第9章三角関数の恒等式と方程式Trigonometric Identities and Equations

9.2 Sum and Difference Identities9.2 加法定理

Learning Objectives 学習目標

• Use sum and difference formulas for cosine.• Use sum and difference formulas for sine.• Use sum and difference formulas for tangent.• Use sum and difference formulas for cofunctions.• Use sum and difference formulas to verify identities.

・余弦の加法定理を使う。・正弦の加法定理を使う。・正接の加法定理を使う。・加法定理から余角の公式を導く。・加法定理を使って等式を確かめる。

Photo of Mt. McKinley (formerly Denali). — Figure 1 Mount McKinley, in Denali National Park, Alaska, rises 20,310 feet (6,190 m) above sea level. It is the highest peak in North America. (credit: Daniel A. Leifheit, Flickr)図1 アラスカのデナリ国立公園にあるマッキンリー山は、海面から20,310フィート(6,190m)そびえる。北アメリカで最も高い峰である。(credit: Daniel A. Leifheit, Flickr)

How can the height of a mountain be measured? What about the distance from Earth to the sun? Like many seemingly impossible problems, we rely on mathematical formulas to find the answers. The trigonometric identities, commonly used in mathematical proofs, have had real-world applications for centuries, including their use in calculating long distances.

山の高さはどうすれば測れるか。地球から太陽までの距離はどうか。一見できそうにない多くの問題と同じく、答えを求めるには数学の公式に頼る。数学の証明でよく使われる三角関数の恒等式は、長い距離の計算などで何世紀も現実の応用を持ってきた。

The trigonometric identities we will examine in this section can be traced to a Persian astronomer who lived around 950 AD, but the ancient Greeks discovered these same formulas much earlier and stated them in terms of chords. These are special equations or postulates, true for all values input to the equations, and with innumerable applications.

この節で調べる三角関数の恒等式は、紀元950年ごろに生きたペルシアの天文学者にさかのぼれるが、古代ギリシア人はずっと早くに同じ公式を見いだし、弦で述べていた。これは、式に入れるどの値についても成り立つ特別な方程式ないし公準であり、数え切れない応用がある。

In this section, we will learn techniques that will enable us to solve problems such as the ones presented above. The formulas that follow will simplify many trigonometric expressions and equations. Keep in mind that, throughout this section, the term formula is used synonymously with the word identity.

この節では、上に示したような問題を解けるようにする手法を学ぶ。これから示す公式は、多くの三角関数の式や方程式を簡単にする。この節を通して、公式という語が等式という語と同じ意味で使われることを心にとめておこう。

Using the Sum and Difference Formulas for Cosine余弦の加法定理を使う

Finding the exact value of the sine, cosine, or tangent of an angle is often easier if we can rewrite the given angle in terms of two angles that have known trigonometric values. We can use the special angles, which we can review in the unit circle shown in Figure 2.

ある角の正弦・余弦・正接の厳密な値を求めるのは、その角を、三角関数の値が分かっている二つの角で書き直せればしばしば楽になる。図2に示す単位円で振り返れる特別な角が使える。

Diagram of the unit circle with points labeled on its edge. P point is at an angle a from the positive x axis with coordinates (cosa, sina). Point Q is at an angle of B from the positive x axis with coordinates (cosb, sinb). Angle POQ is a - B degrees. Point A is at an angle of (a-B) from the x axis with coordinates (cos(a-B), sin(a-B)). Point B is just at point (1,0). Angle AOB is also a - B degrees. Radii PO, AO, QO, and BO are all 1 unit long and are the legs of triangles POQ and AOB. Triangle POQ is a rotation of triangle AOB, so the distance from P to Q is the same as the distance from A to B. — Figure 2 The Unit Circle図2 単位円

We will begin with the sum and difference formulas for cosine, so that we can find the cosine of a given angle if we can break it up into the sum or difference of two of the special angles. See Table 1.

まず余弦の加法定理から始める。与えられた角を二つの特別な角の和や差に分けられれば、その角の余弦が求められる。表1を見よ。

Sum formula for cosine余弦の和の公式	$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
Difference formula for cosine余弦の差の公式	$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

First, we will prove the difference formula for cosines. Let’s consider two points on the unit circle. See Figure 3. Point $P$ is at an angle $α$ from the positive x-axis with coordinates $(\cos α, \sin α)$ and point $Q$ is at an angle of $β$ from the positive x-axis with coordinates $(\cos β, \sin β) .$ Note the measure of angle $P O Q$ is $α - β .$

まず余弦の差の公式を証明する。単位円上の二点を考えよう。図3を見よ。点 $P$ は正の x軸から角 $α$ のところにあり、座標は $(\cos α, \sin α)$ である。点 $Q$ は正の x軸から角 $β$ のところにあり、座標は $(\cos β, \sin β)$ である。角 $P O Q$ の大きさが $α - β$ であることに注意しよう。

Label two more points: $A$ at an angle of $(α - β)$ from the positive x-axis with coordinates $(\cos (α - β), \sin (α - β));$ and point $B$ with coordinates $(1, 0) .$ Triangle $P O Q$ is a rotation of triangle $A O B$ and thus the distance from $P$ to $Q$ is the same as the distance from $A$ to $B .$

さらに二点に名前を付ける。 $A$ は正の x軸から角 $(α - β)$ のところにあり、座標は $(\cos (α - β), \sin (α - β));$ である。点 $B$ の座標は $(1, 0)$ である。三角形 $P O Q$ は三角形 $A O B$ を回したものなので、 $P$ から $Q$ までの距離は $A$ から $B$ までの距離と同じである。

We can find the distance from $P$ to $Q$ using the distance formula.

