第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

7.2 Right Triangle Trigonometry7.2 直角三角形の三角法

Learning Objectives 学習目標

In this section you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Use right triangles to evaluate trigonometric functions.• Find function values for $30° (\frac{π}{6}), 45° (\frac{π}{4}),$ and $60° (\frac{π}{3}) .$ • Use equal cofunctions of complementary angles.• Use the deﬁnitions of trigonometric functions of any angle.• Use right-triangle trigonometry to solve applied problems.

・直角三角形を使って三角関数の値を求める。・ $30° (\frac{π}{6}), 45° (\frac{π}{4})$ と $60° (\frac{π}{3})$ の関数の値を求める。・余角に対する三角関数の関係を使う。・任意の角の三角関数の定義を使う。・直角三角形の三角法を使って応用問題を解く。

Mt. Everest, which straddles the border between China and Nepal, is the tallest mountain in the world. Measuring its height is no easy task. In fact, the actual measurement has been a source of controversy for hundreds of years. The measurement process involves the use of triangles and a branch of mathematics known as trigonometry. In this section, we will define a new group of functions known as trigonometric functions, and find out how they can be used to measure heights, such as those of the tallest mountains.

中国とネパールの国境にあるエベレストは、海抜の高さが世界で最も高い山である。その高さを測るのは容易ではなく、測定値をめぐって長く議論が続いてきた。測量では三角形の性質が役立ち、そのための数学が三角法である。この節では三角関数を定義し、直接測ることの難しい山の高さなどを、どのように求められるかを学ぶ。

Using Right Triangles to Evaluate Trigonometric Functions直角三角形を使って三角関数の値を求める

Figure 1 shows a right triangle with a vertical side of length $y$ and a horizontal side has length $x .$ Notice that the triangle is inscribed in a circle of radius 1. Such a circle, with a center at the origin and a radius of 1, is known as a unit circle.

図1に、縦の辺の長さが $y$ 、横の辺の長さが $x$ の直角三角形を示す。この三角形が半径1の円に内接していることに注目しよう。中心が原点で半径が1のこのような円を、単位円という。

Graph of quarter circle with radius of 1. Inscribed triangle with an angle of t. Point of (x,y) is at intersection of terminal side of angle and edge of circle.

We can define the trigonometric functions in terms an angle t and the lengths of the sides of the triangle. The adjacent side is the side closest to the angle, x. (Adjacent means “next to.”) The opposite side is the side across from the angle, y. The hypotenuse is the side of the triangle opposite the right angle, 1. These sides are labeled in Figure 2.

三角関数は、角 t と三角形の辺の長さで定められる。隣辺とは角に接する辺 x である。(隣とは「となり」という意味である。)対辺とは角の向かいの辺 y である。斜辺とは直角の向かいの辺で、1である。この辺の名前を図2に示す。

A right triangle with hypotenuse, opposite, and adjacent sides labeled. — Figure 2 The sides of a right triangle in relation to angle $t$ 図2 角 $t$ に対する直角三角形の辺

Given a right triangle with an acute angle of $t,$ the first three trigonometric functions are listed.

鋭角 $t$ を持つ直角三角形が与えられたとき、最初の三つの三角関数は次のとおりである。

\begin{matrix} Sine & sin t & = \frac{opposite}{hypotenuse} \end{matrix}

\begin{matrix} Cosine & cos t & = \frac{adjacent}{hypotenuse} \end{matrix}

\begin{matrix} Tangent & tan t & = \frac{opposite}{adjacent} \end{matrix}

A common mnemonic for remembering these relationships is SohCahToa, formed from the first letters of “underlineSend underlineine is underlineoend underlinepposite over underlinehend underlineypotenuse, underlineCend underlineosine is underlineaend underlinedjacent over underlinehend underlineypotenuse, underlineTend underlineangent is underlineoend underlinepposite over underlineaend underlinedjacent.”

この関係を覚えるのによく使われる語呂合わせが SohCahToa である。「Sine は Opposite ÷ Hypotenuse(正弦は対辺÷斜辺)、Cosine は Adjacent ÷ Hypotenuse(余弦は隣辺÷斜辺)、Tangent は Opposite ÷ Adjacent(正接は対辺÷隣辺)」の頭文字からできている。

For the triangle shown in Figure 1, we have the following.

