第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

We have already learned some properties of the special angles, such as the conversion from radians to degrees, and we found their sines and cosines using right triangles. We can also calculate sines and cosines of the special angles using the Pythagorean Identity.

ラジアンから度への変換など、特別な角の性質はすでにいくつか学び、直角三角形を使ってその正弦と余弦を求めた。ピタゴラスの等式を使っても、特別な角の正弦と余弦を計算できる。

First, we will look at angles of $\mathrm{45°}$ or $\frac{\pi }{4},$ as shown in Figure 9. A $\mathrm{45°}–\mathrm{45°}–\mathrm{90°}$ triangle is an isosceles triangle, so the x- and y-coordinates of the corresponding point on the circle are the same. Because the x- and y-values are the same, the sine and cosine values will also be equal.

まず、図9に示す $\mathrm{45°}$ すなわち $\frac{\pi }{4}$ の角を見よう。$\mathrm{45°}–\mathrm{45°}–\mathrm{90°}$ の三角形は二等辺三角形なので、円上の対応する点の x座標と y座標は同じである。x の値と y の値が同じなので、正弦と余弦の値も等しくなる。

At $t=\frac{\pi }{4},$ which is 45 degrees, the radius of the unit circle bisects the first quadrantal angle. This means the radius lies along the line $y=x.$ A unit circle has a radius equal to 1 so the right triangle formed below the line $y=x$ has sides $x$ and $y(y=x),$ and radius = 1. See Figure 10.

45度である $t=\frac{\pi }{4}$ では、単位円の半径が第1象限の角を二等分する。つまり半径は直線 $y=x$ の上にある。単位円の半径は1なので、直線 $y=x$ の下にできる直角三角形の辺は $x$ と $y(y=x)$、半径 = 1 である。図10を見よ。

From the Pythagorean Theorem we get

ピタゴラスの定理から次が得られる。

We can then substitute $y=x.$

そして $y=x$ を代入できる。

Next we combine like terms.

次に同類項をまとめる。

And solving for $x,$ we get

そして $x$ について解くと、次が得られる。

In quadrant I, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

第1象限では $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

At $t=\frac{\pi }{4}$ or 45 degrees,

$t=\frac{\pi }{4}$ すなわち45度では、

If we then rationalize the denominators, we get

そして分母を有理化すると、次が得られる。

Therefore, the $(x,y)$ coordinates of a point on a circle of radius $1$ at an angle of $\mathrm{45°}$ are $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

したがって、半径 $1$ の円上で角 $\mathrm{45°}$ の点の $(x,y)$ 座標は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ である。

Next, we will find the cosine and sine at an angle of $\mathrm{30°},$ or $\frac{\pi }{6}.$ First, we will draw a triangle inside a circle with one side at an angle of $\mathrm{30°},$ and another at an angle of $\mathrm{-30°},$ as shown in Figure 11. If the resulting two right triangles are combined into one large triangle, notice that all three angles of this larger triangle will be $\mathrm{60°},$ as shown in Figure 12.

次に、$\mathrm{30°}$ すなわち $\frac{\pi }{6}$ の角の余弦と正弦を求める。まず、図11に示すとおり、一辺が $\mathrm{30°}$ の角、もう一辺が $\mathrm{-30°}$ の角になるように、円の中に三角形を描く。できあがった二つの直角三角形を合わせて一つの大きな三角形にすると、図12に示すとおり、この大きな三角形の三つの角がすべて $\mathrm{60°}$ になるのに注目しよう。

Because all the angles are equal, the sides are also equal. The vertical line has length $2y,$ and since the sides are all equal, we can also conclude that $r=2y$ or $y=\frac{1}{2}r.$ Since $\sin t=y,$

すべての角が等しいので、辺も等しい。縦の線の長さは $2y$ で、辺がすべて等しいので $r=2y$、すなわち $y=\frac{1}{2}r$ とも結論できる。$\sin t=y$ なので、

And since $r=1$ in our unit circle,

そして単位円では $r=1$ なので、

Using the Pythagorean Identity, we can find the cosine value.