距離の公式を使えば、 $P$ から $Q$ までの距離が求められる。

\begin{matrix} d_{P Q} & = & \sqrt{{(\cos α - \cos β)}^{2} + {(\sin α - \sin β)}^{2}} \\ = & \sqrt{\cos^{2} α - 2 \cos α \cos β + \cos^{2} β + \sin^{2} α - 2 \sin α \sin β + \sin^{2} β} \end{matrix}

Then we apply the Pythagorean identity and simplify.

そしてピタゴラスの等式を当てはめて簡単にする。

\begin{matrix} = & \sqrt{(\cos^{2} α + \sin^{2} α) + (\cos^{2} β + \sin^{2} β) - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \\ = & \sqrt{1 + 1 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \\ = & \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \end{matrix}

Similarly, using the distance formula we can find the distance from $A$ to $B .$

同じように、距離の公式を使えば $A$ から $B$ までの距離が求められる。

\begin{matrix} d_{A B} & = & \sqrt{{(\cos (α - β) - 1)}^{2} + {(\sin (α - β) - 0)}^{2}} \\ = & \sqrt{\cos^{2} (α - β) - 2 \cos (α - β) + 1 + \sin^{2} (α - β)} \end{matrix}

Applying the Pythagorean identity and simplifying we get:

ピタゴラスの等式を当てはめて簡単にすると、次が得られる。

\begin{matrix} = & \sqrt{(\cos^{2} (α - β) + \sin^{2} (α - β)) - 2 \cos (α - β) + 1} \\ = & \sqrt{1 - 2 \cos (α - β) + 1} \\ = & \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \end{matrix}

Because the two distances are the same, we set them equal to each other and simplify.

この二つの距離は同じなので、等しいとおいて簡単にする。

\begin{matrix} \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} & = & \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \\ 2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β & = & 2 - 2 \cos (α - β) \end{matrix}

Finally we subtract $2$ from both sides and divide both sides by $−2.$

最後に両辺から $2$ を引き、両辺を $−2.$ で割る。

\cos α \cos β + \sin α \sin β = \cos (α - β)

Thus, we have the difference formula for cosine. We can use similar methods to derive the cosine of the sum of two angles.

これで余弦の差の公式が得られた。同じような方法で、二つの角の和の余弦も導ける。

Sum and Difference Formulas for Cosine 余弦の加法定理

These formulas can be used to calculate the cosine of sums and differences of angles.

この公式を使えば、角の和と差の余弦が計算できる。

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β

How To 手順

Given two angles, find the cosine of the difference between the angles.

二つの角が与えられたとき、その角の差の余弦を求める。

1. Write the difference formula for cosine.2. Substitute the values of the given angles into the formula.3. Simplify.

1. 余弦の差の公式を書く。2. 与えられた角の値を公式に代入する。3. 簡単にする。

Example 1例1

Finding the Exact Value Using the Formula for the Cosine of the Difference of Two Angles二つの角の差の余弦の公式を使って厳密な値を求める

Using the formula for the cosine of the difference of two angles, find the exact value of $\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}) .$

二つの角の差の余弦の公式を使って、 $\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6})$ の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

Begin by writing the formula for the cosine of the difference of two angles. Then substitute the given values.

まず二つの角の差の余弦の公式を書く。そして与えられた値を代入する。

\begin{matrix} \cos (α - β) & = & \cos α \cos β + \sin α \sin β \\ \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}) & = & \cos (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) \\ = & (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{1}{2}) \\ = & - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = & \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}

Keep in mind that we can always check the answer using a graphing calculator in radian mode.

ラジアンのモードのグラフ電卓を使えば、答えはいつでも検算できることを心にとめておこう。

Try It #1やってみよう1

Find the exact value of $\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) .$

$\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$ の厳密な値を求めよ。

Example 2例2

Finding the Exact Value Using the Formula for the Sum of Two Angles for Cosine余弦の二つの角の和の公式を使って厳密な値を求める

Find the exact value of $\cos (75°) .$

$\cos (75°)$ の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

As $75° = 45° + 30°,$ we can evaluate $\cos (75°)$ as $\cos (45° + 30°) .$

$75° = 45° + 30°$ なので、 $\cos (75°)$ を $\cos (45° + 30°)$ として求められる。

\begin{matrix} \cos (α + β) & = & \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ \cos (45° + 30°) & = & \cos (45°) \cos (30°) - \sin (45°) \sin (30°) \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = & \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}

Keep in mind that we can always check the answer using a graphing calculator in degree mode.

度のモードのグラフ電卓を使えば、答えはいつでも検算できることを心にとめておこう。

Analysis 考察

Note that we could have also solved this problem using the fact that $75° = 135° - 60° .$

$75° = 135° - 60°$ という事実を使ってもこの問題は解けたことに注意しよう。

\begin{matrix} \cos (α - β) & = & \cos α \cos β + \sin α \sin β \\ \cos (135° - 60°) & = & \cos (135°) \cos (60°) + \sin (135°) \sin (60°) \\ = & (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + (\frac{\sqrt{6}}{4}) \\ = & (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) \end{matrix}

Try It #2やってみよう2

Find the exact value of $\cos (105°) .$

$\cos (105°)$ の厳密な値を求めよ。

Using the Sum and Difference Formulas for Sine正弦の加法定理を使う

The sum and difference formulas for sine can be derived in the same manner as those for cosine, and they resemble the cosine formulas.

正弦の加法定理も余弦のそれと同じしかたで導けて、余弦の公式に似ている。

Sum and Difference Formulas for Sine 正弦の加法定理

These formulas can be used to calculate the sines of sums and differences of angles.

