第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

7.4 The Other Trigonometric Functions7.4 そのほかの三角関数

Learning Objectives 学習目標

In this section you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Find exact values of the trigonometric functions secant, cosecant, tangent, and cotangent of $\frac{π}{3}, \frac{π}{4},$ and $\frac{π}{6} .$ • Use reference angles to evaluate the trigonometric functions secant, tangent, and cotangent.• Use properties of even and odd trigonometric functions.• Recognize and use fundamental identities.• Evaluate trigonometric functions with a calculator.

・ $\frac{π}{3}, \frac{π}{4}$ と $\frac{π}{6}$ の三角関数、正割・余割・正接・余接の厳密な値を求める。・基準角を使って三角関数、正割・正接・余接の値を求める。・偶関数と奇関数である三角関数の性質を使う。・基本恒等式を見分けて使う。・電卓で三角関数の値を求める。

A wheelchair ramp that meets the standards of the Americans with Disabilities Act must make an angle with the ground whose tangent is $\frac{1}{12}$ or less, regardless of its length. A tangent represents a ratio, so this means that for every 1 inch of rise, the ramp must have 12 inches of run. Trigonometric functions allow us to specify the shapes and proportions of objects independent of exact dimensions. We have already defined the sine and cosine functions of an angle. Though sine and cosine are the trigonometric functions most often used, there are four others. Together they make up the set of six trigonometric functions. In this section, we will investigate the remaining functions.

アメリカ障害者法の基準を満たす車椅子用の傾斜路は、長さに関わらず、地面となす角の正接が $\frac{1}{12}$ 以下でなければならない。正接は比を表すので、これは1インチ上がるごとに傾斜路の水平の長さが12インチ要るということである。三角関数のおかげで、正確な寸法によらずに物の形や割合を指定できる。角の正弦関数と余弦関数はすでに定めた。正弦と余弦が最もよく使われる三角関数だが、ほかに四つある。合わせて六つの三角関数の組をなす。この節では残りの関数を調べる。

Finding Exact Values of the Trigonometric Functions Secant, Cosecant, Tangent, and Cotangent三角関数、正割・余割・正接・余接の厳密な値を求める

We can also define the remaining functions in terms of the unit circle with a point $(x, y)$ corresponding to an angle of $t,$ as shown in Figure 1. As with the sine and cosine, we can use the $(x, y)$ coordinates to find the other functions.

残りの関数も、図1に示すとおり、角 $t$ に対応する点 $(x, y)$ を持つ単位円で定められる。正弦や余弦と同じく、 $(x, y)$ 座標を使ってほかの関数を求められる。

This image is a graph of circle with angle of t inscribed and a radius of 1. Point of (x, y) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

The first function we will define is the tangent. The tangent of an angle is the ratio of the y-value to the x-value of the corresponding point on the unit circle. In Figure 1, the tangent of angle $t$ is equal to $\frac{y}{x}, x \neq 0.$ Because the y-value is equal to the sine of $t,$ and the x-value is equal to the cosine of $t,$ the tangent of angle $t$ can also be defined as $\frac{\sin t}{\cos t}, \cos t \neq 0.$ The tangent function is abbreviated as $tan .$ The remaining three functions can all be expressed as reciprocals of functions we have already defined.

まず定めるのは正接である。角の正接とは、単位円上の対応する点の y の値と x の値の比である。図1では、角 $t$ の正接は $\frac{y}{x}, x \neq 0.$ に等しい。y の値は $t$ の正弦、x の値は $t$ の余弦に等しいので、角 $t$ の正接は $\frac{\sin t}{\cos t}, \cos t \neq 0.$ とも定められる。正接関数は $tan$ と略される。残りの三つの関数はどれも、すでに定めた関数の逆数として表せる。

• The secant function is the reciprocal of the cosine function. In Figure 1, the secant of angle $t$ is equal to $\frac{1}{\cos t} = \frac{1}{x}, x \neq 0.$ The secant function is abbreviated as $sec .$ • The cotangent function is the reciprocal of the tangent function. In Figure 1, the cotangent of angle $t$ is equal to $\frac{\cos t}{\sin t} = \frac{x}{y}, y \neq 0.$ The cotangent function is abbreviated as $cot .$ • The cosecant function is the reciprocal of the sine function. In Figure 1, the cosecant of angle $t$ is equal to $\frac{1}{\sin t} = \frac{1}{y}, y \neq 0.$ The cosecant function is abbreviated as $csc .$

・正割関数は余弦関数の逆数である。図1では、角 $t$ の正割は $\frac{1}{\cos t} = \frac{1}{x}, x \neq 0.$ に等しい。正割関数は $sec$ と略される。・余接関数は正接関数の逆数である。図1では、角 $t$ の余接は $\frac{\cos t}{\sin t} = \frac{x}{y}, y \neq 0.$ に等しい。余接関数は $cot$ と略される。・余割関数は正弦関数の逆数である。図1では、角 $t$ の余割は $\frac{1}{\sin t} = \frac{1}{y}, y \neq 0.$ に等しい。余割関数は $csc$ と略される。

Tangent, Secant, Cosecant, and Cotangent Functions 正接・正割・余割・余接

If $t$ is a real number and $(x, y)$ is a point where the terminal side of an angle of $t$ radians intercepts the unit circle, then

$t$ が実数で、 $(x, y)$ が $t$ ラジアンの角の動径が単位円を切る点であるとき、次が成り立つ。

\begin{matrix} tan t & = & \frac{y}{x}, x \neq 0 \\ sec t & = & \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ csc t & = & \frac{1}{y}, y \neq 0 \\ cot t & = & \frac{x}{y}, y \neq 0 \end{matrix}

Example 1例1

Finding Trigonometric Functions from a Point on the Unit Circle単位円上の点から三角関数を求める

The point $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ is on the unit circle, as shown in Figure 2. Find $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,$ and $\cot t .$

図2に示すとおり、点 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ は単位円上にある。 $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t$ と $\cot t$ を求めよ。

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed and with radius 1. Point of (negative square root of 3 over 2, 1/2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

Solution 解答

Because we know the $(x, y)$ coordinates of the point on the unit circle indicated by angle $t,$ we can use those coordinates to find the six functions:

