第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

Using Reference Angles基準角を使う

Now let’s take a moment to reconsider the Ferris wheel introduced at the beginning of this section. Suppose a rider snaps a photograph while stopped twenty feet above ground level. The rider then rotates three-quarters of the way around the circle. What is the rider’s new elevation? To answer questions such as this one, we need to evaluate the sine or cosine functions at angles that are greater than 90 degrees or at a negative angle. Reference angles make it possible to evaluate trigonometric functions for angles outside the first quadrant. They can also be used to find $(x, y)$ coordinates for those angles. We will use the reference angle of the angle of rotation combined with the quadrant in which the terminal side of the angle lies.

ここで少し時間をとって、この節の初めに出た観覧車をもう一度考えよう。ある乗客が、地上20フィートで止まっているあいだに写真を撮ったとする。その乗客はそれから円を4分の3だけ回る。この乗客の新しい高さはいくらか。このような問いに答えるには、90度より大きい角や負の角で、正弦関数や余弦関数の値を求める必要がある。基準角のおかげで、第1象限の外の角についても三角関数の値が求められる。その角の $(x, y)$ 座標を求めるのにも使える。回転の角の基準角と、その角の動径がある象限を合わせて使う。

Using Reference Angles to Evaluate Trigonometric Functions基準角を使って三角関数の値を求める

We can find the cosine and sine of any angle in any quadrant if we know the cosine or sine of its reference angle. The absolute values of the cosine and sine of an angle are the same as those of the reference angle. The sign depends on the quadrant of the original angle. The cosine will be positive or negative depending on the sign of the x-values in that quadrant. The sine will be positive or negative depending on the sign of the y-values in that quadrant.

基準角の余弦か正弦が分かっていれば、どの象限のどの角の余弦と正弦も求められる。角の余弦と正弦の絶対値は、その基準角のそれと同じである。符号は元の角の象限に依る。余弦は、その象限の x の値の符号に応じて正か負になる。正弦は、その象限の y の値の符号に応じて正か負になる。

Using Reference Angles to Find Cosine and Sine 基準角を使った余弦と正弦の求め方

Angles have cosines and sines with the same absolute value as their reference angles. The sign (positive or negative) can be determined from the quadrant of the angle.

角の余弦と正弦は、その基準角のそれと絶対値が同じである。符号(正か負か)は、その角の象限から決まる。

How To 手順

Given an angle in standard position, find the reference angle, and the cosine and sine of the original angle.

標準位置の角が与えられたとき、基準角と、元の角の余弦と正弦を求める。

1. Measure the angle between the terminal side of the given angle and the horizontal axis. That is the reference angle.2. Determine the values of the cosine and sine of the reference angle.3. Give the cosine the same sign as the x-values in the quadrant of the original angle.4. Give the sine the same sign as the y-values in the quadrant of the original angle.

1. 与えられた角の動径と横軸のあいだの角を測る。それが基準角である。2. 基準角の余弦と正弦の値を決める。3. 余弦には、元の角の象限の x の値と同じ符号を付ける。4. 正弦には、元の角の象限の y の値と同じ符号を付ける。

Example 6例6

Using Reference Angles to Find Sine and Cosine基準角を使って正弦と余弦を求める

ⓐUsing a reference angle, find the exact value of $\cos (150°)$ and $sin (150°) .$ ⓑUsing the reference angle, find $\cos \frac{5 π}{4}$ and $\sin \frac{5 π}{4} .$

ⓐ基準角を使って、 $\cos (150°)$ と $sin (150°)$ の厳密な値を求めよ。ⓑ基準角を使って、 $\cos \frac{5 π}{4}$ と $\sin \frac{5 π}{4}$ を求めよ。