この公式を使えば、角の和と差の正弦が計算できる。

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β

How To 手順

Given two angles, find the sine of the difference between the angles.

二つの角が与えられたとき、その角の差の正弦を求める。

1. Write the difference formula for sine.2. Substitute the given angles into the formula.3. Simplify.

1. 正弦の差の公式を書く。2. 与えられた角を公式に代入する。3. 簡単にする。

Example 3例3

Using Sum and Difference Identities to Evaluate the Difference of Angles加法定理を使って角の差の値を求める

Use the sum and difference identities to evaluate the difference of the angles and show that part a equals part b.

加法定理を使って角の差の値を求め、(a)が(b)に等しいことを示せ。

ⓐ $\sin (45° - 30°)$ ⓑ $\sin (135° - 120°)$

Solution 解答

ⓐLet’s begin by writing the formula and substitute the given angles. $\begin{matrix} \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (45° - 30°) & = & \sin (45°) \cos (30°) - \cos (45°) \sin (30°) \end{matrix}$ Next, we need to find the values of the trigonometric expressions. $\sin (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (30°) = \frac{1}{2}$ Now we can substitute these values into the equation and simplify. $\begin{matrix} \sin (45° - 30°) & = & \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}$ ⓑAgain, we write the formula and substitute the given angles. $\begin{matrix} \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (135° - 120°) & = & \sin (135°) \cos (120°) - \cos (135°) \sin (120°) \end{matrix}$ Next, we find the values of the trigonometric expressions. $\sin (135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (120°) = - \frac{1}{2}, \cos (135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Now we can substitute these values into the equation and simplify. $\begin{matrix} \sin (135° - 120°) & = & \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}$

ⓐまず公式を書き、与えられた角を代入しよう。 $\begin{matrix} \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (45° - 30°) & = & \sin (45°) \cos (30°) - \cos (45°) \sin (30°) \end{matrix}$ 。次に、三角関数の式の値を求める必要がある。 $\sin (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (30°) = \frac{1}{2}$ 。これでこの値を式に代入して簡単にできる。 $\begin{matrix} \sin (45° - 30°) & = & \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}$ ⓑここでも公式を書き、与えられた角を代入する。 $\begin{matrix} \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (135° - 120°) & = & \sin (135°) \cos (120°) - \cos (135°) \sin (120°) \end{matrix}$ 。次に三角関数の式の値を求める。 $\sin (135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (120°) = - \frac{1}{2}, \cos (135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。これでこの値を式に代入して簡単にできる。 $\begin{matrix} \sin (135° - 120°) & = & \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{matrix}$

Example 4例4

Finding the Exact Value of an Expression Involving an Inverse Trigonometric Function逆三角関数を含む式の厳密な値を求める

Find the exact value of $\sin (\cos^{−1} \frac{1}{2} + \sin^{−1} \frac{3}{5}) .$ Then check the answer with a graphing calculator.

$\sin (\cos^{−1} \frac{1}{2} + \sin^{−1} \frac{3}{5})$ の厳密な値を求めよ。そしてグラフ電卓で答えを検算せよ。

Solution 解答

The pattern displayed in this problem is $\sin (α + β) .$ Let $α = \cos^{−1} \frac{1}{2}$ and $β = \sin^{−1} \frac{3}{5} .$ Then we can write

この問題に現れる型は $\sin (α + β)$ である。 $α = \cos^{−1} \frac{1}{2}$ 、 $β = \sin^{−1} \frac{3}{5}$ とおくと、次のように書ける。

\begin{matrix} \cos α & = & \frac{1}{2}, 0 \leq α \leq π \\ \sin β & = & \frac{3}{5}, - \frac{π}{2} \leq β \leq \frac{π}{2} \end{matrix}

We will use the Pythagorean identities to find $\sin α$ and $\cos β .$

ピタゴラスの等式を使って $\sin α$ と $\cos β$ を求める。

\begin{matrix} \sin α & = & \sqrt{1 - \cos^{2} α} \\ = & \sqrt{1 - \frac{1}{4}} \\ = & \sqrt{\frac{3}{4}} \\ = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos β & = & \sqrt{1 - \sin^{2} β} \\ = & \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \\ = & \sqrt{\frac{16}{25}} \\ = & \frac{4}{5} \end{matrix}

Using the sum formula for sine,

正弦の和の公式を使うと、

\begin{matrix} \sin (\cos^{- 1} \frac{1}{2} + \sin^{- 1} \frac{3}{5}) & = & \sin (α + β) \\ = & \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ = & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ = & \frac{4 \sqrt{3} + 3}{10} \end{matrix}

Using the Sum and Difference Formulas for Tangent正接の加法定理を使う

Finding exact values for the tangent of the sum or difference of two angles is a little more complicated, but again, it is a matter of recognizing the pattern.

二つの角の和や差の正接の厳密な値を求めるのは少し込み入っているが、ここでも型を見分けることが肝心である。

Finding the sum of two angles formula for tangent involves taking quotient of the sum formulas for sine and cosine and simplifying. Recall, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \cos x \neq 0.$

正接の二つの角の和の公式を求めるには、正弦と余弦の和の公式の商をとって簡単にする。 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \cos x \neq 0.$ を思い出そう。

Let’s derive the sum formula for tangent.

正接の和の公式を導こう。

\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} \\ = & \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β} \\ = & \frac{\frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β - \sin α \sin β}{\cos α \cos β}} & Divide the numerator and denominator by cos α cos β . \\ = & \frac{\frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} + \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = & \frac{\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\sin β}{\cos β}}{1 - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{matrix}

We can derive the difference formula for tangent in a similar way.

