる公式を使って等式を証明する

Use the power-reducing formulas to prove

次数を下げる公式を使って次を証明せよ。

\sin^{3} (2 x) = [\frac{1}{2} \sin (2 x)] [1 - \cos (4 x)]

Solution 解答

We will work on simplifying the left side of the equation:

方程式の左辺を簡単にすることに取り組もう。

\begin{matrix} \sin^{3} (2 x) & = & [\sin (2 x)] [\sin^{2} (2 x)] \\ = & \sin (2 x) [\frac{1 - \cos (4 x)}{2}] & Substitute the power-reduction formula . \\ = & \sin (2 x) (\frac{1}{2}) [1 - \cos (4 x)] \\ = & \frac{1}{2} [\sin (2 x)] [1 - \cos (4 x)] \end{matrix}

Analysis 考察

Note that in this example, we substituted

この例で、次を代入したことに注意しよう。

\frac{1 - \cos (4 x)}{2}

for $\sin^{2} (2 x) .$ The formula states

$\sin^{2} (2 x)$ に。この公式は次を述べる。

\sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

We let $θ = 2 x,$ so $2 θ = 4 x .$

$θ = 2 x$ とおいたので $2 θ = 4 x$ である。

Try It #4やってみよう4

Use the power-reducing formulas to prove that $10 \cos^{4} x = \frac{15}{4} + 5 \cos (2 x) + \frac{5}{4} \cos (4 x) .$

次数を下げる公式を使って $10 \cos^{4} x = \frac{15}{4} + 5 \cos (2 x) + \frac{5}{4} \cos (4 x)$ を証明せよ。

Using Half-Angle Formulas to Find Exact Values半角の公式を使って厳密な値を求める

The next set of identities is the set of half-angle formulas, which can be derived from the reduction formulas and we can use when we have an angle that is half the size of a special angle. If we replace $θ$ with $\frac{α}{2},$ the half-angle formula for sine is found by simplifying the equation and solving for $\sin (\frac{α}{2}) .$ Note that the half-angle formulas are preceded by a $\pm$ sign. This does not mean that both the positive and negative expressions are valid. Rather, it depends on the quadrant in which $\frac{α}{2}$ terminates.

次の等式の組は半角の公式である。これは次数を下げる公式から導け、特別な角の半分の大きさの角を扱うときに使える。 $θ$ を $\frac{α}{2}$ に置き換え、式を簡単にして $\sin (\frac{α}{2})$ について解けば、正弦の半角の公式が求まる。半角の公式には $\pm$ の符号が付くことに注意せよ。これは正と負の両方の式が成り立つという意味ではない。 $\frac{α}{2}$ の動径がどの象限にあるかに依る。

The half-angle formula for sine is derived as follows:

正弦の半角の公式は次のように導かれる。

\begin{matrix} \sin^{2} θ & = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \\ \sin^{2} (\frac{α}{2}) & = & \frac{1 - (\cos 2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = & \frac{1 - \cos α}{2} \\ \sin (\frac{α}{2}) & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \end{matrix}

To derive the half-angle formula for cosine, we have

余弦の半角の公式を導くには、次のようにする。

\begin{matrix} \cos^{2} θ & = & \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} \\ \cos^{2} (\frac{α}{2}) & = & \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = & \frac{1 + \cos α}{2} \\ \cos (\frac{α}{2}) & = & \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \end{matrix}

For the tangent identity, we have

正接の等式については、次のようになる。

\begin{matrix} \tan^{2} θ & = & \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \\ \tan^{2} (\frac{α}{2}) & = & \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})} \\ = & \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α} \\ \tan (\frac{α}{2}) & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \end{matrix}

Half-Angle Formulas 半角の公式

The half-angle formulas are as follows:

半角の公式は次のとおりである。

\sin (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}

\cos (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}

\begin{array}{l} \tan (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ = \frac{\sin α}{1 + \cos α} \\ = \frac{1 - \cos α}{\sin α} \end{array}

Example 7例7

Using a Half-Angle Formula to Find the Exact Value of a Sine Function半角の公式を使って正弦関数の厳密な値を求める

Find $\sin (15°)$ using a half-angle formula.

半角の公式を使って $\sin (15°)$ を求めよ。

Solution 解答

Since $15° = \frac{30°}{2},$ we use the half-angle formula for sine:

$15° = \frac{30°}{2}$ なので、正弦の半角の公式を使う。

\begin{matrix} \sin \frac{30°}{2} & = & \sqrt{\frac{1 - \cos 30°}{2}} \\ = & \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = & \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = & \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \\ = & \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \end{matrix}

Remember that we can check the answer with a graphing calculator.