角 $t$ が指す単位円上の点の $(x, y)$ 座標が分かっているので、その座標を使って六つの関数が求められる。

\begin{matrix} sin t & = y & = \frac{1}{2} \\ cos t & = x & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ tan t & = \frac{y}{x} & = \frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} & = \frac{1}{2} (- \frac{2}{\sqrt{3}}) & = - \frac{1}{\sqrt{3}} & = - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ sec t & = \frac{1}{x} & = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} & = - \frac{2}{\sqrt{3}} & = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ csc t & = \frac{1}{y} & = \frac{1}{\frac{1}{2}} & = 2 \\ cot t & = \frac{x}{y} & = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} & = - \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{2}{1}) & = - \sqrt{3} \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

The point $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ is on the unit circle, as shown in Figure 3. Find $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,$ and $\cot t .$

図3に示すとおり、点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ は単位円上にある。 $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t$ と $\cot t$ を求めよ。

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed with radius 1. Point of (square root of 2 over 2, negative square root of 2 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

Example 2例2

Finding the Trigonometric Functions of an Angle角の三角関数を求める

Find $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,$ and $\cot t .$ when $t = \frac{π}{6} .$

$t = \frac{π}{6}$ のときの $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t$ と $\cot t$ を求めよ。

Solution 解答

We have previously used the properties of equilateral triangles to demonstrate that $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ and $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ We can use these values and the definitions of tangent, secant, cosecant, and cotangent as functions of sine and cosine to find the remaining function values.

前に正三角形の性質を使って $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ と $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を示した。この値と、正弦と余弦の関数としての正接・正割・余割・余接の定義を使えば、残りの関数の値が求められる。

\begin{matrix} tan \frac{π}{6} & = \frac{sin \frac{π}{6}}{cos \frac{π}{6}} \\ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} & = \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ sec \frac{π}{6} & = \frac{1}{cos \frac{π}{6}} \\ = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} & = \frac{2}{\sqrt{3}} & = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ \csc \frac{π}{6} & = \frac{1}{\sin \frac{π}{6}} & = \frac{1}{\frac{1}{2}} & = 2 \\ cot \frac{π}{6} & = \frac{cos \frac{π}{6}}{sin \frac{π}{6}} \\ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} & = \sqrt{3} \end{matrix}

Try It #2やってみよう2

Find $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t,$ and $\cot t .$ when $t = \frac{π}{3} .$

$t = \frac{π}{3}$ のときの $\sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t$ と $\cot t$ を求めよ。

Because we know the sine and cosine values for the common first-quadrant angles, we can find the other function values for those angles as well by setting $x$ equal to the cosine and $y$ equal to the sine and then using the definitions of tangent, secant, cosecant, and cotangent. The results are shown in Table 1.

第1象限のよくある角の正弦と余弦の値が分かっているので、 $x$ を余弦、 $y$ を正弦とおき、正接・正割・余割・余接の定義を使えば、その角のほかの関数の値も求められる。結果を表1に示す。

Angle角	$0$	$\frac{π}{6}, or 30°$	$\frac{π}{4}, or 45°$	$\frac{π}{3}, or 60°$	$\frac{π}{2}, or 90°$
Cosine余弦	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
Sine正弦	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
Tangent正接	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	Undefined定義されない
Secant正割	1	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	2	Undefined定義されない
Cosecant余割	Undefined定義されない	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$	1
Cotangent余接	Undefined定義されない	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0

Using Reference Angles to Evaluate Tangent, Secant, Cosecant, and Cotangent基準角を使って正接・正割・余割・余接の値を求める

We can evaluate trigonometric functions of angles outside the first quadrant using reference angles as we have already done with the sine and cosine functions. The procedure is the same: Find the reference angle formed by the terminal side of the given angle with the horizontal axis. The trigonometric function values for the original angle will be the same as those for the reference angle, except for the positive or negative sign, which is determined by x- and y-values in the original quadrant. Figure 4 shows which functions are positive in which quadrant.

正弦関数と余弦関数ですでにしたのと同じく、基準角を使えば第1象限の外の角の三角関数の値も求められる。手順は同じである。与えられた角の動径と横軸がなす基準角を求める。元の角の三角関数の値は、正負の符号を除いて基準角のそれと同じである。符号は元の象限の x と y の値で決まる。図4に、どの象限でどの関数が正になるかを示す。

To help remember which of the six trigonometric functions are positive in each quadrant, we can use the mnemonic phrase “A Smart Trig Class.” Each of the four words in the phrase corresponds to one of the four quadrants, starting with quadrant I and rotating counterclockwise. In quadrant I, which is “A,” underlineaend underlinell of the six trigonometric functions are positive. In quadrant II, “Smart,” only underlinesend underlineine and its reciprocal function, cosecant, are positive. In quadrant III, “Trig,” only underlinetend underlineangent and its reciprocal function, cotangent, are positive. Finally, in quadrant IV, “Class,” only underlinecend underlineosine and its reciprocal function, secant, are positive.

どの象限で六つの三角関数のどれが正になるかを覚えるのに、「A Smart Trig Class」という語呂合わせが使える。この句の四つの語が四つの象限に対応し、第I象限から反時計回りに進む。第I象限は「A」で、六つの三角関数のすべて(all)が正である。第II象限は「Smart」で、正弦(sine)とその逆数の余割だけが正である。第III象限は「Trig」で、正接(tangent)とその逆数の余接だけが正である。最後に第IV象限は「Class」で、余弦(cosine)とその逆数の正割だけが正である。

This image is a graph of circle with each quadrant labeled. Under quadrant I, labels for sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, and cot t. Under quadrant II, labels for sin t and csc t. Under quadrant III, labels for tan t and cot t. Under quadrant IV, labels for cos t, sec t. — Figure 4 The trigonometric functions are each listed in the quadrants in which they are positive.図4 各三角関数を、それが正になる象限に書き入れてある。

How To 手順

Given an angle not in the first quadrant, use reference angles to find all six trigonometric functions.

第1象限にない角が与えられたとき、基準角を使って六つの三角関数すべてを求める。

1. Measure the angle formed by the terminal side of the given angle and the horizontal axis. This is the reference angle.2. Evaluate the function at the reference angle.3. Observe the quadrant where the terminal side of the original angle is located. Based on the quadrant, determine whether the output is positive or negative.

1. 与えられた角の動径と横軸がなす角を測る。これが基準角である。2. 基準角でその関数の値を求める。3. 元の角の動径がどの象限にあるかを見る。その象限をもとに、出力が正か負かを決める。

Example 3例3

Using Reference Angles to Find Trigonometric Functions基準角を使って三角関数を求める

Use reference angles to find all six trigonometric functions of $- \frac{5 π}{6} .$

基準角を使って、 $- \frac{5 π}{6}$ の六つの三角関数すべてを求めよ。

Solution 解答

The angle between this angle’s terminal side and the x-axis is $\frac{π}{6},$ so that is the reference angle. Since $- \frac{5 π}{6}$ is in the third quadrant, where both $x$ and $y$ are negative, cosine, sine, secant, and cosecant will be negative, while tangent and cotangent will be positive.