正接の差の公式も同じように導ける。

Sum and Difference Formulas for Tangent 正接の加法定理

The sum and difference formulas for tangent are:

正接の加法定理は次のとおりである。

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}

\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}

How To 手順

Given two angles, find the tangent of the sum of the angles.

二つの角が与えられたとき、その角の和の正接を求める。

1. Write the sum formula for tangent.2. Substitute the given angles into the formula.3. Simplify.

1. 正接の和の公式を書く。2. 与えられた角を公式に代入する。3. 簡単にする。

Example 5例5

Finding the Exact Value of an Expression Involving Tangent正接を含む式の厳密な値を求める

Find the exact value of $\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) .$

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$ の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

Let’s first write the sum formula for tangent and then substitute the given angles into the formula.

まず正接の和の公式を書き、与えられた角を公式に代入しよう。

\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) & = & \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - (\tan (\frac{π}{6})) (\tan (\frac{π}{4}))} \end{matrix}

Next, we determine the individual function values within the formula:

次に、公式の中の個々の関数の値を決める。

\tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}, \tan (\frac{π}{4}) = 1

So we have

よって次が得られる。

\begin{matrix} \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) & = & \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}}) (1)} \\ = & \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} \\ = & \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}) \\ = & \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

Find the exact value of $\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}) .$

$\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$ の厳密な値を求めよ。

Example 6例6

Finding Multiple Sums and Differences of Angles角の和と差をいくつも求める

Given $\sin α = \frac{3}{5}, 0 < α < \frac{π}{2}, \cos β = - \frac{5}{13}, π < β < \frac{3 π}{2},$ find

$\sin α = \frac{3}{5}, 0 < α < \frac{π}{2}, \cos β = - \frac{5}{13}, π < β < \frac{3 π}{2}$ が与えられたとき、次を求めよ。

ⓐ $\sin (α + β)$ ⓑ $\cos (α + β)$ ⓒ $\tan (α + β)$ ⓓ $\tan (α - β)$

Solution 解答

We can use the sum and difference formulas to identify the sum or difference of angles when the ratio of sine, cosine, or tangent is provided for each of the individual angles. To do so, we construct what is called a reference triangle to help find each component of the sum and difference formulas.

個々の角について正弦・余弦・正接の比が与えられていれば、加法定理を使って角の和や差を見分けられる。そのために、加法定理の各成分を求める手がかりとなる、基準となる三角形と呼ばれるものを作る。

ⓐTo find $\sin (α + β),$ we begin with $\sin α = \frac{3}{5}$ and $0 < α < \frac{π}{2} .$ The side opposite $α$ has length 3, the hypotenuse has length 5, and $α$ is in the first quadrant. See Figure 4. Using the Pythagorean Theorem, we can find the length of side $a :$ $\begin{matrix} a^{2} + 3^{2} & = & 5^{2} \\ a^{2} & = & 16 \\ a & = & 4 \end{matrix}$ Figure 4 Since $\cos β = - \frac{5}{13}$ and $π < β < \frac{3 π}{2},$ the side adjacent to $β$ is $−5,$ the hypotenuse is 13, and $β$ is in the third quadrant. See Figure 5. Again, using the Pythagorean Theorem, we have $\begin{matrix} {(−5)}^{2} + a^{2} & = & 13^{2} \\ 25 + a^{2} & = & 169 \\ a^{2} & = & 144 \\ a & = & \pm 12 \end{matrix}$ Since $β$ is in the third quadrant, $a = –12.$ Figure 5 The next step is finding the cosine of $α$ and the sine of $β .$ The cosine of $α$ is the adjacent side over the hypotenuse. We can find it from the triangle in Figure 5: $\cos α = \frac{4}{5} .$ We can also find the sine of $β$ from the triangle in Figure 5, as opposite side over the hypotenuse: $\sin β = - \frac{12}{13} .$ Now we are ready to evaluate $\sin (α + β) .$ $\begin{matrix} \sin (α + β) & = & \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ = & (\frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + (\frac{4}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \\ = & - \frac{63}{65} \end{matrix}$ ⓑWe can find $\cos (α + β)$ in a similar manner. We substitute the values according to the formula. $\begin{matrix} \cos (α + β) & = & \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ = & (\frac{4}{5}) (- \frac{5}{13}) - (\frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{20}{65} + \frac{36}{65} \\ = & \frac{16}{65} \end{matrix}$ ⓒFor $\tan (α + β),$ if $\sin α = \frac{3}{5}$ and $\cos α = \frac{4}{5},$ then $\tan α = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$ If $\sin β = - \frac{12}{13}$ and $\cos β = - \frac{5}{13},$ then $\tan β = \frac{\frac{- 12}{13}}{\frac{- 5}{13}} = \frac{12}{5}$ Then, $\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{\frac{63}{20}}{- \frac{16}{20}} \\ = & - \frac{63}{16} \end{matrix}$ ⓓTo find $\tan (α - β),$ we have the values we need. We can substitute them in and evaluate. $\begin{matrix} \tan (α - β) & = & \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{- \frac{33}{20}}{\frac{56}{20}} \\ = & - \frac{33}{56} \end{matrix}$