グラフ電卓で答えを検算できることを忘れないでほしい。

Analysis 考察

Notice that we used only the positive root because $\sin (15°)$ is positive.

$\sin (15°)$ が正なので、正の根だけを使ったことに注目しよう。

How To 手順

Given the tangent of an angle and the quadrant in which the angle lies, find the exact values of trigonometric functions of half of the angle.

ある角の正接と、その角がある象限が与えられたとき、その角の半分の三角関数の厳密な値を求める。

1. Draw a triangle to represent the given information.2. Determine the correct half-angle formula.3. Substitute values into the formula based on the triangle.4. Simplify.

1. 与えられた情報を表す三角形を描く。2. 正しい半角の公式を決める。3. 三角形をもとに、値を公式に代入する。4. 簡単にする。

Example 8例8

Finding Exact Values Using Half-Angle Identities半角の等式を使って厳密な値を求める

Given that $\tan α = \frac{8}{15}$ and $α$ lies in quadrant III, find the exact value of the following:

$\tan α = \frac{8}{15}$ で $α$ が第III象限にあるとき、次の厳密な値を求めよ。

ⓐ $\sin (\frac{α}{2})$ ⓑ $\cos (\frac{α}{2})$ ⓒ $\tan (\frac{α}{2})$

Solution 解答

Using the given information, we can draw the triangle shown in Figure 3. Using the Pythagorean Theorem, we find the hypotenuse to be 17. Therefore, we can calculate $\sin α = - \frac{8}{17}$ and $\cos α = - \frac{15}{17} .$

与えられた情報を使えば、図3に示す三角形が描ける。ピタゴラスの定理を使って、斜辺が17だと分かる。したがって $\sin α = - \frac{8}{17}$ と $\cos α = - \frac{15}{17}$ が計算できる。

Diagram of a triangle in the x,y-plane. The vertices are at the origin, (-15,0), and (-15,-8). The angle at the origin is alpha. The angle formed by the side (-15,-8) to (-15,0) forms a right angle with the x axis. The hypotenuse across from the right angle is length 17.

ⓐBefore we start, we must remember that if $α$ is in quadrant III, then $180° < α < 270°,$ so $\frac{180°}{2} < \frac{α}{2} < \frac{270°}{2} .$ This means that the terminal side of $\frac{α}{2}$ is in quadrant II, since $90° < \frac{α}{2} < 135° .$ To find $\sin \frac{α}{2},$ we begin by writing the half-angle formula for sine. Then we substitute the value of the cosine we found from the triangle in Figure 3 and simplify. $\begin{matrix} \sin \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{32}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{16}{17}} \\ = & \pm \frac{4}{\sqrt{17}} \\ = & \frac{4 \sqrt{17}}{17} \end{matrix}$ We choose the positive value of $\sin \frac{α}{2}$ because the angle terminates in quadrant II and sine is positive in quadrant II.ⓑTo find $\cos \frac{α}{2},$ we will write the half-angle formula for cosine, substitute the value of the cosine we found from the triangle in Figure 3, and simplify. $\begin{matrix} \cos \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 + (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{2}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1}{17}} \\ = & - \frac{\sqrt{17}}{17} \end{matrix}$ We choose the negative value of $\cos \frac{α}{2}$ because the angle is in quadrant II because cosine is negative in quadrant II.ⓒTo find $\tan \frac{α}{2},$ we write the half-angle formula for tangent. Again, we substitute the value of the cosine we found from the triangle in Figure 3 and simplify. $\begin{matrix} \tan \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{1 + (- \frac{15}{17})}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{\frac{2}{17}}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{32}{2}} \\ = & - \sqrt{16} \\ = & −4 \end{matrix}$ We choose the negative value of $\tan \frac{α}{2}$ because $\frac{α}{2}$ lies in quadrant II, and tangent is negative in quadrant II.