この角の動径と x軸のあいだの角は $\frac{π}{6}$ なので、それが基準角である。 $- \frac{5 π}{6}$ は $x$ も $y$ も負である第3象限にあるので、余弦・正弦・正割・余割は負、正接と余接は正になる。

$\begin{matrix} cos (- \frac{5 π}{6}) & = - \frac{\sqrt{3}}{2}, sin (- \frac{5 π}{6}) & = - \frac{1}{2}, tan (- \frac{5 π}{6}) & = \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ sec (- \frac{5 π}{6}) & = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, csc (- \frac{5 π}{6}) & = −2, cot (- \frac{5 π}{6}) & = \sqrt{3} \end{matrix}$

Try It #3やってみよう3

Use reference angles to find all six trigonometric functions of $- \frac{7 π}{4} .$

基準角を使って、 $- \frac{7 π}{4}$ の六つの三角関数すべてを求めよ。

Using Even and Odd Trigonometric Functions偶関数と奇関数である三角関数を使う

To be able to use our six trigonometric functions freely with both positive and negative angle inputs, we should examine how each function treats a negative input. As it turns out, there is an important difference among the functions in this regard.

六つの三角関数を、正の角にも負の角にも自在に使えるようにするために、各関数が負の入力をどう扱うかを調べておくべきである。実は、この点で関数のあいだに大切な違いがある。

Consider the function $f (x) = x^{2},$ shown in Figure 5. The graph of the function is symmetrical about the y-axis. All along the curve, any two points with opposite x-values have the same function value. This matches the result of calculation: ${(4)}^{2} = {(−4)}^{2}, {(−5)}^{2} = {(5)}^{2},$ and so on. So $f (x) = x^{2}$ is an even function, a function such that two inputs that are opposites have the same output. That means $f (- x) = f (x) .$

図5に示す関数 $f (x) = x^{2}$ を考えよう。この関数のグラフは y軸に関して対称である。曲線のどこでも、x の値の符号が逆である二点の関数の値は同じである。これは計算の結果とも合う。 ${(4)}^{2} = {(−4)}^{2}, {(−5)}^{2} = {(5)}^{2}$ などである。よって $f (x) = x^{2}$ は偶関数、すなわち符号が逆の二つの入力が同じ出力を持つ関数である。つまり $f (- x) = f (x)$ である。

This is an image of a graph of and upward facing parabola with points (-2, 4) and (2, 4) labeled. — Figure 5 The function $f (x) = x^{2}$ is an even function.図5 関数 $f (x) = x^{2}$ は偶関数である。

Now consider the function $f (x) = x^{3},$ shown in Figure 6. The graph is not symmetrical about the y-axis. All along the graph, any two points with opposite x-values also have opposite y-values. So $f (x) = x^{3}$ is an odd function, one such that two inputs that are opposites have outputs that are also opposites. That means $f (- x) = - f (x) .$

次に、図6に示す関数 $f (x) = x^{3}$ を考えよう。このグラフは y軸に関して対称でない。グラフのどこでも、x の値の符号が逆である二点は y の値も符号が逆である。よって $f (x) = x^{3}$ は奇関数、すなわち符号が逆の二つの入力の出力も符号が逆になる関数である。つまり $f (- x) = - f (x)$ である。

This is an image of a graph of the function f of x = x to the third power with labels for points (-1, -1) and (1, 1). — Figure 6 The function $f (x) = x^{3}$ is an odd function.図6 関数 $f (x) = x^{3}$ は奇関数である。

We can test whether a trigonometric function is even or odd by drawing a unit circle with a positive and a negative angle, as in Figure 7. The sine of the positive angle is $y .$ The sine of the negative angle is $- y .$ The sine function, then, is an odd function. We can test each of the six trigonometric functions in this fashion. The results are shown in Table 2.

三角関数が偶関数か奇関数かは、図7のように正の角と負の角を持つ単位円を描けば調べられる。正の角の正弦は $y$ である。負の角の正弦は $- y$ である。よって正弦関数は奇関数である。六つの三角関数のそれぞれをこのやり方で調べられる。結果を表2に示す。

Graph of circle with angle of t and -t inscribed. Point of (x, y) is at intersection of terminal side of angle t and edge of circle. Point of (x, -y) is at intersection of terminal side of angle -t and edge of circle.

$\begin{matrix} sin t & = & y \\ sin (- t) & = & - y \\ sin t & \neq & sin (- t) \end{matrix}$	$\begin{matrix} cos t & = & x \\ cos (- t) & = & x \\ cos t & = & cos (- t) \end{matrix}$	$\begin{matrix} tan (t) & = & \frac{y}{x} \\ tan (- t) & = & - \frac{y}{x} \\ tan t & \neq & tan (- t) \end{matrix}$
$\begin{matrix} sec t & = & \frac{1}{x} \\ sec (- t) & = & \frac{1}{x} \\ sec t & = & sec (- t) \end{matrix}$	$\begin{matrix} csc t & = & \frac{1}{y} \\ csc (- t) & = & \frac{1}{- y} \\ csc t & \neq & csc (- t) \end{matrix}$	$\begin{matrix} cot t & = & \frac{x}{y} \\ cot (- t) & = & \frac{x}{- y} \\ cot t & \neq & cot (- t) \end{matrix}$

Even and Odd Trigonometric Functions 偶関数・奇関数としての三角関数

An even function is one in which $f (- x) = f (x) .$

偶関数とは $f (- x) = f (x)$ となる関数である。

An odd function is one in which $f (- x) = - f (x) .$

奇関数とは $f (- x) = - f (x)$ となる関数である。

Cosine and secant are even:

余弦と正割は偶関数である。

\begin{matrix} \cos (- t) & = & cos t \\ \sec (- t) & = & sec t \end{matrix}

Sine, tangent, cosecant, and cotangent are odd:

正弦・正接・余割・余接は奇関数である。

\begin{matrix} sin (- t) & = & - sin t \\ tan (- t) & = & - tan t \\ csc (- t) & = & - csc t \\ cot (- t) & = & - cot t \end{matrix}

Example 4例4

Using Even and Odd Properties of Trigonometric Functions三角関数の偶奇の性質を使う

If the secant of angle $t$ is 2, what is the secant of $- t ?$

角 $t$ の正割が2のとき、 $- t ?$ の正割はいくらか。

Solution 解答

Secant is an even function. The secant of an angle is the same as the secant of its opposite. So if the secant of angle $t$ is 2, the secant of $- t$ is also 2.