ピタゴラスの等式を使えば、余弦の値が求められる。

The $(x,y)$ coordinates for the point on a circle of radius $1$ at an angle of $\mathrm{30°}$ are $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right).$ At $t=\frac{\pi }{3}\text{ (60°}\text{),}$ the radius of the unit circle, 1, serves as the hypotenuse of a 30-60-90 degree right triangle, $BAD,$ as shown in Figure 13. Angle $A$ has measure $\mathrm{60°}.$ At point $B,$ we draw an angle $ABC$ with measure of $\mathrm{60°}.$ We know the angles in a triangle sum to $\mathrm{180°},$ so the measure of angle $C$ is also $\mathrm{60°}.$ Now we have an equilateral triangle. Because each side of the equilateral triangle $ABC$ is the same length, and we know one side is the radius of the unit circle, all sides must be of length 1.

半径 $1$ の円上で角 $\mathrm{30°}$ の点の $(x,y)$ 座標は $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ である。$t=\frac{\pi }{3}\text{ (60°}\text{),}$ では、図13に示すとおり、単位円の半径1が30-60-90度の直角三角形 $BAD$ の斜辺になる。角 $A$ の大きさは $\mathrm{60°}$ である。点 $B$ で、大きさ $\mathrm{60°}$ の角 $ABC$ を描く。三角形の角の和が $\mathrm{180°}$ だと分かっているので、角 $C$ の大きさも $\mathrm{60°}$ である。これで正三角形ができた。正三角形 $ABC$ の各辺は同じ長さで、一辺が単位円の半径だと分かっているので、すべての辺の長さが1でなければならない。

The measure of angle $ABD$ is 30°. Angle $ABC$ is double angle $ABD,$ so its measure is 60°. $BD$ is the perpendicular bisector of $AC,$ so it cuts $AC$ in half. This means that $AD$ is $\frac{1}{2}$ the radius, or $\frac{1}{2}.$ Notice that $AD$ is the x-coordinate of point $B,$ which is at the intersection of the 60° angle and the unit circle. This gives us a triangle $BAD$ with hypotenuse of 1 and side $x$ of length $\frac{1}{2}.$

角 $ABD$ の大きさは30°である。角 $ABC$ は角 $ABD$ の2倍なので、その大きさは60°である。$BD$ は $AC$ の垂直二等分線なので、$AC$ を半分に切る。つまり $AD$ は半径の $\frac{1}{2}$、すなわち $\frac{1}{2}$ である。$AD$ が、60°の角と単位円の交点である点 $B$ の x座標であることに注目しよう。これで、斜辺が1、辺 $x$ の長さが $\frac{1}{2}$ の三角形 $BAD$ が得られる。

From the Pythagorean Theorem, we get

ピタゴラスの定理から次が得られる。

Substituting $x=\frac{1}{2},$ we get

$x=\frac{1}{2}$ を代入すると、次が得られる。

Solving for $y,$ we get

$y$ について解くと、次が得られる。

Since $t=\frac{\pi }{3}$ has the terminal side in quadrant I where the y-coordinate is positive, we choose $y=\frac{\sqrt{3}}{2},$ the positive value.

$t=\frac{\pi }{3}$ の動径は y座標が正である第1象限にあるので、正の値 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を選ぶ。

At $t=\frac{\pi }{3}$ (60°), the $(x,y)$ coordinates for the point on a circle of radius $1$ at an angle of $\mathrm{60°}$ are $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ so we can find the sine and cosine.

$t=\frac{\pi }{3}$(60°)では、半径 $1$ の円上で角 $\mathrm{60°}$ の点の $(x,y)$ 座標は $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ なので、正弦と余弦が求められる。

We have now found the cosine and sine values for all of the most commonly encountered angles in the first quadrant of the unit circle. Table 1 summarizes these values.

これで、単位円の第1象限で最もよく出会う角すべてについて、余弦と正弦の値が求まった。表1にこれらの値をまとめる。

Figure 14 shows the common angles in the first quadrant of the unit circle.

図14に、単位円の第1象限のよくある角を示す。

To find the cosine and sine of angles other than the special angles, we turn to a computer or calculator. Be aware: Most calculators can be set into “degree” or “radian” mode, which tells the calculator the units for the input value. When we evaluate $\cos (30)$ on our calculator, it will evaluate it as the cosine of 30 degrees if the calculator is in degree mode, or the cosine of 30 radians if the calculator is in radian mode.

特別な角以外の角の余弦と正弦を求めるには、計算機や電卓を使う。注意してほしい。ほとんどの電卓は「度」か「ラジアン」のモードに設定でき、これが入力値の単位を電卓に伝える。電卓で $\cos (30)$ の値を求めるとき、電卓が度のモードなら30度の余弦、ラジアンのモードなら30ラジアンの余弦として計算される。