ⓐ $\sin (α + β)$ を求めるために、 $\sin α = \frac{3}{5}$ と $0 < α < \frac{π}{2}$ から始める。 $α$ の対辺の長さは3、斜辺の長さは5で、 $α$ は第1象限にある。図4を見よ。ピタゴラスの定理を使えば、辺 $a :$ の長さが求められる。 $\begin{matrix} a^{2} + 3^{2} & = & 5^{2} \\ a^{2} & = & 16 \\ a & = & 4 \end{matrix}$ 。図4。 $\cos β = - \frac{5}{13}$ かつ $π < β < \frac{3 π}{2}$ なので、 $β$ の隣辺は $−5$ 、斜辺は13で、 $β$ は第3象限にある。図5を見よ。ここでもピタゴラスの定理を使うと、次が得られる。 $\begin{matrix} {(−5)}^{2} + a^{2} & = & 13^{2} \\ 25 + a^{2} & = & 169 \\ a^{2} & = & 144 \\ a & = & \pm 12 \end{matrix}$ 。 $β$ は第3象限にあるので $a = –12.$ である。図5。次は $α$ の余弦と $β$ の正弦を求める。 $α$ の余弦は隣辺を斜辺で割ったものである。図5の三角形から求められる: $\cos α = \frac{4}{5}$ 。 $β$ の正弦も図5の三角形から、対辺を斜辺で割ったものとして求められる: $\sin β = - \frac{12}{13}$ 。これで $\sin (α + β)$ の値を求める用意ができた。 $\begin{matrix} \sin (α + β) & = & \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ = & (\frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + (\frac{4}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \\ = & - \frac{63}{65} \end{matrix}$ ⓑ $\cos (α + β)$ も同じように求められる。公式に従って値を代入する。 $\begin{matrix} \cos (α + β) & = & \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ = & (\frac{4}{5}) (- \frac{5}{13}) - (\frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = & - \frac{20}{65} + \frac{36}{65} \\ = & \frac{16}{65} \end{matrix}$ ⓒ $\tan (α + β)$ について、 $\sin α = \frac{3}{5}$ かつ $\cos α = \frac{4}{5}$ なら $\tan α = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$ である。 $\sin β = - \frac{12}{13}$ かつ $\cos β = - \frac{5}{13}$ なら $\tan β = \frac{\frac{- 12}{13}}{\frac{- 5}{13}} = \frac{12}{5}$ である。すると $\begin{matrix} \tan (α + β) & = & \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{\frac{63}{20}}{- \frac{16}{20}} \\ = & - \frac{63}{16} \end{matrix}$ となる。ⓓ $\tan (α - β)$ を求めるのに必要な値は揃っている。代入して値を求められる。 $\begin{matrix} \tan (α - β) & = & \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ = & \frac{\frac{3}{4} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = & \frac{- \frac{33}{20}}{\frac{56}{20}} \\ = & - \frac{33}{56} \end{matrix}$

Analysis 考察

A common mistake when addressing problems such as this one is that we may be tempted to think that $α$ and $β$ are angles in the same triangle, which of course, they are not. Also note that

この種の問題でよくある間違いは、 $α$ と $β$ が同じ三角形の角だと思い込みたくなることである。もちろんそうではない。次のことにも注意しよう。

\tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)}

Using Sum and Difference Formulas for Cofunctions加法定理から余角の公式を導く

Now that we can find the sine, cosine, and tangent functions for the sums and differences of angles, we can use them to do the same for their cofunctions. You may recall from Right Triangle Trigonometry that, if the sum of two positive angles is $\frac{π}{2},$ those two angles are complements, and the sum of the two acute angles in a right triangle is $\frac{π}{2},$ so they are also complements. In Figure 6, notice that if one of the acute angles is labeled as $θ,$ then the other acute angle must be labeled $(\frac{π}{2} - θ) .$

角の和と差の正弦・余弦・正接の関数が求められるようになったので、それを使って余関数についても同じことができる。「直角三角形の三角法」で、二つの正の角の和が $\frac{π}{2}$ ならその二つの角は互いに余角であり、直角三角形の二つの鋭角の和は $\frac{π}{2}$ なのでそれも互いに余角だと学んだのを思い出すかもしれない。図6で、一方の鋭角を $θ$ とすると、もう一方の鋭角は $(\frac{π}{2} - θ)$ でなければならないことに注目しよう。

Notice also that $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ),$ which is opposite over hypotenuse. Thus, when two angles are complementary, we can say that the sine of $θ$ equals the cofunction of the complement of $θ .$ Similarly, tangent and cotangent are cofunctions, and secant and cosecant are cofunctions.

$\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ であることにも注目しよう。これは対辺を斜辺で割ったものである。よって二つの角が互いに余角のとき、 $θ$ の正弦は $θ$ の余角の余関数に等しいと言える。同じように、正接と余接は余関数どうしであり、正割と余割も余関数どうしである。

Image of a right triangle. The remaining angles are labeled theta and pi/2 - theta.

From these relationships, the cofunction identities are formed. Recall that you first encountered these identities in The Unit Circle: Sine and Cosine Functions.

この関係から余関数の等式ができる。この等式に「単位円: 正弦関数と余弦関数」で初めて出会ったことを思い出そう。

Cofunction Identities 余角の公式

The cofunction identities are summarized in Table 2.

余関数の等式を表2にまとめる。

$\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$	$\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)$
$\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)$	$\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)$
$\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)$	$\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)$

Notice that the formulas in the table may also be justified algebraically using the sum and difference formulas. For example, using

この表の公式は、加法定理を使って代数的にも根拠づけられることに注目しよう。たとえば、次を使って、

\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β,

we can write

次のように書ける。

\begin{matrix} \cos (\frac{π}{2} - θ) & = & \cos \frac{π}{2} \cos θ + \sin \frac{π}{2} \sin θ \\ = & (0) \cos θ + (1) \sin θ \\ = & \sin θ \end{matrix}

Example 7例7

Finding a Cofunction with the Same Value as the Given Expression与えられた式と同じ値を持つ余関数を求める

Write $\tan \frac{π}{9}$ in terms of its cofunction.