正割は偶関数である。角の正割は、符号を変えた角の正割と同じである。よって角 $t$ の正割が2なら、 $- t$ の正割も2である。

Try It #4やってみよう4

If the cotangent of angle $t$ is $\sqrt{3},$ what is the cotangent of $- t ?$

角 $t$ の余接が $\sqrt{3}$ のとき、 $- t ?$ の余接はいくらか。

Recognizing and Using Fundamental Identities基本恒等式を見分けて使う

We have explored a number of properties of trigonometric functions. Now, we can take the relationships a step further, and derive some fundamental identities. Identities are statements that are true for all values of the input on which they are defined. Usually, identities can be derived from definitions and relationships we already know. For example, the Pythagorean Identity we learned earlier was derived from the Pythagorean Theorem and the definitions of sine and cosine.

三角関数の性質をいくつも調べてきた。ここでこの関係をもう一歩進めて、基本恒等式をいくつか導こう。等式とは、定義されるすべての入力の値について成り立つ主張である。ふつう、等式はすでに知っている定義や関係から導ける。たとえば、先に学んだピタゴラスの等式は、ピタゴラスの定理と正弦・余弦の定義から導かれた。

Note重要事項

Fundamental Identities基本恒等式

We can derive some useful identities from the six trigonometric functions. The other four trigonometric functions can be related back to the sine and cosine functions using these basic relationships:

六つの三角関数から、役に立つ等式がいくつか導ける。ほかの四つの三角関数は、次の基本の関係を使って正弦関数と余弦関数に結び戻せる。

\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}

\sec t = \frac{1}{\cos t}

\csc t = \frac{1}{\sin t}

cot t = \frac{1}{tan t} = \frac{cos t}{sin t}

Example 5例5

Using Identities to Evaluate Trigonometric Functions等式を使って三角関数の値を求める

ⓐGiven $\sin (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2},$ evaluate $\tan (45°) .$ ⓑGiven $\sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}, \cos (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2},$ evaluate $\sec (\frac{5 π}{6}) .$

ⓐ $\sin (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ が与えられたとき、 $\tan (45°)$ の値を求めよ。ⓑ $\sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}, \cos (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ が与えられたとき、 $\sec (\frac{5 π}{6})$ の値を求めよ。

Solution 解答

Because we know the sine and cosine values for these angles, we can use identities to evaluate the other functions.

この角の正弦と余弦の値は分かっているので、等式を使ってほかの関数の値が求められる。

ⓐ
$\begin{matrix} \tan (45°) & = & \frac{\sin (45°)}{\cos (45°)} \\ = & \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ = & 1 \end{matrix}$ ⓑ
$\begin{matrix} \sec (\frac{5 π}{6}) & = & \frac{1}{\cos (\frac{5 π}{6})} \\ = & \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = & \frac{−2 \sqrt{3}}{1} \\ = & \frac{−2}{\sqrt{3}} \\ = & - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \end{matrix}$

Try It #5やってみよう5

Evaluate $csc (\frac{7 π}{6}) .$

$csc (\frac{7 π}{6})$ の値を求めよ。

Example 6例6

Using Identities to Simplify Trigonometric Expressions等式を使って三角関数の式を簡単にする

Simplify $\frac{\sec t}{\tan t} .$

$\frac{\sec t}{\tan t}$ を簡単にせよ。

Solution 解答

We can simplify this by rewriting both functions in terms of sine and cosine.

両方の関数を正弦と余弦で書き直せば、これを簡単にできる。

\begin{matrix} \frac{sec t}{tan t} & = & \frac{\frac{1}{cos t}}{\frac{sin t}{cos t}} \\ = & \frac{1}{cos t} \cdot \frac{cos t}{sin t} & Multiply by the reciprocal . \\ = & \frac{1}{sin t} = csc t & Simplify and use the identity . \end{matrix}

By showing that $\frac{\sec t}{\tan t}$ can be simplified to $\csc t,$ we have, in fact, established a new identity.

$\frac{\sec t}{\tan t}$ が $\csc t$ に簡単にできると示したことで、実は新しい等式を立てたことになる。

\frac{\sec t}{\tan t} = \csc t

Try It #6やってみよう6

Simplify $(\tan t) (\cos t) .$

$(\tan t) (\cos t)$ を簡単にせよ。

Alternate Forms of the Pythagorean Identityピタゴラスの等式の別の形

We can use these fundamental identities to derive alternate forms of the Pythagorean Identity, $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1.$ One form is obtained by dividing both sides by $\cos^{2} t .$

この基本恒等式を使えば、ピタゴラスの等式 $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1.$ の別の形が導ける。一つの形は、両辺を $\cos^{2} t$ で割れば得られる。

\begin{matrix} \frac{\cos^{2} t}{\cos^{2} t} + \frac{\sin^{2} t}{\cos^{2} t} & = & \frac{1}{\cos^{2} t} \\ 1 + \tan^{2} t & = & \sec^{2} t \end{matrix}

The other form is obtained by dividing both sides by $\sin^{2} t .$

もう一つの形は、両辺を $\sin^{2} t$ で割れば得られる。

\begin{matrix} \frac{\cos^{2} t}{\sin^{2} t} + \frac{\sin^{2} t}{\sin^{2} t} & = & \frac{1}{\sin^{2} t} \\ \cot^{2} t + 1 & = & \csc^{2} t \end{matrix}

Alternate Forms of the Pythagorean Identity 基本恒等式の別の形

1 + \tan^{2} t = \sec^{2} t

\cot^{2} t + 1 = \csc^{2} t

Example 7例7

Using Identities to Relate Trigonometric Functions等式を使って三角関数どうしを結びつける

If $\cos (t) = \frac{12}{13}$ and $t$ is in quadrant IV, as shown in Figure 8, find the values of the other five trigonometric functions.

図8に示すとおり $\cos (t) = \frac{12}{13}$ で $t$ が第IV象限にあるとき、ほかの五つの三角関数の値を求めよ。

This is an image of graph of circle with angle of t inscribed. Point of (12/13, y) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

Solution 解答

We can find the sine using the Pythagorean Identity, $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1,$ and the remaining functions by relating them to sine and cosine.