図1に示した三角形について、次が成り立つ。

\begin{matrix} sin t & = & \frac{y}{1} \\ cos t & = & \frac{x}{1} \\ tan t & = & \frac{y}{x} \end{matrix}

How To 手順

Given the side lengths of a right triangle and one of the acute angles, find the sine, cosine, and tangent of that angle.

直角三角形の辺の長さと鋭角の一つが与えられたとき、その角の正弦・余弦・正接を求める。

1. Find the sine as the ratio of the opposite side to the hypotenuse.2. Find the cosine as the ratio of the adjacent side to the hypotenuse.3. Find the tangent as the ratio of the opposite side to the adjacent side.

1. 対辺と斜辺の比として正弦を求める。2. 隣辺と斜辺の比として余弦を求める。3. 対辺と隣辺の比として正接を求める。

Example 1例1

Evaluating a Trigonometric Function of a Right Triangle直角三角形の三角関数の値を求める

Given the triangle shown in Figure 3, find the value of $\cos α .$

図3に示した三角形について、 $\cos α$ の値を求めよ。

A right triangle with side lengths of 8, 15, and 17. Angle alpha also labeled which is opposite to the side labeled 8.

Solution 解答

The side adjacent to the angle is 15, and the hypotenuse of the triangle is 17.

この角の隣辺は15、三角形の斜辺は17である。

\begin{matrix} \cos (α) & = & \frac{adjacent}{hypotenuse} \\ = & \frac{15}{17} \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

Given the triangle shown in Figure 4, find the value of $sin t .$

図4に示した三角形について、 $sin t$ の値を求めよ。

A right triangle with sides of 7, 24, and 25. Also labeled is angle t which is opposite the side labeled 7.

Reciprocal Functions逆数の関数

In addition to sine, cosine, and tangent, there are three more functions. These too are defined in terms of the sides of the triangle.

正弦・余弦・正接に加えて、関数があと三つある。これらも三角形の辺で定められる。

\begin{matrix} Secant & sec t & = \frac{hypotenuse}{adjacent} \end{matrix}

\begin{matrix} Cosecant & csc t & = \frac{hypotenuse}{opposite} \end{matrix}

\begin{matrix} Cotangent & cot t & = \frac{adjacent}{opposite} \end{matrix}

Take another look at these definitions. These functions are the reciprocals of the first three functions.

この定義をもう一度見よう。これらの関数は、最初の三つの関数の逆数である。

\begin{matrix} sin t & = & \frac{1}{csc t} & csc t & = & \frac{1}{sin t} \\ cos t & = & \frac{1}{sec t} & sec t & = & \frac{1}{cos t} \\ tan t & = & \frac{1}{cot t} & cot t & = & \frac{1}{tan t} \end{matrix}

When working with right triangles, keep in mind that the same rules apply regardless of the orientation of the triangle. In fact, we can evaluate the six trigonometric functions of either of the two acute angles in the triangle in Figure 5. The side opposite one acute angle is the side adjacent to the other acute angle, and vice versa.

直角三角形を扱うときは、三角形の向きに関わらず同じ規則が当てはまることを忘れないでほしい。実際、図5の三角形の二つの鋭角のどちらについても、六つの三角関数の値を求められる。一方の鋭角の対辺は、もう一方の鋭角の隣辺であり、その逆も成り立つ。

Right triangle with angles alpha and beta. Sides are labeled hypotenuse, adjacent to alpha/opposite to beta, and adjacent to beta/opposite alpha. — Figure 5 The side adjacent to one angle is opposite the other angle.図5 一方の角の隣辺は、もう一方の角の対辺である。

Many problems ask for all six trigonometric functions for a given angle in a triangle. A possible strategy to use is to find the sine, cosine, and tangent of the angles first. Then, find the other trigonometric functions easily using the reciprocals.

多くの問題は、三角形のある角について六つの三角関数すべてを求めよという。使える手立ての一つは、まず角の正弦・余弦・正接を求めることである。そうすれば、その逆数を使ってほかの三角関数が簡単に求まる。

How To 手順

Given the side lengths of a right triangle, evaluate the six trigonometric functions of one of the acute angles.