$\tan \frac{π}{9}$ をその余関数で書け。

Solution 解答

The cofunction of $\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ) .$ Thus,

$\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)$ の余関数。したがって、

\begin{matrix} \tan (\frac{π}{9}) & = & \cot (\frac{π}{2} - \frac{π}{9}) \\ = & \cot (\frac{9 π}{18} - \frac{2 π}{18}) \\ = & \cot (\frac{7 π}{18}) \end{matrix}

Try It #4やってみよう4

Write $\sin \frac{π}{7}$ in terms of its cofunction.

$\sin \frac{π}{7}$ をその余関数で書け。

Using the Sum and Difference Formulas to Verify Identities加法定理を使って等式を確かめる

Verifying an identity means demonstrating that the equation holds for all values of the variable. It helps to be very familiar with the identities or to have a list of them accessible while working the problems. Reviewing the general rules presented earlier may help simplify the process of verifying an identity.

等式を確かめるとは、変数のすべての値についてその式が成り立つと示すことである。等式によく慣れているか、問題を解くあいだ手元に一覧を置いておくと役立つ。先に示した一般の規則を振り返れば、等式を確かめる手順が簡単になるかもしれない。

How To 手順

Given an identity, verify using sum and difference formulas.

等式が与えられたとき、加法定理を使って確かめる。

1. Begin with the expression on the side of the equal sign that appears most complex. Rewrite that expression until it matches the other side of the equal sign. Occasionally, we might have to alter both sides, but working on only one side is the most efficient.2. Look for opportunities to use the sum and difference formulas.3. Rewrite sums or differences of quotients as single quotients.4. If the process becomes cumbersome, rewrite the expression in terms of sines and cosines.

1. 等号のうち、より込み入って見える側の式から始める。その式が等号のもう一方と一致するまで書き直す。両側を変えなければならないこともあるが、片側だけで作業するのが最も効率がよい。2. 加法定理を使える機会を探す。3. 商の和や差を、一つの商として書き直す。4. 手順が面倒になったら、その式を正弦と余弦で書き直す。

Example 8例8

Verifying an Identity Involving Sine正弦を含む等式を確かめる

Verify the identity $\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β .$

等式 $\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β$ を確かめよ。

Solution 解答

We see that the left side of the equation includes the sines of the sum and the difference of angles.

方程式の左辺に、角の和と差の正弦が含まれているのが見てとれる。

\begin{matrix} \sin (α + β) & = & \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ \sin (α - β) & = & \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{matrix}

We can rewrite each using the sum and difference formulas.

加法定理を使って、それぞれを書き直せる。

\begin{matrix} \sin (α + β) + \sin (α - β) & = & \sin α \cos β + \cos α \sin β + \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ = & 2 \sin α \cos β \end{matrix}

We see that the identity is verified.

これで等式が確かめられた。

Example 9例9

Verifying an Identity Involving Tangent正接を含む等式を確かめる

Verify the following identity.

次の等式を確かめよ。

\frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β} = \tan α - \tan β

Solution 解答

We can begin by rewriting the numerator on the left side of the equation.

まず方程式の左辺の分子を書き直すことから始められる。

\begin{matrix} \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β} & = & \frac{\sin α \cos β - \cos α \sin β}{\cos α \cos β} \\ = & \frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β} & Rewrite using a common denominator . \\ = & \frac{\sin α}{\cos α} - \frac{\sin β}{\cos β} & Cancel . \\ = & \tan α - \tan β & Rewrite in terms of tangent . \end{matrix}

We see that the identity is verified. In many cases, verifying tangent identities can successfully be accomplished by writing the tangent in terms of sine and cosine.

これで等式が確かめられた。多くの場合、正接を正弦と余弦で書けば、正接の等式はうまく確かめられる。

Try It #5やってみよう5

Verify the identity: $\tan (π - θ) = - \tan θ .$

等式 $\tan (π - θ) = - \tan θ$ を確かめよ。

Example 10例10

Using Sum and Difference Formulas to Solve an Application Problem加法定理を使って応用問題を解く

Let $L_{1}$ and $L_{2}$ denote two non-vertical intersecting lines, and let $θ$ denote the acute angle between $L_{1}$ and $L_{2} .$ See Figure 7. Show that

$L_{1}$ と $L_{2}$ を、縦でない交わる二本の直線とし、 $θ$ を $L_{1}$ と $L_{2}$ のあいだの鋭角とする。図7を見よ。次を示せ。

\tan θ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}}

where $m_{1}$ and $m_{2}$ are the slopes of $L_{1}$ and $L_{2}$ respectively. (Hint: Use the fact that $\tan θ_{1} = m_{1}$ and $\tan θ_{2} = m_{2} .$ )

ここで $m_{1}$ と $m_{2}$ はそれぞれ $L_{1}$ と $L_{2}$ の傾きである。(ヒント: $\tan θ_{1} = m_{1}$ かつ $\tan θ_{2} = m_{2}$ という事実を使え。)

Diagram of two non-vertical intersecting lines L1 and L2 also intersecting the x-axis. The acute angle formed by the intersection of L1 and L2 is theta. The acute angle formed by L2 and the x-axis is theta 1, and the acute angle formed by the x-axis and L1 is theta 2.

Solution 解答

Using the difference formula for tangent, this problem does not seem as daunting as it might.