ピタゴラスの等式 $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ を使えば正弦が求められ、残りの関数は正弦と余弦に結びつければ求められる。

\begin{matrix} {(\frac{12}{13})}^{2} + \sin^{2} t & = & 1 \\ \sin^{2} t & = & 1 - {(\frac{12}{13})}^{2} \\ \sin^{2} t & = & 1 - \frac{144}{169} \\ \sin^{2} t & = & \frac{25}{169} \\ sin t & = & \pm \sqrt{\frac{25}{169}} \\ sin t & = & \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}} \\ sin t & = & \pm \frac{5}{13} \end{matrix}

The sign of the sine depends on the y-values in the quadrant where the angle is located. Since the angle is in quadrant IV, where the y-values are negative, its sine is negative, $- \frac{5}{13} .$

正弦の符号は、その角がある象限の y の値に依る。この角は y の値が負である第IV象限にあるので、その正弦は負であり $- \frac{5}{13}$ である。

The remaining functions can be calculated using identities relating them to sine and cosine.

残りの関数は、正弦と余弦に結びつける等式を使って計算できる。

\begin{matrix} tan t & = \frac{sin t}{cos t} & = \frac{- \frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} & = - \frac{5}{12} \\ sec t & = \frac{1}{cos t} & = \frac{1}{\frac{12}{13}} & = \frac{13}{12} \\ csc t & = \frac{1}{sin t} & = \frac{1}{- \frac{5}{13}} & = \frac{- 13}{5} \\ cot t & = \frac{1}{tan t} & = \frac{1}{- \frac{5}{12}} & = - \frac{12}{5} \end{matrix}

Try It #7やってみよう7

If $\sec (t) = - \frac{17}{8}$ and $0 < t < π,$ find the values of the other five functions.

$\sec (t) = - \frac{17}{8}$ かつ $0 < t < π$ のとき、ほかの五つの関数の値を求めよ。

As we discussed at the beginning of the chapter, a function that repeats its values in regular intervals is known as a periodic function. The trigonometric functions are periodic. For the four trigonometric functions, sine, cosine, cosecant and secant, a revolution of one circle, or $2 π,$ will result in the same outputs for these functions. And for tangent and cotangent, only a half a revolution will result in the same outputs.

この章の初めに論じたとおり、決まった間隔で値を繰り返す関数を周期関数という。三角関数は周期を持つ。正弦・余弦・余割・正割の四つの三角関数では、円を1回転、すなわち $2 π$ 進むと同じ出力になる。正接と余接では、半回転だけで同じ出力になる。

Other functions can also be periodic. For example, the lengths of months repeat every four years. If $x$ represents the length time, measured in years, and $f (x)$ represents the number of days in February, then $f (x + 4) = f (x) .$ This pattern repeats over and over through time. In other words, every four years (except for multiples of 100), February typically has the same number of days as it did 4 years earlier. The positive number 4 is the smallest positive number that satisfies this condition and is called the period. A period is the shortest interval over which a function completes one full cycle—in this example, the period is 4 and represents the time it takes for us to be certain February has the same number of days.

ほかの関数も周期を持ちうる。たとえば月の長さは4年ごとに繰り返す。 $x$ を年で測った時間、 $f (x)$ を2月の日数とすると、 $f (x + 4) = f (x)$ である。この型は時とともに何度も繰り返す。言い換えれば、(100の倍数を除いて)4年ごとに、2月の日数はふつう4年前と同じになる。この条件を満たす最小の正の数が4であり、これを周期という。周期とは、関数が1周期を終える最も短い間隔である。この例では周期は4で、2月の日数が同じだと確かめられるまでにかかる時間を表す。

Period of a Function 関数の周期

The period $P$ of a repeating function $f$ is the number representing the interval such that $f (x + P) = f (x)$ for any value of $x .$

繰り返す関数 $f$ の周期 $P$ とは、 $x$ のどの値についても $f (x + P) = f (x)$ となる間隔を表す数である。

The period of the cosine, sine, secant, and cosecant functions is $2 π .$

余弦・正弦・正割・余割の関数の周期は $2 π$ である。

The period of the tangent and cotangent functions is $π .$

正接と余接の関数の周期は $π$ である。

Example 8例8

Finding the Values of Trigonometric Functions三角関数の値を求める

Find the values of the six trigonometric functions of angle $t$ based on Figure 9.

図9をもとに、角 $t$ の六つの三角関数の値を求めよ。

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed. Point of (1/2, negative square root of 3 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

Solution 解答

\begin{matrix} sin t & = y & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ cos t & = x & = - \frac{1}{2} \\ tan t & = \frac{sin t}{cos t} & = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}} & = \sqrt{3} \\ sec t & = \frac{1}{cos t} & = \frac{1}{- \frac{1}{2}} & = −2 \\ csc t & = \frac{1}{sin t} & = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} & = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ cot t & = \frac{1}{tan t} & = \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}

Try It #8やってみよう8

Find the values of the six trigonometric functions of angle $t$ based on Figure 10.

図10をもとに、角 $t$ の六つの三角関数の値を求めよ。

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed. Point of (0, -1) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

Example 9例9

Finding the Value of Trigonometric Functions三角関数の値を求める

If $\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2} and cos (t) = \frac{1}{2}, find sec (t), csc (t), tan (t), cot (t) .$

$\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2} および cos (t) = \frac{1}{2}, find sec (t), csc (t), tan (t), cot (t)$ のとき

Solution 解答

\begin{matrix} sec t & = \frac{1}{cos t} & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \\ csc t & = \frac{1}{sin t} & = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ tan t & = \frac{sin t}{cos t} & = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = - \sqrt{3} \\ cot t & = \frac{1}{tan t} & = \frac{1}{- \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}

Try It #9やってみよう9

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2} and \cos (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}, find sec (t), csc (t), tan (t), and cot (t)$

式中の英語：and：および

Evaluating Trigonometric Functions with a Calculator電卓で三角関数の値を求める

We have learned how to evaluate the six trigonometric functions for the common first-quadrant angles and to use them as reference angles for angles in other quadrants. To evaluate trigonometric functions of other angles, we use a scientific or graphing calculator or computer software. If the calculator has a degree mode and a radian mode, confirm the correct mode is chosen before making a calculation.