Solution 解答

ⓐ $150°$ is located in the second quadrant. The angle it makes with the x-axis is $180° - 150° = 30°,$ so the reference angle is $30° .$ This tells us that $150°$ has the same sine and cosine values as $30°,$ except for the sign. $\begin{matrix} \cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} & and & \sin (30°) = \frac{1}{2} \end{matrix}$ Since $150°$ is in the second quadrant, the x-coordinate of the point on the circle is negative, so the cosine value is negative. The y-coordinate is positive, so the sine value is positive. $\begin{matrix} \cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2} & and & \sin (150°) = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ⓑ $\frac{5 π}{4}$ is in the third quadrant. Its reference angle is $\frac{5 π}{4} - π = \frac{π}{4} .$ The cosine and sine of $\frac{π}{4}$ are both $\frac{\sqrt{2}}{2} .$ In the third quadrant, both $x$ and $y$ are negative, so: $\begin{matrix} \cos \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} & and & \sin \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$

ⓐ $150°$ は第2象限にある。x軸となす角は $180° - 150° = 30°$ なので、基準角は $30°$ である。これは、 $150°$ の正弦と余弦の値が、符号を除いて $30°$ と同じであることを教えている。 $\begin{matrix} \cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} & および & \sin (30°) = \frac{1}{2} \end{matrix}$ 。 $150°$ は第2象限にあるので、円上の点の x座標は負であり、余弦の値は負である。y座標は正なので、正弦の値は正である。 $\begin{matrix} \cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2} & および & \sin (150°) = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ⓑ $\frac{5 π}{4}$ は第3象限にある。その基準角は $\frac{5 π}{4} - π = \frac{π}{4}$ である。 $\frac{π}{4}$ の余弦と正弦はどちらも $\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。第3象限では $x$ も $y$ も負なので、次のようになる。 $\begin{matrix} \cos \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} & および & \sin \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$

Try It #6やってみよう6

ⓐUse the reference angle of $315°$ to find $\cos (315°)$ and $\sin (315°) .$ ⓑUse the reference angle of $- \frac{π}{6}$ to find $\cos (- \frac{π}{6})$ and $\sin (- \frac{π}{6}) .$

ⓐ $315°$ の基準角を使って、 $\cos (315°)$ と $\sin (315°)$ を求めよ。ⓑ $- \frac{π}{6}$ の基準角を使って、 $\cos (- \frac{π}{6})$ と $\sin (- \frac{π}{6})$ を求めよ。

Using Reference Angles to Find Coordinates基準角を使って座標を求める

Now that we have learned how to find the cosine and sine values for special angles in the first quadrant, we can use symmetry and reference angles to fill in cosine and sine values for the rest of the special angles on the unit circle. They are shown in Figure 19. Take time to learn the $(x, y)$ coordinates of all of the major angles in the first quadrant.

第1象限の特別な角の余弦と正弦の値の求め方を学んだので、対称性と基準角を使って、単位円上の残りの特別な角の余弦と正弦の値も埋められる。図19に示す。第1象限の主だった角の $(x, y)$ 座標を覚えるのに時間をかけよう。

Graph of unit circle with angles in degrees, angles in radians, and points along the circle inscribed. — Figure 19 Special angles and coordinates of corresponding points on the unit circle図19 特別な角と、単位円上の対応する点の座標

In addition to learning the values for special angles, we can use reference angles to find $(x, y)$ coordinates of any point on the unit circle, using what we know of reference angles along with the identities

特別な角の値を覚えるのに加えて、基準角について知っていることと次の等式を使えば、単位円上のどの点の $(x, y)$ 座標も求められる。

\begin{matrix} x = cos t \\ y = sin t \end{matrix}

First we find the reference angle corresponding to the given angle. Then we take the sine and cosine values of the reference angle, and give them the signs corresponding to the y- and x-values of the quadrant.

まず、与えられた角に対応する基準角を求める。そして基準角の正弦と余弦の値をとり、その象限の y の値と x の値に対応する符号を付ける。

How To 手順

Given the angle of a point on a circle and the radius of the circle, find the $(x, y)$ coordinates of the point.