正接の差の公式を使えば、この問題は見た目ほど手強くない。

\begin{matrix} \tan θ & = & \tan (θ_{2} - θ_{1}) \\ = & \frac{\tan θ_{2} - \tan θ_{1}}{1 + \tan θ_{1} \tan θ_{2}} \\ = & \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}} \end{matrix}

Example 11例11

Investigating a Guy-wire Problem支線の問題を調べる

For a climbing wall, a guy-wire $R$ is attached 47 feet high on a vertical pole. Added support is provided by another guy-wire $S$ attached 40 feet above ground on the same pole. If the wires are attached to the ground 50 feet from the pole, find the angle $α$ between the wires. See Figure 8.

クライミングウォールのために、縦の柱の高さ47フィートのところに支線 $R$ が張られている。同じ柱の地上40フィートのところに張られた別の支線 $S$ が、補強を加えている。この線が柱から50フィート離れた地面に張られているとき、この二本の線のあいだの角 $α$ を求めよ。図8を見よ。

Two right triangles. Both share the same base, 50 feet. The first has a height of 40 ft and hypotenuse S. The second has height 47 ft and hypotenuse R. The height sides of the triangles are overlapping. There is a B degree angle between R and the base, and an a degree angle between the two hypotenuses within the B degree angle.

Solution 解答

Let’s first summarize the information we can gather from the diagram. As only the sides adjacent to the right angle are known, we can use the tangent function. Notice that $\tan β = \frac{47}{50},$ and $\tan (β - α) = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} .$ We can then use difference formula for tangent.

まず、この図から集められる情報をまとめよう。直角を挟む辺しか分かっていないので、正接関数が使える。 $\tan β = \frac{47}{50}$ かつ $\tan (β - α) = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ であることに注目しよう。そして正接の差の公式が使える。

\tan (β - α) = \frac{\tan β - \tan α}{1 + \tan β \tan α}

Now, substituting the values we know into the formula, we have

そこで、分かっている値をこの公式に代入すると、次が得られる。

\begin{matrix} \frac{4}{5} & = & \frac{\frac{47}{50} - \tan α}{1 + \frac{47}{50} \tan α} \\ 4 (1 + \frac{47}{50} \tan α) & = & 5 (\frac{47}{50} - \tan α) \end{matrix}

Use the distributive property, and then simplify the functions.

分配法則を使い、それから関数を簡単にする。

\begin{matrix} 4 (1) + 4 (\frac{47}{50}) \tan α & = & 5 (\frac{47}{50}) - 5 \tan α \\ 4 + 3.76 \tan α & = & 4.7 - 5 \tan α \\ 5 \tan α + 3.76 \tan α & = & 0.7 \\ 8.76 \tan α & = & 0.7 \\ \tan α & \approx & 0.07991 \\ \tan^{- 1} (0.07991) & \approx & .079741 \end{matrix}

Now we can calculate the angle in degrees.

これでこの角を度で計算できる。

α \approx 0.079741 (\frac{180}{π}) \approx 4.57°

Analysis 考察

Occasionally, when an application appears that includes a right triangle, we may think that solving is a matter of applying the Pythagorean Theorem. That may be partially true, but it depends on what the problem is asking and what information is given.

直角三角形を含む応用が出てくると、解くのはピタゴラスの定理を当てはめるだけだと思うことがある。それは半ば正しいが、問題が何を問うているか、どんな情報が与えられているかに依る。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with sum and difference identities.

加法定理についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Sum and Difference Identities for Cosine• Sum and Difference Identities for Sine• Sum and Difference Identities for Tangent

・余弦の加法定理・正弦の加法定理・正接の加法定理

Verbal言葉で答える問題

1. Explain the basis for the cofunction identities and when they apply.

1. 余関数の等式の根拠と、それが当てはまる場合を説明せよ。

2. Is there only one way to evaluate $\cos (\frac{5 π}{4}) ?$ Explain how to set up the solution in two different ways, and then compute to make sure they give the same answer.

2. $\cos (\frac{5 π}{4}) ?$ の値を求めるしかたは一つだけか。解き方を二通り立てて説明し、計算して同じ答えになるのを確かめよ。

3. Explain to someone who has forgotten the even-odd properties of sinusoidal functions how the addition and subtraction formulas can determine this characteristic for $f (x) = \sin (x)$ and $g (x) = \cos (x) .$ (Hint: $0 - x = - x$ )

3. 正弦曲線状の関数の偶奇の性質を忘れた人に、加法と減法の公式が $f (x) = \sin (x)$ と $g (x) = \cos (x)$ についてこの性質をどう決められるかを説明せよ。(ヒント: $0 - x = - x$ )

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the exact value.

次の各問について、厳密な値を求めよ。

4. $\cos (\frac{7 π}{12})$

5. $\cos (\frac{π}{12})$

6. $\sin (\frac{5 π}{12})$

7. $\sin (\frac{11 π}{12})$

8. $\tan (- \frac{π}{12})$

9. $\tan (\frac{19 π}{12})$

For the following exercises, rewrite in terms of $\sin x$ and $\cos x .$

次の各問について、 $\sin x$ と $\cos x$ で書き直せ。

10. $\sin (x + \frac{11 π}{6})$

11. $\sin (x - \frac{3 π}{4})$

12. $\cos (x - \frac{5 π}{6})$

13. $\cos (x + \frac{2 π}{3})$

For the following exercises, simplify the given expression.