ⓐ始める前に、 $α$ が第III象限にあるなら $180° < α < 270°$ なので $\frac{180°}{2} < \frac{α}{2} < \frac{270°}{2}$ であることを忘れないでほしい。 $90° < \frac{α}{2} < 135°$ なので、これは $\frac{α}{2}$ の動径が第II象限にあるということである。 $\sin \frac{α}{2}$ を求めるために、まず正弦の半角の公式を書く。そして図3の三角形から求めた余弦の値を代入して簡単にする。 $\begin{matrix} \sin \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{32}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{16}{17}} \\ = & \pm \frac{4}{\sqrt{17}} \\ = & \frac{4 \sqrt{17}}{17} \end{matrix}$ 。この角の動径が第II象限にあり、第II象限では正弦が正なので、 $\sin \frac{α}{2}$ の正の値を選ぶ。ⓑ $\cos \frac{α}{2}$ を求めるために、余弦の半角の公式を書き、図3の三角形から求めた余弦の値を代入して簡単にする。 $\begin{matrix} \cos \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 + (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{2}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1}{17}} \\ = & - \frac{\sqrt{17}}{17} \end{matrix}$ 。この角が第II象限にあり、第II象限では余弦が負なので、 $\cos \frac{α}{2}$ の負の値を選ぶ。ⓒ $\tan \frac{α}{2}$ を求めるために、正接の半角の公式を書く。ここでも図3の三角形から求めた余弦の値を代入して簡単にする。 $\begin{matrix} \tan \frac{α}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{1 + (- \frac{15}{17})}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{\frac{2}{17}}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{32}{2}} \\ = & - \sqrt{16} \\ = & −4 \end{matrix}$ 。 $\frac{α}{2}$ が第II象限にあり、第II象限では正接が負なので、 $\tan \frac{α}{2}$ の負の値を選ぶ。

Try It #5やってみよう5

Given that $\sin α = - \frac{4}{5}$ and $α$ lies in quadrant IV, find the exact value of $\cos (\frac{α}{2}) .$

$\sin α = - \frac{4}{5}$ で $α$ が第IV象限にあるとき、 $\cos (\frac{α}{2})$ の厳密な値を求めよ。

Example 9例9

Finding the Measurement of a Half Angle半角の大きさを求める

Now, we will return to the problem posed at the beginning of the section. A bicycle ramp is constructed for high-level competition with an angle of $θ$ formed by the ramp and the ground. Another ramp is to be constructed half as steep for novice competition. If $\tan θ = \frac{5}{3}$ for higher-level competition, what is the measurement of the angle for novice competition?

ここで、この節の初めに立てた問題に戻ろう。高い水準の競技用に、傾斜台と地面がなす角を $θ$ として自転車の傾斜台を造る。初心者の競技用に、急さを半分にした別の傾斜台を造ることになった。高い水準の競技で $\tan θ = \frac{5}{3}$ のとき、初心者の競技の角の大きさはいくらか。

Solution 解答

Since the angle for novice competition measures half the steepness of the angle for the high level competition, and $\tan θ = \frac{5}{3}$ for high competition, we can find $\cos θ$ from the right triangle and the Pythagorean theorem so that we can use the half-angle identities. See Figure 4.

初心者の競技の角は高い水準の競技の角の急さの半分であり、高い水準の競技では $\tan θ = \frac{5}{3}$ なので、直角三角形とピタゴラスの定理から $\cos θ$ を求めれば、半角の等式が使える。図4を見よ。

\begin{matrix} 3^{2} + 5^{2} & = & 34 \\ c & = & \sqrt{34} \end{matrix}

Image of a right triangle with sides 3, 5, and rad34. Rad 34 is the hypotenuse, and 3 is the base. The angle formed by the hypotenuse and base is theta. The angle between the side of length 3 and side of length 5 is a right angle.

We see that $\cos θ = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34} .$ We can use the half-angle formula for tangent: $\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} .$ Since $\tan θ$ is in the first quadrant, so is $\tan \frac{θ}{2} .$

$\cos θ = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34}$ と分かる。正接の半角の公式が使える: $\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}}$ 。 $\tan θ$ は第1象限にあるので、 $\tan \frac{θ}{2}$ も第1象限にある。

\begin{matrix} \tan \frac{θ}{2} & = & \sqrt{\frac{1 - \frac{3 \sqrt{34}}{34}}{1 + \frac{3 \sqrt{34}}{34}}} \\ = & \sqrt{\frac{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34}}{\frac{34 + 3 \sqrt{34}}{34}}} \\ = & \sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34 + 3 \sqrt{34}}} \\ \approx & 0.57 \end{matrix}

We can take the inverse tangent to find the angle: $\tan^{- 1} (0.57) \approx 29.7° .$ So the angle of the ramp for novice competition is $\approx 29.7° .$

逆正接をとればこの角が求められる: $\tan^{- 1} (0.57) \approx 29.7°$ 。よって初心者の競技の傾斜台の角は $\approx 29.7°$ である。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with double-angle, half-angle, and reduction formulas.

