第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

Finding Trigonometric Functions Using the Unit Circle単位円を使って三角関数を求める

We have already defined the trigonometric functions in terms of right triangles. In this section, we will redefine them in terms of the unit circle. Recall that a unit circle is a circle centered at the origin with radius 1, as shown in Figure 2. The angle (in radians) that $t$ intercepts forms an arc of length $s .$ Using the formula $s = r t,$ and knowing that $r = 1,$ we see that for a unit circle, $s = t .$

三角関数はすでに直角三角形で定めた。この節では、それを単位円で定め直す。単位円とは、図2に示すとおり、原点を中心とする半径1の円であることを思い出そう。 $t$ が切りとる角(ラジアン)は、長さ $s$ の弧をなす。公式 $s = r t$ を使い、 $r = 1$ であることを知っていれば、単位円では $s = t$ だと分かる。

The x- and y-axes divide the coordinate plane into four quarters called quadrants. We label these quadrants to mimic the direction a positive angle would sweep. The four quadrants are labeled I, II, III, and IV.

x軸と y軸は座標平面を四つの部分に分ける。これを象限という。正の角が掃く向きに合わせて、この象限に名前を付ける。四つの象限を I、II、III、IV と呼ぶ。

For any angle $t,$ we can label the intersection of the terminal side and the unit circle as by its coordinates, $(x, y) .$ The coordinates $x$ and $y$ will be the outputs of the trigonometric functions $f (t) = \cos t$ and $f (t) = \sin t,$ respectively. This means $x = cos t$ and $y = sin t .$

どの角 $t$ についても、動径と単位円の交点をその座標 $(x, y)$ で表せる。座標 $x$ と $y$ が、それぞれ三角関数 $f (t) = \cos t$ と $f (t) = \sin t$ の出力になる。つまり $x = cos t$ かつ $y = sin t$ である。

Graph of a circle with angle t, radius of 1, and an arc created by the angle with length s. The terminal side of the angle intersects the circle at the point (x,y). — Figure 2 Unit circle where the central angle is $t$ radians図2 中心角が $t$ ラジアンの単位円

Unit Circle 単位円

A unit circle has a center at $(0, 0)$ and radius $1.$ In a unit circle, the length of the intercepted arc is equal to the radian measure of the central angle $t .$

単位円の中心は $(0, 0)$ 、半径は $1.$ である。単位円では、切りとられた弧の長さが中心角 $t$ のラジアンでの大きさに等しい。

Let $(x, y)$ be the endpoint on the unit circle of an arc of arc length $s .$ The $(x, y)$ coordinates of this point can be described as functions of the angle.

$(x, y)$ を、弧長 $s$ の弧の単位円上の端点とする。この点の $(x, y)$ 座標は、角の関数として述べられる。

Defining Sine and Cosine Functions from the Unit Circle単位円から正弦関数と余弦関数を定める

The sine function relates a real number $t$ to the y-coordinate of the point where the corresponding angle intercepts the unit circle. More precisely, the sine of an angle $t$ equals the y-value of the endpoint on the unit circle of an arc of length $t .$ In Figure 2, the sine is equal to $y .$ Like all functions, the sine function has an input and an output. Its input is the measure of the angle; its output is the y-coordinate of the corresponding point on the unit circle.

正弦関数は、実数 $t$ を、対応する角が単位円を切る点の y座標に結びつける。より精しく言えば、角 $t$ の正弦は、長さ $t$ の弧の単位円上の端点の y の値に等しい。図2では、正弦は $y$ に等しい。ほかの関数と同じく、正弦関数にも入力と出力がある。その入力は角の大きさ、出力は単位円上の対応する点の y座標である。

The cosine function of an angle $t$ equals the x-value of the endpoint on the unit circle of an arc of length $t .$ In Figure 3, the cosine is equal to $x .$

角 $t$ の余弦関数は、長さ $t$ の弧の単位円上の端点の x の値に等しい。図3では、余弦は $x$ に等しい。

Illustration of an angle t, with terminal side length equal to 1, and an arc created by angle with length t. The terminal side of the angle intersects the circle at the point (x,y), which is equivalent to (cos t, sin t).

