第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

• An angle is formed from the union of two rays, by keeping the initial side fixed and rotating the terminal side. The amount of rotation determines the measure of the angle.• An angle is in standard position if its vertex is at the origin and its initial side lies along the positive x-axis. A positive angle is measured counterclockwise from the initial side and a negative angle is measured clockwise.• To draw an angle in standard position, draw the initial side along the positive x-axis and then place the terminal side according to the fraction of a full rotation the angle represents. See Example 1.• In addition to degrees, the measure of an angle can be described in radians. See Example 2.• To convert between degrees and radians, use the proportion $\frac{\theta }{180}=\frac{{\theta }_R}{\pi }.$ See Example 3 and Example 4.• Two angles that have the same terminal side are called coterminal angles.• We can find coterminal angles by adding or subtracting $\mathrm{360°}$ or $2\pi .$ See Example 5 and Example 6.• Coterminal angles can be found using radians just as they are for degrees. See Example 7.• The length of a circular arc is a fraction of the circumference of the entire circle. See Example 8.• The area of sector is a fraction of the area of the entire circle. See Example 9.• An object moving in a circular path has both linear and angular speed.• The angular speed of an object traveling in a circular path is the measure of the angle through which it turns in a unit of time. See Example 10.• The linear speed of an object traveling along a circular path is the distance it travels in a unit of time. See Example 11.

・角は、始線を固定して動径を回すことで、二つの半直線の合併としてできる。回転の量が角の大きさを決める。・頂点が原点にあり、始線が正の x軸に沿っているとき、その角は標準位置にある。正の角は始線から反時計回りに、負の角は時計回りに測る。・標準位置に角を描くには、正の x軸に沿って始線を描き、その角が1回転の何分のいくつに当たるかに従って動径を置く。例1を見よ。・度に加えて、角の大きさはラジアンでも述べられる。例2を見よ。・度とラジアンを相互に換算するには、比例式 $\frac{\theta }{180}=\frac{{\theta }_R}{\pi }$ を使う。例3と例4を見よ。・動径が同じである二つの角を、動径が一致する角という。・$\mathrm{360°}$ や $2\pi$ を足したり引いたりすれば、動径が一致する角が求められる。例5と例6を見よ。・動径が一致する角は、度と同じくラジアンでも求められる。例7を見よ。・円弧の長さは、円全体の周の一部である。例8を見よ。・扇形の面積は、円全体の面積の一部である。例9を見よ。・円の道筋を動く物には、線速度と角速度の両方がある。・円の道筋を進む物の角速度とは、単位時間に回る角の大きさである。例10を見よ。・円の道筋に沿って進む物の線速度とは、単位時間に進む距離である。例11を見よ。

• We can define trigonometric functions as ratios of the side lengths of a right triangle. See Example 1.• The same side lengths can be used to evaluate the trigonometric functions of either acute angle in a right triangle. See Example 2.• We can evaluate the trigonometric functions of special angles, knowing the side lengths of the triangles in which they occur. See Example 3.• Any two complementary angles could be the two acute angles of a right triangle.• If two angles are complementary, the cofunction identities state that the sine of one equals the cosine of the other and vice versa. See Example 4.• We can use trigonometric functions of an angle to find unknown side lengths.• Select the trigonometric function representing the ratio of the unknown side to the known side. See Example 5.• Right-triangle trigonometry facilitates the measurement of inaccessible heights and distances.• The unknown height or distance can be found by creating a right triangle in which the unknown height or distance is one of the sides, and another side and angle are known. See Example 6.

・三角関数は、直角三角形の辺の長さの比として定められる。例1を見よ。・同じ辺の長さを使って、直角三角形のどちらの鋭角の三角関数の値も求められる。例2を見よ。・特別な角が現れる三角形の辺の長さを知っていれば、その三角関数の値が求められる。例3を見よ。・互いに余角である二つの角は、どれも直角三角形の二つの鋭角になりうる。・二つの角が互いに余角なら、余関数の等式は、一方の正弦がもう一方の余弦に等しく、その逆も成り立つと述べる。例4を見よ。・角の三角関数を使えば、未知の辺の長さが求められる。・未知の辺と分かっている辺の比を表す三角関数を選ぶ。例5を見よ。・直角三角形の三角法のおかげで、近づけない高さや距離が測れる。・未知の高さや距離を一辺とし、別の一辺と一つの角が分かっている直角三角形を作れば、その未知の高さや距離が求められる。例6を見よ。

