第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the y-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same y-value, but have the opposite x-value. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.

第1象限の角の正弦と余弦を求めることは論じたが、角が別の象限にあるならどうか。第1象限のどの角にも、正弦の値が同じ角が第2象限にある。正弦の値は単位円上の y座標なので、正弦が同じもう一つの角は同じ y の値を持つが、x の値は符号が逆になる。したがって、その余弦の値は最初の角の余弦の値の符号を変えたものになる。

Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same x-value but will have the opposite y-value. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.

同じように、元の角と余弦が同じ角が第4象限にある。余弦が同じ角は同じ x の値を持つが、y の値は符号が逆になる。したがって、その正弦の値は元の角の正弦の値の符号を変えたものになる。

As shown in Figure 16, angle $\alpha$ has the same sine value as angle $t;$ the cosine values are opposites. Angle $\beta$ has the same cosine value as angle $t;$ the sine values are opposites.

図16に示すとおり、角 $\alpha$ は角 $t;$ と正弦の値が同じで、余弦の値は符号が逆である。角 $\beta$ は角 $t;$ と余弦の値が同じで、正弦の値は符号が逆である。

Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, $t,$ formed by the terminal side of the angle $t$ and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between $0$ and $\mathrm{90°},$ or $0$ and $\frac{\pi }{2}$ radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.

角の基準角とは、その角 $t$ の動径と横軸がなす鋭角 $t$ であることを思い出そう。基準角はつねに $0$ と $\mathrm{90°}$ のあいだ、すなわち $0$ と $\frac{\pi }{2}$ ラジアンのあいだの角である。図17から分かるとおり、第II・III・IV象限のどの角にも、第I象限に基準角がある。