直角三角形の辺の長さが与えられたとき、鋭角の一つの六つの三角関数の値を求める。

1. If needed, draw the right triangle and label the angle provided.2. Identify the angle, the adjacent side, the side opposite the angle, and the hypotenuse of the right triangle.3. Find the required function: sine as the ratio of the opposite side to the hypotenuse cosine as the ratio of the adjacent side to the hypotenuse tangent as the ratio of the opposite side to the adjacent side secant as the ratio of the hypotenuse to the adjacent side cosecant as the ratio of the hypotenuse to the opposite side cotangent as the ratio of the adjacent side to the opposite side

1. 必要なら直角三角形を描き、与えられた角に名前を付ける。2. 直角三角形の角、隣辺、その角の対辺、斜辺を見分ける。3. 求められた関数を求める。正弦は対辺と斜辺の比、余弦は隣辺と斜辺の比、正接は対辺と隣辺の比、正割は斜辺と隣辺の比、余割は斜辺と対辺の比、余接は隣辺と対辺の比である。

Example 2例2

Evaluating Trigonometric Functions of Angles Not in Standard Position標準位置にない角の三角関数の値を求める

Using the triangle shown in Figure 6, evaluate $\sin α, \cos α, \tan α, sec α, \csc α, and \cot α .$

図6に示した三角形を使って、 $\sin α, \cos α, \tan α, sec α, \csc α, および \cot α$ の値を求めよ。

Right triangle with sides of 3, 4, and 5. Angle alpha is also labeled which is opposite the side labeled 4.

Solution 解答

\begin{matrix} sin α & = \frac{opposite α}{hypotenuse} & = \frac{4}{5} \\ cos α & = \frac{adjacent to α}{hypotenuse} & = \frac{3}{5} \\ tan α & = \frac{opposite α}{adjacent to α} & = \frac{4}{3} \\ sec α & = \frac{hypotenuse}{adjacent to α} & = \frac{5}{3} \\ csc α & = \frac{hypotenuse}{opposite α} & = \frac{5}{4} \\ cot α & = \frac{adjacent to α}{opposite α} & = \frac{3}{4} \end{matrix}

Analysis 考察

Another approach would have been to find sine, cosine, and tangent first. Then find their reciprocals to determine the other functions.

別のやり方として、まず正弦・余弦・正接を求めることもできた。そしてその逆数を求めれば、ほかの関数が決まる。

sec α = \frac{1}{cos α} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}

csc α = \frac{1}{sin α} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}

cot α = \frac{1}{tan α} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

Try It #2やってみよう2

Using the triangle shown in Figure 7,evaluate $sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, and cot t .$

図7に示した三角形を使って、 $sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, および cot t$ の値を求めよ。

Right triangle with sides 33, 56, and 65. Angle t is also labeled which is opposite to the side labeled 33.

Finding Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths辺の長さを使って特別な角の三角関数を求める

It is helpful to evaluate the trigonometric functions as they relate to the special angles—multiples of $30°, 60°,$ and $45° .$ Remember, however, that when dealing with right triangles, we are limited to angles between $0° and 90° .$

特別な角—— $30°, 60°$ と $45°$ の倍数——に関わるものとして三角関数の値を求めておくと役立つ。ただし、直角三角形を扱うときは $0° and 90°$ のあいだの角に限られることを忘れないでほしい。

Suppose we have a $30°, 60°, 90°$ triangle, which can also be described as a $\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ triangle. The sides have lengths in the relation $s, \sqrt{3} s, 2 s .$ The sides of a $45°, 45°, 90°$ triangle, which can also be described as a $\frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ triangle, have lengths in the relation $s, s, \sqrt{2} s .$ These relations are shown in Figure 8.

$30°, 60°, 90°$ の三角形があるとしよう。これは $\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ の三角形とも述べられる。辺の長さは $s, \sqrt{3} s, 2 s$ の関係にある。 $45°, 45°, 90°$ の三角形、すなわち $\frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ の三角形とも述べられるものの辺は、 $s, s, \sqrt{2} s$ の関係にある。この関係を図8に示す。

Two side-by-side graphs of circles with inscribed angles. First circle has angle of pi/3 inscribed, radius of 2s, base of length s and height of length . Second circle has angle of pi/4 inscribed with radius , base of length s and height of length s. — Figure 8 Side lengths of special triangles図8 特別な三角形の辺の長さ

We can then use the ratios of the side lengths to evaluate trigonometric functions of special angles.