倍角・半角・次数を下げる公式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Double-Angle Identities• Half-Angle Identities

・倍角の等式・半角の等式

Verbal言葉で答える問題

1. Explain how to determine the reduction identities from the double-angle identity $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x .$

1. 倍角の等式 $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ から次数下げの等式をどう決めるかを説明せよ。

2. Explain how to determine the double-angle formula for $\tan (2 x)$ using the double-angle formulas for $\cos (2 x)$ and $\sin (2 x) .$

2. $\cos (2 x)$ と $\sin (2 x)$ の倍角の公式を使って、 $\tan (2 x)$ の倍角の公式をどう決めるかを説明せよ。

3. We can determine the half-angle formula for $\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{\sqrt{1 + \cos x}}$ by dividing the formula for $\sin (\frac{x}{2})$ by $\cos (\frac{x}{2}) .$ Explain how to determine two formulas for $\tan (\frac{x}{2})$ that do not involve any square roots.

3. $\sin (\frac{x}{2})$ の公式を $\cos (\frac{x}{2})$ で割れば $\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{\sqrt{1 + \cos x}}$ の半角の公式が決められる。平方根を含まない $\tan (\frac{x}{2})$ の公式を二つ、どう決めるかを説明せよ。

4. For the half-angle formula given in the previous exercise for $\tan (\frac{x}{2}),$ explain why dividing by 0 is not a concern. (Hint: examine the values of $\cos x$ necessary for the denominator to be 0.)

4. 前問で示した $\tan (\frac{x}{2})$ の半角の公式について、0で割る心配が要らない理由を説明せよ。(ヒント: 分母が0になるのに必要な $\cos x$ の値を調べよ。)

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the exact values of a) $\sin (2 x),$ b) $\cos (2 x),$ and c) $\tan (2 x)$ without solving for $x .$

次の各問について、 $x$ について解かずに、a) $\sin (2 x)$ 、b) $\cos (2 x)$ 、c) $\tan (2 x)$ の厳密な値を求めよ。

5. If $\sin x = \frac{1}{8},$ and $x$ is in quadrant I.

5. $\sin x = \frac{1}{8}$ で $x$ が第I象限にあるとき。

6. If $\cos x = \frac{2}{3},$ and $x$ is in quadrant I.

6. $\cos x = \frac{2}{3}$ で $x$ が第I象限にあるとき。

7. If $\cos x = - \frac{1}{2},$ and $x$ is in quadrant III.

7. $\cos x = - \frac{1}{2}$ で $x$ が第III象限にあるとき。

8. If $\tan x = −8,$ and $x$ is in quadrant IV.

8. $\tan x = −8$ で $x$ が第IV象限にあるとき。

For the following exercises, find the values of the six trigonometric functions if the conditions provided hold.

次の各問について、与えられた条件が成り立つときの六つの三角関数の値を求めよ。

9. $\cos (2 θ) = \frac{3}{5}$ and $90° \leq θ \leq 180°$

9. $\cos (2 θ) = \frac{3}{5}$ かつ $90° \leq θ \leq 180°$

10. $\cos (2 θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ and $180° \leq θ \leq 270°$

10. $\cos (2 θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $180° \leq θ \leq 270°$

For the following exercises, simplify to one trigonometric expression.

次の各問について、一つの三角関数の式に簡単にせよ。

11. $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

12. $4 \sin (\frac{π}{8}) \cos (\frac{π}{8})$

For the following exercises, find the exact value using half-angle formulas.

次の各問について、半角の公式を使って厳密な値を求めよ。

13. $\sin (\frac{π}{8})$

14. $\cos (- \frac{11 π}{12})$

15. $\sin (\frac{11 π}{12})$

16. $\cos (\frac{7 π}{8})$

17. $\tan (\frac{5 π}{12})$

18. $\tan (- \frac{3 π}{12})$

19. $\tan (- \frac{3 π}{8})$

For the following exercises, find the exact values of a) $\sin (\frac{x}{2}),$ b) $\cos (\frac{x}{2}),$ and c) $\tan (\frac{x}{2})$ without solving for $x,$ when $0 \leq x < 2 π$

次の各問について、 $0 \leq x < 2 π$ のとき、 $x$ について解かずに a) $\sin (\frac{x}{2})$ 、b) $\cos (\frac{x}{2})$ 、c) $\tan (\frac{x}{2})$ の厳密な値を求めよ。

20. If $\tan x = - \frac{4}{3},$ and $x$ is in quadrant IV.

20. $\tan x = - \frac{4}{3}$ で $x$ が第IV象限にあるとき。

21. If $\sin x = - \frac{12}{13},$ and $x$ is in quadrant III.

21. $\sin x = - \frac{12}{13}$ で $x$ が第III象限にあるとき。

22. If $\csc x = 7,$ and $x$ is in quadrant II.

22. $\csc x = 7$ で $x$ が第II象限にあるとき。

23. If $\sec x = - 4,$ and $x$ is in quadrant II.

23. $\sec x = - 4$ で $x$ が第II象限にあるとき。

For the following exercises, use Figure 5 to find the requested half and double angles.