• Finding the function values for the sine and cosine begins with drawing a unit circle, which is centered at the origin and has a radius of 1 unit.• Using the unit circle, the sine of an angle $t$ equals the y-value of the endpoint on the unit circle of an arc of length $t$ whereas the cosine of an angle $t$ equals the x-value of the endpoint. See Example 1.• The sine and cosine values are most directly determined when the corresponding point on the unit circle falls on an axis. See Example 2.• When the sine or cosine is known, we can use the Pythagorean Identity to find the other. The Pythagorean Identity is also useful for determining the sines and cosines of special angles. See Example 3.• Calculators and graphing software are helpful for finding sines and cosines if the proper procedure for entering information is known. See Example 4.• The domain of the sine and cosine functions is all real numbers.• The range of both the sine and cosine functions is $[\mathrm{-1},1].$• The sine and cosine of an angle have the same absolute value as the sine and cosine of its reference angle.• The signs of the sine and cosine are determined from the x- and y-values in the quadrant of the original angle.• An angle’s reference angle is the size angle, $t,$ formed by the terminal side of the angle $t$ and the horizontal axis. See Example 5.• Reference angles can be used to find the sine and cosine of the original angle. See Example 6.• Reference angles can also be used to find the coordinates of a point on a circle. See Example 7.

・正弦と余弦の関数の値を求めるには、まず原点を中心とする半径1単位の単位円を描く。・単位円を使うと、角 $t$ の正弦は長さ $t$ の弧の単位円上の端点の y の値に等しく、角 $t$ の余弦はその端点の x の値に等しい。例1を見よ。・単位円上の対応する点が座標軸の上にくるとき、正弦と余弦の値が最も直接に決まる。例2を見よ。・正弦か余弦が分かっているとき、ピタゴラスの等式を使えばもう一方が求められる。ピタゴラスの等式は、特別な角の正弦と余弦を決めるのにも役立つ。例3を見よ。・情報を入れる正しい手順が分かっていれば、電卓やグラフ描画の算譜が正弦と余弦を求めるのに役立つ。例4を見よ。・正弦関数と余弦関数の定義域は実数全体である。・正弦関数と余弦関数の値域はどちらも $[\mathrm{-1},1]$ である。・角の正弦と余弦は、その基準角の正弦と余弦と絶対値が同じである。・正弦と余弦の符号は、元の角の象限の x と y の値から決まる。・角の基準角とは、その角 $t$ の動径と横軸がなす角 $t$ の大きさである。例5を見よ。・基準角を使えば、元の角の正弦と余弦が求められる。例6を見よ。・基準角は、円上の点の座標を求めるのにも使える。例7を見よ。

• The tangent of an angle is the ratio of the y-value to the x-value of the corresponding point on the unit circle.• The secant, cotangent, and cosecant are all reciprocals of other functions. The secant is the reciprocal of the cosine function, the cotangent is the reciprocal of the tangent function, and the cosecant is the reciprocal of the sine function.• The six trigonometric functions can be found from a point on the unit circle. See Example 1.• Trigonometric functions can also be found from an angle. See Example 2.• Trigonometric functions of angles outside the first quadrant can be determined using reference angles. See Example 3.• A function is said to be even if $f(-x)=f(x)$ and odd if $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ for all x in the domain of f.• Cosine and secant are even; sine, tangent, cosecant, and cotangent are odd.• Even and odd properties can be used to evaluate trigonometric functions. See Example 4.• The Pythagorean Identity makes it possible to find a cosine from a sine or a sine from a cosine.• Identities can be used to evaluate trigonometric functions. See Example 5 and Example 6. • Fundamental identities such as the Pythagorean Identity can be manipulated algebraically to produce new identities. See Example 7.• The trigonometric functions repeat at regular intervals.• The period $P$ of a repeating function $f$ is the smallest interval such that $f(x+P)=f(x)$ for any value of $x.$• The values of trigonometric functions can be found by mathematical analysis. See Example 8 and Example 9.• To evaluate trigonometric functions of other angles, we can use a calculator or computer software. See Example 10.

・角の正接とは、単位円上の対応する点の y の値と x の値の比である。・正割・余接・余割は、どれもほかの関数の逆数である。正割は余弦関数の逆数、余接は正接関数の逆数、余割は正弦関数の逆数である。・六つの三角関数は、単位円上の点から求められる。例1を見よ。・三角関数は角からも求められる。例2を見よ。・第1象限の外の角の三角関数は、基準角を使って決められる。例3を見よ。・f の定義域のすべての x について $f(-x)=f(x)$ なら偶関数、$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ なら奇関数という。・余弦と正割は偶関数である。正弦・正接・余割・余接は奇関数である。・偶奇の性質を使えば、三角関数の値が求められる。例4を見よ。・ピタゴラスの等式のおかげで、正弦から余弦を、余弦から正弦を求められる。・等式を使えば三角関数の値が求められる。例5と例6を見よ。・ピタゴラスの等式のような基本恒等式を代数的に変形すれば、新しい等式が作れる。例7を見よ。・三角関数は決まった間隔で繰り返す。・繰り返す関数 $f$ の周期 $P$ とは、$x$ のどの値についても $f(x+P)=f(x)$ となる最も短い間隔である。・三角関数の値は、数学の分析で求められる。例8と例9を見よ。・ほかの角の三角関数の値を求めるには、電卓や計算機の算譜が使える。例10を見よ。