円上の点の角と円の半径が与えられたとき、その点の $(x, y)$ 座標を求める。

1. Find the reference angle by measuring the smallest angle to the x-axis.2. Find the cosine and sine of the reference angle.3. Determine the appropriate signs for $x$ and $y$ in the given quadrant.

1. x軸までの最も小さい角を測って、基準角を求める。2. 基準角の余弦と正弦を求める。3. 与えられた象限での $x$ と $y$ のふさわしい符号を決める。

Example 7例7

Using the Unit Circle to Find Coordinates単位円を使って座標を求める

Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of $\frac{7 π}{6} .$

角 $\frac{7 π}{6}$ の単位円上の点の座標を求めよ。

Solution 解答

We know that the angle $\frac{7 π}{6}$ is in the third quadrant.

角 $\frac{7 π}{6}$ が第3象限にあると分かっている。

First, let’s find the reference angle by measuring the angle to the x-axis. To find the reference angle of an angle whose terminal side is in quadrant III, we find the difference of the angle and $π .$

まず、x軸までの角を測って基準角を求めよう。動径が第III象限にある角の基準角を求めるには、その角と $π$ の差をとる。

\frac{7 π}{6} - π = \frac{π}{6}

Next, we will find the cosine and sine of the reference angle.

次に、基準角の余弦と正弦を求める。

\begin{matrix} \cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} & \sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \end{matrix}

We must determine the appropriate signs for x and y in the given quadrant. Because our original angle is in the third quadrant, where both $x$ and $y$ are negative, both cosine and sine are negative.

与えられた象限での x と y のふさわしい符号を決めなければならない。元の角は $x$ も $y$ も負である第3象限にあるので、余弦も正弦も負である。

\begin{matrix} \cos (\frac{7 π}{6}) & = & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin (\frac{7 π}{6}) & = & - \frac{1}{2} \end{matrix}

Now we can calculate the $(x, y)$ coordinates using the identities $x = \cos θ$ and $y = \sin θ .$

これで、等式 $x = \cos θ$ と $y = \sin θ$ を使って $(x, y)$ 座標が計算できる。

The coordinates of the point are $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ on the unit circle.

この点の座標は、単位円上で $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ である。

Try It #7やってみよう7

Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of $\frac{5 π}{3} .$

角 $\frac{5 π}{3}$ の単位円上の点の座標を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with sine and cosine functions.

正弦関数と余弦関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Trigonometric Functions Using the Unit Circle• Sine and Cosine from the Unit• Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Six• Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Four• Trigonometric Functions Using Reference Angles

・単位円を使った三角関数・単位円からの正弦と余弦・単位円と6分のπの倍数からの正弦と余弦・単位円と4分のπの倍数からの正弦と余弦・基準角を使った三角関数

Verbal言葉で答える問題

1. Describe the unit circle.

1. 単位円を述べよ。

2. What do the x- and y-coordinates of the points on the unit circle represent?

2. 単位円上の点の x座標と y座標は何を表すか。

3. Discuss the difference between a coterminal angle and a reference angle.

3. 動径が一致する角と基準角の違いを論じよ。

4. Explain how the cosine of an angle in the second quadrant differs from the cosine of its reference angle in the unit circle.

4. 単位円で、第2象限の角の余弦が、その基準角の余弦とどう違うかを説明せよ。

5. Explain how the sine of an angle in the second quadrant differs from the sine of its reference angle in the unit circle.

5. 単位円で、第2象限の角の正弦が、その基準角の正弦とどう違うかを説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, use the given sign of the sine and cosine functions to find the quadrant in which the terminal point determined by $t$ lies.