次の各問について、図5を使って求められた半角と倍角を求めよ。

Image of a right triangle. The base is length 12, and the height is length 5. The angle between the base and the height is 90 degrees, the angle between the base and the hypotenuse is theta, and the angle between the height and the hypotenuse is alpha degrees.

24. Find $\sin (2 θ), \cos (2 θ),$ and $\tan (2 θ).$

24. $\sin (2 θ), \cos (2 θ)$ と $\tan (2 θ).$ を求めよ。

25. Find $\sin (2 α), \cos (2 α),$ and $\tan (2 α).$

25. $\sin (2 α), \cos (2 α)$ と $\tan (2 α).$ を求めよ。

26. Find $\sin (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2}),$ and $\tan (\frac{θ}{2}) .$

26. $\sin (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2})$ と $\tan (\frac{θ}{2})$ を求めよ。

27. Find $\sin (\frac{α}{2}), \cos (\frac{α}{2}),$ and $\tan (\frac{α}{2}) .$

27. $\sin (\frac{α}{2}), \cos (\frac{α}{2})$ と $\tan (\frac{α}{2})$ を求めよ。

For the following exercises, simplify each expression. Do not evaluate.

次の各問について、各式を簡単にせよ。値は求めなくてよい。

28. $\cos^{2} (28°) - \sin^{2} (28°)$

29. $2 \cos^{2} (37°) - 1$

30. $1 - 2 \sin^{2} (17°)$

31. $\cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x)$

32. $4 \sin (8 x) \cos (8 x)$

33. $6 \sin (5 x) \cos (5 x)$

For the following exercises, prove the given identity.

次の各問について、与えられた等式を証明せよ。

34. ${(\sin t - \cos t)}^{2} = 1 - \sin (2 t)$

35. $\sin (2 x) = - 2 \sin (- x) \cos (- x)$

36. $\cot x - \tan x = 2 \cot (2 x)$

37. $\frac{\sin (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \tan^{2} θ = \tan^{3} θ$

For the following exercises, rewrite the expression with an exponent no higher than 1.

次の各問について、指数が1を超えないように式を書き直せ。

38. $\cos^{2} (5 x)$

39. $\cos^{2} (6 x)$

40. $\sin^{4} (8 x)$

41. $\sin^{4} (3 x)$

42. $\cos^{2} x \sin^{4} x$

43. $\cos^{4} x \sin^{2} x$

44. $\tan^{2} x \sin^{2} x$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, reduce the equations to powers of one, and then check the answer graphically.

次の各問について、式を1乗に落とし、そしてグラフで答えを検算せよ。

45. $\tan^{4} x$

46. $\sin^{2} (2 x)$

47. $\sin^{2} x \cos^{2} x$

48. $\tan^{2} x \sin x$

49. $\tan^{4} x \cos^{2} x$

50. $\cos^{2} x \sin (2 x)$

51. $\cos^{2} (2 x) \sin x$

52. $\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sin x$

For the following exercises, algebraically find an equivalent function, only in terms of $\sin x$ and/or $\cos x,$ and then check the answer by graphing both functions.

次の各問について、 $\sin x$ や $\cos x$ だけで表した同値な関数を代数的に求め、両方の関数のグラフを描いて答えを検算せよ。

53. $\sin (4 x)$

54. $\cos (4 x)$

Extensions発展問題

For the following exercises, prove the identities.

次の各問について、等式を証明せよ。

55. $\sin (2 x) = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x}$

56. $\cos (2 α) = \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α}$

57. $\tan (2 x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^{2} x - 1}$

58. ${(\sin^{2} x - 1)}^{2} = \cos (2 x) + \sin^{4} x$

59. $\sin (3 x) = 3 \sin x \cos^{2} x - \sin^{3} x$

60. $\cos (3 x) = \cos^{3} x - 3 \sin^{2} x \cos x$

61. $\frac{1 + \cos (2 t)}{\sin (2 t) - \cos t} = \frac{2 \cos t}{2 \sin t - 1}$

62. $\sin (16 x) = 16 \sin x \cos x \cos (2 x) \cos (4 x) \cos (8 x)$

63. $\cos (16 x) = (\cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) - \sin (8 x)) (\cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) + \sin (8 x))$