第1象限のよくある角について六つの三角関数の値を求め、それをほかの象限の角の基準角として使うことを学んだ。ほかの角の三角関数の値を求めるには、関数電卓かグラフ電卓、あるいは計算機の算譜を使う。電卓に度のモードとラジアンのモードがあるなら、計算する前に正しいモードが選ばれているのを確かめること。

Evaluating a tangent function with a scientific calculator as opposed to a graphing calculator or computer algebra system is like evaluating a sine or cosine: Enter the value and press the TAN key. For the reciprocal functions, there may not be any dedicated keys that say CSC, SEC, or COT. In that case, the function must be evaluated as the reciprocal of a sine, cosine, or tangent.

グラフ電卓や数式処理系ではなく関数電卓で正接関数の値を求めるのは、正弦や余弦の値を求めるのと同じである。値を入れて TAN キーを押す。逆数の関数には、CSC、SEC、COT と書かれた専用のキーが無いことがある。その場合は、正弦・余弦・正接の逆数として値を求めなければならない。

If we need to work with degrees and our calculator or software does not have a degree mode, we can enter the degrees multiplied by the conversion factor $\frac{π}{180}$ to convert the degrees to radians. To find the secant of $30°,$ we could press

度で扱う必要があり、電卓や算譜に度のモードが無いなら、度に換算の因子 $\frac{π}{180}$ を掛けて入れれば度をラジアンに直せる。 $30°$ の正割を求めるには、次のように押せばよい。

\begin{matrix} (for a scientific calculator): \frac{1}{30 \times \frac{π}{180}} COS \\ or \\ (for a graphing calculator): \frac{1}{\cos (\frac{30 π}{180})} \end{matrix}

How To 手順

Given an angle measure in radians, use a scientific calculator to find the cosecant.

ラジアンでの角の大きさが与えられたとき、関数電卓を使って余割を求める。

1. If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.2. Enter: $1 /$ 3. Enter the value of the angle inside parentheses.4. Press the SIN key.5. Press the = key.

1. 電卓に度のモードとラジアンのモードがあるなら、ラジアンのモードにする。2. $1 /$ と入れる。3. 括弧の中に角の値を入れる。4. SIN キーを押す。5. = キーを押す。

How To 手順

Given an angle measure in radians, use a graphing utility/calculator to find the cosecant.

ラジアンでの角の大きさが与えられたとき、グラフ作成ツールや電卓を使って余割を求める。

• If the graphing utility has degree mode and radian mode, set it to radian mode.• Enter: $1 /$ • Press the SIN key.• Enter the value of the angle inside parentheses.• Press the ENTER key.

・グラフ作成ツールに度のモードとラジアンのモードがあるなら、ラジアンのモードにする。・ $1 /$ と入れる。・SIN キーを押す。・括弧の中に角の値を入れる。・ENTER キーを押す。

Example 10例10

Evaluating the Cosecant Using Technology機器を使って余割の値を求める

Evaluate the cosecant of $\frac{5 π}{7} .$

$\frac{5 π}{7}$ の余割の値を求めよ。

Solution 解答

For a scientific calculator, enter information as follows:

関数電卓では、次のように情報を入れる。

\begin{matrix} 1/ (5 \times π / 7) SIN & = \\ \csc (\frac{5 π}{7}) & \approx & 1.279 \end{matrix}

Try It #10やってみよう10

Evaluate the cotangent of $- \frac{π}{8} .$

$- \frac{π}{8}$ の余接の値を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with other trigonometric functions.

そのほかの三角関数についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Determing Trig Function Values• More Examples of Determining Trig Functions• Pythagorean Identities• Trig Functions on a Calculator

・三角関数の値を決める・三角関数を決める例をさらに・ピタゴラスの等式・電卓での三角関数

Verbal言葉で答える問題

1. On an interval of $[0, 2 π),$ can the sine and cosine values of a radian measure ever be equal? If so, where?

1. 区間 $[0, 2 π)$ で、あるラジアンでの大きさの正弦の値と余弦の値が等しくなることはありうるか。ありうるなら、どこか。

2. What would you estimate the cosine of $π$ degrees to be? Explain your reasoning.

2. $π$ 度の余弦をいくらと見積もるか。その理由を説明せよ。

3. For any angle in quadrant II, if you knew the sine of the angle, how could you determine the cosine of the angle?

3. 第II象限のどんな角でも、その角の正弦が分かっているとき、どうすればその角の余弦を決められるか。

4. Describe the secant function.

4. 正割関数を述べよ。

5. Tangent and cotangent have a period of $π .$ What does this tell us about the output of these functions?

5. 正接と余接の周期は $π$ である。これは、この関数の出力について何を教えているか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, find the exact value of each expression.

次の各問について、各式の厳密な値を求めよ。

6. $\tan \frac{π}{6}$

7. $\sec \frac{π}{6}$

8. $\csc \frac{π}{6}$

9. $\cot \frac{π}{6}$

10. $\tan \frac{π}{4}$

11. $\sec \frac{π}{4}$

12. $\csc \frac{π}{4}$

13. $\cot \frac{π}{4}$

14. $\tan \frac{π}{3}$

15. $\sec \frac{π}{3}$

16. $\csc \frac{π}{3}$

17. $\cot \frac{π}{3}$

For the following exercises, use reference angles to evaluate the expression.

次の各問について、基準角を使って式の値を求めよ。

18. $\tan \frac{5 π}{6}$

19. $\sec \frac{7 π}{6}$

20. $\csc \frac{11 π}{6}$

21. $\cot \frac{13 π}{6}$

22. $\tan \frac{7 π}{4}$

23. $\sec \frac{3 π}{4}$

24. $\csc \frac{5 π}{4}$

25. $\cot \frac{11 π}{4}$

26. $\tan \frac{8 π}{3}$

27. $\sec \frac{4 π}{3}$

28. $\csc \frac{2 π}{3}$

29. $\cot \frac{5 π}{3}$

30. $\tan 225°$

31. $\sec 300°$

32. $\csc 150°$

33. $\cot 240°$

34. $\tan 330°$

35. $\sec 120°$

36. $\csc 210°$

37. $\cot 315°$

38. If $sin t = \frac{3}{4},$ and $t$ is in quadrant II, find $\cos t, \sec t, \csc t, \tan t,$ and $\cot t .$

38. $sin t = \frac{3}{4}$ で $t$ が第II象限にあるとき、 $\cos t, \sec t, \csc t, \tan t$ と $\cot t$ を求めよ。

39. If $cos t = - \frac{1}{3},$ and $t$ is in quadrant III, find $\sin t, \sec t, \csc t, \tan t,$ and $\cot t .$

39. $cos t = - \frac{1}{3}$ で $t$ が第III象限にあるとき、 $\sin t, \sec t, \csc t, \tan t$ と $\cot t$ を求めよ。