Because it is understood that sine and cosine are functions, we do not always need to write them with parentheses: $\sin t$ is the same as $\sin (t)$ and $\cos t$ is the same as $\cos (t) .$ Likewise, $\cos^{2} t$ is a commonly used shorthand notation for ${(\cos (t))}^{2} .$ Be aware that many calculators and computers do not recognize the shorthand notation. When in doubt, use the extra parentheses when entering calculations into a calculator or computer.

正弦と余弦が関数であることは分かっているので、いつも括弧を付けて書く必要は無い。 $\sin t$ は $\sin (t)$ と同じであり、 $\cos t$ は $\cos (t)$ と同じである。同じように、 $\cos^{2} t$ は ${(\cos (t))}^{2}$ のよく使われる略記である。多くの電卓や計算機はこの略記を受けつけないことに注意せよ。迷ったら、電卓や計算機に計算を入れるときは括弧を余分に付けること。

Sine and Cosine Functions 正弦関数と余弦関数

If $t$ is a real number and a point $(x, y)$ on the unit circle corresponds to a central angle $t,$ then

$t$ が実数で、単位円上の点 $(x, y)$ が中心角 $t$ に対応するとき、次が成り立つ。

\cos t = x

\sin t = y

How To 手順

Given a point P $(x, y)$ on the unit circle corresponding to an angle of $t,$ find the sine and cosine.

角 $t$ に対応する単位円上の点 P $(x, y)$ が与えられたとき、正弦と余弦を求める。

1. The sine of $t$ is equal to the y-coordinate of point $P : sin t = y .$ 2. The cosine of $t$ is equal to the x-coordinate of point $P : cos t = x .$

1. $t$ の正弦は点 $P : sin t = y$ の y座標に等しい。2. $t$ の余弦は点 $P : cos t = x$ の x座標に等しい。

Example 1例1

Finding Function Values for Sine and Cosine正弦と余弦の関数の値を求める

Point $P$ is a point on the unit circle corresponding to an angle of $t,$ as shown in Figure 4. Find $\cos (t)$ and $sin (t) .$

図4に示すとおり、点 $P$ は角 $t$ に対応する単位円上の点である。 $\cos (t)$ と $sin (t)$ を求めよ。

Graph of a circle with angle t, radius of 1, and a terminal side that intersects the circle at the point (1/2, square root of 3 over 2).

Solution 解答

We know that $\cos t$ is the x-coordinate of the corresponding point on the unit circle and $\sin t$ is the y-coordinate of the corresponding point on the unit circle. So:

$\cos t$ が単位円上の対応する点の x座標、 $\sin t$ が単位円上の対応する点の y座標だと分かっている。よって、

\begin{matrix} x & = \cos t & = \frac{1}{2} \\ y & = \sin t & = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

A certain angle $t$ corresponds to a point on the unit circle at $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ as shown in Figure 5. Find $\cos t$ and $\sin t .$

図5に示すとおり、ある角 $t$ が単位円上の点 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ に対応する。 $\cos t$ と $\sin t$ を求めよ。

Graph of a circle with angle t, radius of 1, and a terminal side that intersects the circle at the point (negative square root of 2 over 2, square root of 2 over 2).

Finding Sines and Cosines of Angles on an Axis座標軸上の角の正弦と余弦を求める

For quadrantral angles, the corresponding point on the unit circle falls on the x- or y-axis. In that case, we can easily calculate cosine and sine from the values of $x$ and $y .$

象限角では、単位円上の対応する点が x軸か y軸の上にくる。その場合、 $x$ と $y$ の値から余弦と正弦が簡単に計算できる。

Example 2例2

Calculating Sines and Cosines along an Axis座標軸に沿った正弦と余弦を計算する

Find $cos (90°)$ and $sin (90°) .$

$cos (90°)$ と $sin (90°)$ を求めよ。

Solution 解答

Moving $90°$ counterclockwise around the unit circle from the positive x-axis brings us to the top of the circle, where the $(x, y)$ coordinates are $(0, 1),$ as shown in Figure 6.

正の x軸から単位円を反時計回りに $90°$ 動くと、図6に示すとおり $(x, y)$ 座標が $(0, 1)$ である円の上端にくる。

Graph of a circle with angle t, radius of 1, and a terminal side that intersects the circle at the point (0,1).

We can then use our definitions of cosine and sine.

そして余弦と正弦の定義が使える。

\begin{matrix} x & = cos t & = \cos (90°) & = 0 \\ y & = sin t & = \sin (90°) & = 1 \end{matrix}

The cosine of $90°$ is 0; the sine of $90°$ is 1.