次の各問について、与えられた正弦関数と余弦関数の符号を使って、 $t$ が定める終点がどの象限にあるかを求めよ。

6. $sin (t) < 0$ and $cos (t) < 0$

6. $sin (t) < 0$ かつ $cos (t) < 0$

7. $sin (t) > 0$ and $\cos (t) > 0$

7. $sin (t) > 0$ かつ $\cos (t) > 0$

8. $sin (t) > 0$ and $\cos (t) < 0$

8. $sin (t) > 0$ かつ $\cos (t) < 0$

9. $sin (t) < 0$ and $\cos (t) > 0$

9. $sin (t) < 0$ かつ $\cos (t) > 0$

For the following exercises, find the exact value of each trigonometric function.

次の各問について、各三角関数の厳密な値を求めよ。

10. $\sin \frac{π}{2}$

11. $\sin \frac{π}{3}$

12. $\cos \frac{π}{2}$

13. $\cos \frac{π}{3}$

14. $\sin \frac{π}{4}$

15. $\cos \frac{π}{4}$

16. $\sin \frac{π}{6}$

17. $\sin π$

18. $\sin \frac{3 π}{2}$

19. $\cos π$

20. $\cos 0$

21. $\cos \frac{π}{6}$

22. $\sin 0$

Numeric数値の問題

For the following exercises, state the reference angle for the given angle.

次の各問について、与えられた角の基準角を答えよ。

23. $240°$

24. $−170°$

25. $100°$

26. $−315°$

27. $135°$

28. $\frac{5 π}{4}$

29. $\frac{2 π}{3}$

30. $\frac{5 π}{6}$

31. $\frac{- 11 π}{3}$

32. $\frac{−7 π}{4}$

33. $\frac{- π}{8}$

For the following exercises, find the reference angle, the quadrant of the terminal side, and the sine and cosine of each angle. If the angle is not one of the angles on the unit circle, use a calculator and round to three decimal places.

次の各問について、基準角、動径のある象限、各角の正弦と余弦を求めよ。単位円上の角の一つでないなら、電卓を使って小数第三位まで丸めよ。

34. $225°$

35. $300°$

36. $320°$

37. $135°$

38. $210°$

39. $120°$

40. $250°$

41. $150°$

42. $\frac{5 π}{4}$

43. $\frac{7 π}{6}$

44. $\frac{5 π}{3}$

45. $\frac{3 π}{4}$

46. $\frac{4 π}{3}$

47. $\frac{2 π}{3}$

48. $\frac{5 π}{6}$

49. $\frac{7 π}{4}$

For the following exercises, find the requested value.

次の各問について、求められた値を求めよ。

50. If $cos (t) = \frac{1}{7}$ and $t$ is in the fourth quadrant, find $sin (t) .$

50. $cos (t) = \frac{1}{7}$ で $t$ が第4象限にあるとき、 $sin (t)$ を求めよ。

51. If $cos (t) = \frac{2}{9}$ and $t$ is in the first quadrant, find $sin (t) .$

51. $cos (t) = \frac{2}{9}$ で $t$ が第1象限にあるとき、 $sin (t)$ を求めよ。

52. If $sin (t) = \frac{3}{8}$ and $t$ is in the second quadrant, find $cos (t) .$

52. $sin (t) = \frac{3}{8}$ で $t$ が第2象限にあるとき、 $cos (t)$ を求めよ。

53. If $sin (t) = - \frac{1}{4}$ and $t$ is in the third quadrant, find $cos (t) .$

53. $sin (t) = - \frac{1}{4}$ で $t$ が第3象限にあるとき、 $cos (t)$ を求めよ。

54. Find the coordinates of the point on a circle with radius 15 corresponding to an angle of $220° .$

54. 半径15の円で、角 $220°$ に対応する点の座標を求めよ。

55. Find the coordinates of the point on a circle with radius 20 corresponding to an angle of $120° .$

55. 半径20の円で、角 $120°$ に対応する点の座標を求めよ。

56. Find the coordinates of the point on a circle with radius 8 corresponding to an angle of $\frac{7 π}{4} .$

56. 半径8の円で、角 $\frac{7 π}{4}$ に対応する点の座標を求めよ。

57. Find the coordinates of the point on a circle with radius 16 corresponding to an angle of $\frac{5 π}{9} .$

57. 半径16の円で、角 $\frac{5 π}{9}$ に対応する点の座標を求めよ。

58. State the domain of the sine and cosine functions.

58. 正弦関数と余弦関数の定義域を答えよ。

59. State the range of the sine and cosine functions.

59. 正弦関数と余弦関数の値域を答えよ。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the given point on the unit circle to find the value of the sine and cosine of $t .$