40. If $\tan t = \frac{12}{5}$ , and $0 \leq t < \frac{π}{2}$ , find $\sin t, \cos t, \sec t, \csc t, and \cot t .$

40. $\tan t = \frac{12}{5}$ かつ $0 \leq t < \frac{π}{2}$ のとき、 $\sin t, \cos t, \sec t, \csc t, および \cot t$ を求めよ。

41. If $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ and $\cos t = \frac{1}{2},$ find $\sec t, \csc t, \tan t,$ and $\cot t .$

41. $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\cos t = \frac{1}{2}$ のとき、 $\sec t, \csc t, \tan t$ と $\cot t$ を求めよ。

42. If $\sin 40° \approx 0.643$ and $\cos 40° \approx 0.766,$ find $sec 40°, csc 40°, tan 40°,$ and $cot 40° .$

42. $\sin 40° \approx 0.643$ かつ $\cos 40° \approx 0.766$ のとき、 $sec 40°, csc 40°, tan 40°$ と $cot 40°$ を求めよ。

43. If $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2},$ what is the $sin (- t) ?$

43. $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、 $sin (- t) ?$ はいくらか。

44. If $cos t = \frac{1}{2},$ what is the $cos (- t) ?$

44. $cos t = \frac{1}{2}$ のとき、 $cos (- t) ?$ はいくらか。

45. If $sec t = 3.1,$ what is the $sec (- t) ?$

45. $sec t = 3.1$ のとき、 $sec (- t) ?$ はいくらか。

46. If $csc t = 0.34,$ what is the $csc (- t) ?$

46. $csc t = 0.34$ のとき、 $csc (- t) ?$ はいくらか。

47. If $tan t = −1.4,$ what is the $tan (- t) ?$

47. $tan t = −1.4$ のとき、 $tan (- t) ?$ はいくらか。

48. If $cot t = 9.23,$ what is the $cot (- t) ?$

48. $cot t = 9.23$ のとき、 $cot (- t) ?$ はいくらか。

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the angle in the unit circle to find the value of the each of the six trigonometric functions.

次の各問について、単位円上の角を使って、六つの三角関数それぞれの値を求めよ。

49.

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed. Point of (square root of 2 over 2, square root of 2 over 2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

50.

This is an image of a graph of circle with angle of t inscribed. Point of (square root of 3 over 2, 1/2) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

51.

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a graphing calculator to evaluate to three decimal places.

次の各問について、グラフ電卓を使って小数第三位まで値を求めよ。

52. $\csc \frac{5 π}{9}$

53. $\cot \frac{4 π}{7}$

54. $\sec \frac{π}{10}$

55. $\tan \frac{5 π}{8}$

56. $\sec \frac{3 π}{4}$

57. $\csc \frac{π}{4}$

58. $tan 98°$

59. $\cot 33°$

60. $\cot 140°$

61. $\sec 310°$

Extensions発展問題

For the following exercises, use identities to evaluate the expression.

次の各問について、等式を使って式の値を求めよ。

62. If $\tan (t) \approx 2.7,$ and $\sin (t) \approx 0.94,$ find $\cos (t) .$

62. $\tan (t) \approx 2.7$ かつ $\sin (t) \approx 0.94$ のとき、 $\cos (t)$ を求めよ。

63. If $\tan (t) \approx 1.3,$ and $\cos (t) \approx 0.61,$ find $\sin (t) .$

63. $\tan (t) \approx 1.3$ かつ $\cos (t) \approx 0.61$ のとき、 $\sin (t)$ を求めよ。

64. If $\csc (t) \approx 3.2,$ and $\cos (t) \approx 0.95,$ find $\tan (t) .$

64. $\csc (t) \approx 3.2$ かつ $\cos (t) \approx 0.95$ のとき、 $\tan (t)$ を求めよ。

65. If $\cot (t) \approx 0.58,$ and $\cos (t) \approx 0.5,$ find $\csc (t) .$

65. $\cot (t) \approx 0.58$ かつ $\cos (t) \approx 0.5$ のとき、 $\csc (t)$ を求めよ。

66. Determine whether the function $f (x) = 2 \sin x \cos x$ is even, odd, or neither.

66. 関数 $f (x) = 2 \sin x \cos x$ が偶関数か、奇関数か、どちらでもないかを判定せよ。

67. Determine whether the function $f (x) = 3 \sin^{2} x \cos x + \sec x$ is even, odd, or neither.

67. 関数 $f (x) = 3 \sin^{2} x \cos x + \sec x$ が偶関数か、奇関数か、どちらでもないかを判定せよ。

68. Determine whether the function $f (x) = \sin x - 2 \cos^{2} x$ is even, odd, or neither.

68. 関数 $f (x) = \sin x - 2 \cos^{2} x$ が偶関数か、奇関数か、どちらでもないかを判定せよ。

69. Determine whether the function $f (x) = \csc^{2} x + \sec x$ is even, odd, or neither.

69. 関数 $f (x) = \csc^{2} x + \sec x$ が偶関数か、奇関数か、どちらでもないかを判定せよ。

For the following exercises, use identities to simplify the expression.

次の各問について、等式を使って式を簡単にせよ。

70. $\csc t \tan t$

71. $\frac{\sec t}{\csc t}$

Real-World Applications応用問題

72. The amount of sunlight in a certain city can be modeled by the function $h = 15 \cos (\frac{1}{600} d),$ where $h$ represents the hours of sunlight, and $d$ is the day of the year. Use the equation to find how many hours of sunlight there are on February 11, the 42^nd day of the year. State the period of the function.

72. ある都市の日照は、関数 $h = 15 \cos (\frac{1}{600} d)$ でモデル化できる。ここで $h$ は日照時間、 $d$ はその年の何日目かを表す。この式を使って、その年の42日目である2月11日の日照時間を求めよ。この関数の周期を答えよ。

73. The amount of sunlight in a certain city can be modeled by the function $h = 16 \cos (\frac{1}{500} d),$ where $h$ represents the hours of sunlight, and $d$ is the day of the year. Use the equation to find how many hours of sunlight there are on September 24, the 267th day of the year. State the period of the function.

73. ある都市の日照は、関数 $h = 16 \cos (\frac{1}{500} d)$ でモデル化できる。ここで $h$ は日照時間、 $d$ はその年の何日目かを表す。この式を使って、その年の267日目である9月24日の日照時間を求めよ。この関数の周期を答えよ。

74. The equation $P = 20 \sin (2 π t) + 100$ models the blood pressure, $P,$ where $t$ represents time in seconds. (a) Find the blood pressure after 15 seconds. (b) What are the maximum and minimum blood pressures?