そして辺の長さの比を使えば、特別な角の三角関数の値が求められる。

How To 手順

Given trigonometric functions of a special angle, evaluate using side lengths.

特別な角の三角関数が与えられたとき、辺の長さを使って値を求める。

1. Use the side lengths shown in Figure 8 for the special angle you wish to evaluate.2. Use the ratio of side lengths appropriate to the function you wish to evaluate.

1. 値を求めたい特別な角について、図8に示した辺の長さを使う。2. 値を求めたい関数にふさわしい辺の長さの比を使う。

Example 3例3

Evaluating Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths辺の長さを使って特別な角の三角関数の値を求める

Find the exact value of the trigonometric functions of $\frac{π}{3},$ using side lengths.

辺の長さを使って、 $\frac{π}{3}$ の三角関数の厳密な値を求めよ。

Solution 解答

\begin{matrix} \sin (\frac{π}{3}) & = \frac{opp}{hyp} & = \frac{\sqrt{3 s}}{2 s} & = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (\frac{π}{3}) & = \frac{adj}{hyp} & = \frac{s}{2 s} & = \frac{1}{2} \\ \tan (\frac{π}{3}) & = \frac{opp}{adj} & = \frac{\sqrt{3} s}{s} & = \sqrt{3} \\ \sec (\frac{π}{3}) & = \frac{hyp}{adj} & = \frac{2 s}{s} & = 2 \\ \csc (\frac{π}{3}) & = \frac{hyp}{opp} & = \frac{2 s}{\sqrt{3} s} & = \frac{2}{\sqrt{3}} & = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ \cot (\frac{π}{3}) & = \frac{adj}{opp} & = \frac{s}{\sqrt{3} s} & = \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}

Try It #3やってみよう3

Find the exact value of the trigonometric functions of $\frac{π}{4},$ using side lengths.

辺の長さを使って、 $\frac{π}{4}$ の三角関数の厳密な値を求めよ。

Using Equal Cofunction of Complements余角に対する三角関数の関係を使う

If we look more closely at the relationship between the sine and cosine of the special angles, we notice a pattern. In a right triangle with angles of $\frac{π}{6}$ and $\frac{π}{3},$ we see that the sine of $\frac{π}{3},$ namely $\frac{\sqrt{3}}{2},$ is also the cosine of $\frac{π}{6},$ while the sine of $\frac{π}{6},$ namely $\frac{1}{2},$ is also the cosine of $\frac{π}{3} .$

特別な角の正弦と余弦の関係をもっとよく見ると、ある型に気づく。 $\frac{π}{6}$ と $\frac{π}{3}$ の角を持つ直角三角形で、 $\frac{π}{3}$ の正弦すなわち $\frac{\sqrt{3}}{2}$ が $\frac{π}{6}$ の余弦でもあり、 $\frac{π}{6}$ の正弦すなわち $\frac{1}{2}$ が $\frac{π}{3}$ の余弦でもあると分かる。

\begin{matrix} \sin \frac{π}{3} & = \cos \frac{π}{6} & = \frac{\sqrt{3} s}{2 s} & = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \frac{π}{6} & = \cos \frac{π}{3} & = \frac{s}{2 s} & = \frac{1}{2} \end{matrix}

See Figure 9.

図9を見よ。

A graph of circle with angle pi/3 inscribed with a radius of 2s, a base with length s and a height of. — Figure 9 The sine of $\frac{π}{3}$ equals the cosine of $\frac{π}{6}$ and vice versa.図9 $\frac{π}{3}$ の正弦は $\frac{π}{6}$ の余弦に等しく、その逆も成り立つ。

This result should not be surprising because, as we see from Figure 9, the side opposite the angle of $\frac{π}{3}$ is also the side adjacent to $\frac{π}{6},$ so $\sin (\frac{π}{3})$ and $\cos (\frac{π}{6})$ are exactly the same ratio of the same two sides, $\sqrt{3} s$ and $2 s .$ Similarly, $\cos (\frac{π}{3})$ and $\sin (\frac{π}{6})$ are also the same ratio using the same two sides, $s$ and $2 s .$