次の各問について、与えられた単位円上の点を使って、 $t$ の正弦と余弦の値を求めよ。

60.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (square root of 2 over 2, square root of 2 over 2) is at the intersection of terminal side of angle and edge of circle

61.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (negative square root of 3 over 2, 1/2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

62.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (1/2, negative square root of 3 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

63.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (negative square root of 2 over 2, negative square root of 2 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

64.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (1/2, square root of 3 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

65.

66.

67.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (square root of 2 over 2, negative square root of 2 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

68.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (1,0) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

69.

70.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (0.111,0.994) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

71.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (0.803,-0.596 is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

72.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (negative square root of 2 over 2, square root of 2 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

73.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (square root of 3 over 2, 1/2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

74.

75.

76.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (0, -1) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

77.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (-0.649, 0.761) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

78.

Graph of circle with angle of t inscribed. Point of (-0.948, -0.317) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

79.

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a graphing calculator to evaluate.

次の各問について、グラフ電卓を使って値を求めよ。

80. $\sin \frac{5 π}{9}$

81. $\cos \frac{5 π}{9}$

82. $\sin \frac{π}{10}$

83. $\cos \frac{π}{10}$

84. $\sin \frac{3 π}{4}$

85. $\cos \frac{3 π}{4}$

86. $\sin 98°$

87. $\cos 98°$

88. $\cos 310°$

89. $\sin 310°$

Extensions発展問題

For the following exercises, evaluate.

次の各問について、値を求めよ。

90. $\sin (\frac{11 π}{3}) \cos (\frac{- 5 π}{6})$

91. $\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{3})$

92. $\sin (- \frac{4 π}{3}) \cos (\frac{π}{2})$

93. $\sin (\frac{- 9 π}{4}) \cos (\frac{- π}{6})$

94. $\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{- π}{3})$

95. $\sin (\frac{7 π}{4}) \cos (\frac{- 2 π}{3})$

96. $\cos (\frac{5 π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3})$

97. $\cos (\frac{- π}{3}) \cos (\frac{π}{4})$

98. $\sin (\frac{- 5 π}{4}) \sin (\frac{11 π}{6})$

99. $\sin (π) \sin (\frac{π}{6})$

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, use this scenario: A child enters a carousel that takes one minute to revolve once around. The child enters at the point $(0, 1),$ that is, on the due north position. Assume the carousel revolves counter clockwise.

次の各問では、次の筋書きを使え。ある子どもが、1周するのに1分かかる回転木馬に乗る。この子どもは点 $(0, 1)$ 、すなわち真北の位置から乗る。回転木馬は反時計回りに回るとする。

100. What are the coordinates of the child after 45 seconds?

100. 45秒後のこの子どもの座標は何か。

101. What are the coordinates of the child after 90 seconds?

101. 90秒後のこの子どもの座標は何か。

102. What are the coordinates of the child after 125 seconds?

102. 125秒後のこの子どもの座標は何か。

103. When will the child have coordinates $(0.707, –0.707)$ if the ride lasts 6 minutes? (There are multiple answers.)

103. この乗り物が6分続くとき、この子どもの座標が $(0.707, –0.707)$ になるのはいつか。(答えは複数ある。)

104. When will the child have coordinates $(–0.866, –0.5)$ if the ride lasts 6 minutes?

104. この乗り物が6分続くとき、この子どもの座標が $(–0.866, –0.5)$ になるのはいつか。