$90°$ の余弦は0、 $90°$ の正弦は1である。

Try It #2やってみよう2

Find cosine and sine of the angle $π .$

角 $π$ の余弦と正弦を求めよ。

The Pythagorean Identityピタゴラスの等式

Now that we can define sine and cosine, we will learn how they relate to each other and the unit circle. Recall that the equation for the unit circle is $x^{2} + y^{2} = 1.$ Because $x = \cos t$ and $y = \sin t,$ we can substitute for $x$ and $y$ to get $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1.$ This equation, $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1,$ is known as the Pythagorean Identity. See Figure 7.

正弦と余弦を定められるようになったので、これらが互いに、また単位円とどう関わるかを学ぼう。単位円の式が $x^{2} + y^{2} = 1.$ であることを思い出そう。 $x = \cos t$ かつ $y = \sin t$ なので、 $x$ と $y$ に代入すると $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1.$ が得られる。この式 $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ をピタゴラスの等式という。図7を見よ。

Graph of an angle t, with a point (x,y) on the unit circle. And equation showing the equivalence of 1, x^2 + y^2, and cos^2 t + sin^2 t.

We can use the Pythagorean Identity to find the cosine of an angle if we know the sine, or vice versa. However, because the equation yields two solutions, we need additional knowledge of the angle to choose the solution with the correct sign. If we know the quadrant where the angle is, we can easily choose the correct solution.

ピタゴラスの等式を使えば、正弦が分かっているとき角の余弦が求められ、その逆もできる。だがこの式は解を二つ生むので、正しい符号の解を選ぶには角についての知識がもう少し要る。角がどの象限にあるかが分かっていれば、正しい解を簡単に選べる。

Pythagorean Identity 三角関数の基本恒等式

The Pythagorean Identity states that, for any real number $t,$

ピタゴラスの等式は、任意の実数 $t$ について次が成り立つと述べる。

\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1

How To 手順

Given the sine of some angle $t$ and its quadrant location, find the cosine of $t .$

ある角 $t$ の正弦と、その角がどの象限にあるかが与えられたとき、 $t$ の余弦を求める。

1. Substitute the known value of $\sin t$ into the Pythagorean Identity.2. Solve for $\cos t .$ 3. Choose the solution with the appropriate sign for the x-values in the quadrant where $t$ is located.

1. 分かっている $\sin t$ の値をピタゴラスの等式に代入する。2. $\cos t$ について解く。3. $t$ がある象限の x の値にふさわしい符号の解を選ぶ。

Example 3例3

Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine正弦から余弦を、あるいは余弦から正弦を求める

If $\sin (t) = \frac{3}{7}$ and $t$ is in the second quadrant, find $\cos (t) .$

$\sin (t) = \frac{3}{7}$ で $t$ が第2象限にあるとき、 $\cos (t)$ を求めよ。

Solution 解答

If we drop a vertical line from the point on the unit circle corresponding to $t,$ we create a right triangle, from which we can see that the Pythagorean Identity is simply one case of the Pythagorean Theorem. See Figure 8.

$t$ に対応する単位円上の点から縦の線を下ろすと直角三角形ができる。そこから、ピタゴラスの等式がピタゴラスの定理の一つの場合にすぎないと分かる。図8を見よ。

Graph of a unit circle with an angle that intersects the circle at a point with the y-coordinate equal to 3/7.

Substituting the known value for sine into the Pythagorean Identity,

分かっている正弦の値をピタゴラスの等式に代入すると、

\begin{matrix} {cos}^{2} (t) + \sin^{2} (t) & = & 1 \\ {cos}^{2} (t) + \frac{9}{49} & = & 1 \\ {cos}^{2} (t) & = & \frac{40}{49} \\ cos (t) & = & \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7} = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{7} \end{matrix}

Because the angle is in the second quadrant, we know the x-value is a negative real number, so the cosine is also negative.

この角は第2象限にあるので、x の値が負の実数だと分かる。よって余弦も負である。

cos (t) = - \frac{2 \sqrt{10}}{7}

Try It #3やってみよう3

If $\cos (t) = \frac{24}{25}$ and $t$ is in the fourth quadrant, find $sin (t) .$

$\cos (t) = \frac{24}{25}$ で $t$ が第4象限にあるとき、 $sin (t)$ を求めよ。