次の各問について、与えられた式を簡単にせよ。

14. $\csc (\frac{π}{2} - t)$

15. $\sec (\frac{π}{2} - θ)$

16. $\cot (\frac{π}{2} - x)$

17. $\tan (\frac{π}{2} - x)$

18. $\sin (2 x) \cos (5 x) - \sin (5 x) \cos (2 x)$

19. $\frac{\tan (\frac{3}{2} x) - \tan (\frac{7}{5} x)}{1 + \tan (\frac{3}{2} x) \tan (\frac{7}{5} x)}$

For the following exercises, find the requested information.

次の各問について、求められた情報を求めよ。

20. Given that $\sin a = \frac{2}{3}$ and $\cos b = - \frac{1}{4},$ with $a$ and $b$ both in the interval $[\frac{π}{2}, π),$ find $\sin (a + b)$ and $\cos (a - b) .$

20. $\sin a = \frac{2}{3}$ かつ $\cos b = - \frac{1}{4}$ で、 $a$ と $b$ がどちらも区間 $[\frac{π}{2}, π)$ にあるとき、 $\sin (a + b)$ と $\cos (a - b)$ を求めよ。

21. Given that $\sin a = \frac{4}{5},$ and $\cos b = \frac{1}{3},$ with $a$ and $b$ both in the interval $[0, \frac{π}{2}),$ find $\sin (a - b)$ and $\cos (a + b) .$

21. $\sin a = \frac{4}{5}$ かつ $\cos b = \frac{1}{3}$ で、 $a$ と $b$ がどちらも区間 $[0, \frac{π}{2})$ にあるとき、 $\sin (a - b)$ と $\cos (a + b)$ を求めよ。

For the following exercises, find the exact value of each expression.

次の各問について、各式の厳密な値を求めよ。

22. $\sin (\cos^{- 1} (0) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

23. $\cos (\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

24. $\tan (\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, simplify the expression, and then graph both expressions as functions to verify the graphs are identical. Confirm your answer using a graphing calculator.

次の各問について、式を簡単にし、両方の式を関数としてグラフに描いて、グラフが同じであることを確かめよ。グラフ電卓で答えを裏づけよ。

25. $\cos (\frac{π}{2} - x)$

26. $\sin (π - x)$

27. $\tan (\frac{π}{3} + x)$

28. $\sin (\frac{π}{3} + x)$

29. $\tan (\frac{π}{4} - x)$

30. $\cos (\frac{7 π}{6} + x)$

31. $\sin (\frac{π}{4} + x)$

32. $\cos (\frac{5 π}{4} + x)$

For the following exercises, use a graph to determine whether the functions are the same or different. If they are the same, show why. If they are different, replace the second function with one that is identical to the first. (Hint: think $2 x = x + x .$ )

次の各問について、グラフを使って、二つの関数が同じか違うかを判定せよ。同じなら、その理由を示せ。違うなら、二つ目の関数を一つ目と同じものに置き換えよ。(ヒント: $2 x = x + x$ を考えよ。)

33. $f (x) = \sin (4 x) - \sin (3 x) \cos x, g (x) = \sin x \cos (3 x)$

34. $f (x) = \cos (4 x) + \sin x \sin (3 x), g (x) = - \cos x \cos (3 x)$

35. $f (x) = \sin (3 x) \cos (6 x), g (x) = - \sin (3 x) \cos (6 x)$

36. $f (x) = \sin (4 x), g (x) = \sin (5 x) \cos x - \cos (5 x) \sin x$

37. $f (x) = \sin (2 x), g (x) = 2 \sin x \cos x$

38. $f (θ) = \cos (2 θ), g (θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

39. $f (θ) = \tan (2 θ), g (θ) = \frac{\tan θ}{1 + \tan^{2} θ}$

40. $f (x) = \sin (3 x) \sin x, g (x) = \sin^{2} (2 x) \cos^{2} x - \cos^{2} (2 x) \sin^{2} x$

41. $f (x) = \tan (- x), g (x) = \frac{\tan x - \tan (2 x)}{1 - \tan x \tan (2 x)}$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, find the exact value algebraically, and then confirm the answer with a calculator to the fourth decimal point.

次の各問について、厳密な値を代数的に求め、そして電卓で小数第四位まで答えを裏づけよ。

42. $\sin (75°)$

43. $\sin (195°)$

44. $\cos (165°)$

45. $\cos (345°)$

46. $\tan (−15°)$

Extensions発展問題

For the following exercises, prove the identities provided.

次の各問について、与えられた等式を証明せよ。

47. $\tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}$

48. $\frac{\tan (a + b)}{\tan (a - b)} = \frac{\sin a \cos a + \sin b \cos b}{\sin a \cos a - \sin b \cos b}$

49. $\frac{\cos (a + b)}{\cos a \cos b} = 1 - \tan a \tan b$

50. $\cos (x + y) \cos (x - y) = \cos^{2} x - \sin^{2} y$

51. $\frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \frac{\sin h}{h}$

For the following exercises, prove or disprove the statements.

次の各問について、その主張を証明するか、反証せよ。

52. $\tan (u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

53. $\tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v}$

54. $\frac{\tan (x + y)}{1 + \tan x \tan x} = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan^{2} x \tan^{2} y}$

55. If $α, β,$ and $γ$ are angles in the same triangle, then prove or disprove $\sin (α + β) = \sin γ .$

55. $α, β$ と $γ$ が同じ三角形の角のとき、 $\sin (α + β) = \sin γ$ を証明するか反証せよ。

56. If $α, β,$ and $y$ are angles in the same triangle, then prove or disprove $\tan α + \tan β + \tan γ = \tan α \tan β \tan γ$

56. $α, β$ と $y$ が同じ三角形の角のとき、 $\tan α + \tan β + \tan γ = \tan α \tan β \tan γ$ を証明するか反証せよ。