74. 式 $P = 20 \sin (2 π t) + 100$ は血圧 $P,$ のモデルである。ここで $t$ は秒で表した時間である。(a) 15秒後の血圧を求めよ。(b) 血圧の最大と最小はいくらか。

75. The height of a piston, $h,$ in inches, can be modeled by the equation $y = 3 \sin x + 1,$ where $x$ represents the crank angle. Find the height of the piston when the crank angle is $55° .$

75. ピストンの高さ $h$ (インチ)は、式 $y = 3 \sin x + 1$ でモデル化できる。ここで $x$ はクランクの角を表す。クランクの角が $55°$ のときのピストンの高さを求めよ。

76. The height of a piston, $h,$ in inches, can be modeled by the equation $y = 2 \cos x + 5,$ where $x$ represents the crank angle. Find the height of the piston when the crank angle is $55° .$

76. ピストンの高さ $h$ (インチ)は、式 $y = 2 \cos x + 5$ でモデル化できる。ここで $x$ はクランクの角を表す。クランクの角が $55°$ のときのピストンの高さを求めよ。

Key Terms重要語

adjacent side in a right triangle, the side between a given angle and the right angle

隣辺直角三角形で、与えられた角と直角のあいだの辺

angle the union of two rays having a common endpoint

角端点を共有する二つの半直線の合併

angle of depression the angle between the horizontal and the line from the object to the observer’s eye, assuming the object is positioned lower than the observer

俯角物が観測者より低い位置にあるとき、水平線と、その物から観測者の目までを結ぶ線のあいだの角

angle of elevation the angle between the horizontal and the line from the object to the observer’s eye, assuming the object is positioned higher than the observer

仰角物が観測者より高い位置にあるとき、水平線と、その物から観測者の目までを結ぶ線のあいだの角

angular speed the angle through which a rotating object travels in a unit of time

角速度 回っている物が単位時間に進む角

arc length the length of the curve formed by an arc

弧長弧がなす曲線の長さ

area of a sector area of a portion of a circle bordered by two radii and the intercepted arc; the fraction $\frac{θ}{2 π} .$ multiplied by the area of the entire circle

扇形の面積 二本の半径と切りとられた弧で囲まれた円の一部の面積。円全体の面積に分数 $\frac{θ}{2 π}$ を掛けたもの

cosecant the reciprocal of the sine function: on the unit circle, $csc t = \frac{1}{y}, y \neq 0$

余割正弦関数の逆数。単位円では $csc t = \frac{1}{y}, y \neq 0$

cosine function the x-value of the point on a unit circle corresponding to a given angle

余弦関数 与えられた角に対応する単位円上の点の x の値

cotangent the reciprocal of the tangent function: on the unit circle, $cot t = \frac{x}{y}, y \neq 0$

余接正接関数の逆数。単位円では $cot t = \frac{x}{y}, y \neq 0$

coterminal angles description of positive and negative angles in standard position sharing the same terminal side

動径が一致する角 標準位置にあって同じ動径を持つ、正と負の角についての言い方

degree a unit of measure describing the size of an angle as one-360th of a full revolution of a circle

度角の大きさを、円の1回転の360分の1として述べる単位

hypotenuse the side of a right triangle opposite the right angle

斜辺直角三角形で、直角の向かいの辺

identities statements that are true for all values of the input on which they are defined

等式定義されるすべての入力の値について成り立つ主張

initial side the side of an angle from which rotation begins

始線角の、回転が始まる側の辺

linear speed the distance along a straight path a rotating object travels in a unit of time; determined by the arc length

線速度 回っている物が単位時間にまっすぐな道筋に沿って進む距離。弧長で決まる

measure of an angle the amount of rotation from the initial side to the terminal side

角の大きさ 始線から動径までの回転の量

negative angle description of an angle measured clockwise from the positive x-axis

負の角 正の x軸から時計回りに測った角についての言い方

opposite side in a right triangle, the side most distant from a given angle

対辺直角三角形で、与えられた角から最も遠い辺

period the smallest interval $P$ of a repeating function $f$ such that $f (x + P) = f (x)$

周期繰り返す関数 $f$ について、 $f (x + P) = f (x)$ となる最も短い間隔 $P$

positive angle description of an angle measured counterclockwise from the positive x-axis

正の角 正の x軸から反時計回りに測った角についての言い方

Pythagorean Identity a corollary of the Pythagorean Theorem stating that the square of the cosine of a given angle plus the square of the sine of that angle equals 1

ピタゴラスの等式 ピタゴラスの定理の系で、与えられた角の余弦の2乗とその角の正弦の2乗の和が1に等しいと述べるもの

quadrantal angle an angle whose terminal side lies on an axis

象限角 動径が座標軸の上に乗る角

radian the measure of a central angle of a circle that intercepts an arc equal in length to the radius of that circle

ラジアン 円の半径と同じ長さの弧を切りとる、その円の中心角の大きさ

radian measure the ratio of the arc length formed by an angle divided by the radius of the circle

ラジアンでの大きさ 角がなす弧長を円の半径で割った比

ray one point on a line and all points extending in one direction from that point; one side of an angle

半直線 直線上の一点と、その点から一方向に伸びるすべての点。角の一辺

reference angle the measure of the acute angle formed by the terminal side of the angle and the horizontal axis

基準角 角の動径と横軸がなす鋭角の大きさ

secant the reciprocal of the cosine function: on the unit circle, $\sec t = \frac{1}{x}, x \neq 0$

正割余弦関数の逆数。単位円では $\sec t = \frac{1}{x}, x \neq 0$

sine function the y-value of the point on a unit circle corresponding to a given angle

正弦関数 与えられた角に対応する単位円上の点の y の値

standard position the position of an angle having the vertex at the origin and the initial side along the positive x-axis

標準位置 頂点が原点にあり、始線が正の x軸に沿っている角の位置

tangent the quotient of the sine and cosine: on the unit circle, $\tan t = \frac{y}{x}, x \neq 0$

正接正弦と余弦の商。単位円では $\tan t = \frac{y}{x}, x \neq 0$

terminal side the side of an angle at which rotation ends

動径角の、回転が終わる側の辺

unit circle a circle with a center at $(0, 0)$ and radius 1

単位円 中心が $(0, 0)$ で半径が1の円

vertex the common endpoint of two rays that form an angle

頂点角をなす二つの半直線が共有する端点