この結果は驚くにあたらない。図9から分かるとおり、 $\frac{π}{3}$ の角の対辺は $\frac{π}{6}$ の隣辺でもあるので、 $\sin (\frac{π}{3})$ と $\cos (\frac{π}{6})$ はまったく同じ二辺 $\sqrt{3} s$ と $2 s$ のまったく同じ比だからである。同じように、 $\cos (\frac{π}{3})$ と $\sin (\frac{π}{6})$ も同じ二辺 $s$ と $2 s$ を使った同じ比である。

The interrelationship between the sines and cosines of $\frac{π}{6}$ and $\frac{π}{3}$ also holds for the two acute angles in any right triangle, since in every case, the ratio of the same two sides would constitute the sine of one angle and the cosine of the other. Since the three angles of a triangle add to $π,$ and the right angle is $\frac{π}{2},$ the remaining two angles must also add up to $\frac{π}{2} .$ That means that a right triangle can be formed with any two angles that add to $\frac{π}{2}$ —in other words, any two complementary angles. So we may state a cofunction identity: If any two angles are complementary, the sine of one is the cosine of the other, and vice versa. This identity is illustrated in Figure 10.

$\frac{π}{6}$ と $\frac{π}{3}$ の正弦と余弦のあいだのこの関わりは、どの直角三角形の二つの鋭角についても成り立つ。どの場合も、同じ二辺の比が一方の角の正弦であり、もう一方の角の余弦になるからである。三角形の三つの角の和は $π$ で、直角は $\frac{π}{2}$ なので、残りの二つの角の和も $\frac{π}{2}$ でなければならない。つまり、和が $\frac{π}{2}$ になるどんな二つの角でも直角三角形が作れる。言い換えれば、どんな二つの余角でもよい。よって余関数の等式が述べられる。二つの角が互いに余角なら、一方の正弦はもう一方の余弦であり、その逆も成り立つ。この等式を図10に示す。

Right triangle with angles alpha and beta. Equivalence between sin alpha and cos beta. Equivalence between sin beta and cos alpha. — Figure 10 Cofunction identity of sine and cosine of complementary angles図10 余角の正弦と余弦の余関数の等式

Using this identity, we can state without calculating, for instance, that the sine of $\frac{π}{12}$ equals the cosine of $\frac{5 π}{12},$ and that the sine of $\frac{5 π}{12}$ equals the cosine of $\frac{π}{12} .$ We can also state that if, for a given angle $t, \cos t = \frac{5}{13},$ then $\sin (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{13}$ as well.

この等式を使えば、たとえば $\frac{π}{12}$ の正弦が $\frac{5 π}{12}$ の余弦に等しいこと、 $\frac{5 π}{12}$ の正弦が $\frac{π}{12}$ の余弦に等しいことを、計算せずに述べられる。ある角について $t, \cos t = \frac{5}{13}$ なら、 $\sin (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{13}$ も成り立つとも述べられる。

Cofunction Identities 余角の公式

The cofunction identities in radians are listed in Table 1.

ラジアンでの余関数の等式を表1に挙げる。

$\cos t = \sin (\frac{π}{2} - t)$	$\sin t = \cos (\frac{π}{2} - t)$
$\tan t = \cot (\frac{π}{2} - t)$	$\cot t = \tan (\frac{π}{2} - t)$
$sec t = \csc (\frac{π}{2} - t)$	$\csc t = \sec (\frac{π}{2} - t)$

How To 手順

Given the sine and cosine of an angle, find the sine or cosine of its complement.

ある角の正弦と余弦が与えられたとき、その余角の正弦または余弦を求める。

1. To find the sine of the complementary angle, find the cosine of the original angle.2. To find the cosine of the complementary angle, find the sine of the original angle.

1. 余角の正弦を求めるには、元の角の余弦を求める。2. 余角の余弦を求めるには、元の角の正弦を求める。

Example 4例4

Using Cofunction Identities余関数の等式を使う

If $\sin t = \frac{5}{12},$ find $\cos (\frac{π}{2} - t) .$

$\sin t = \frac{5}{12}$ のとき、 $\cos (\frac{π}{2} - t)$ を求めよ。

Solution 解答

According to the cofunction identities for sine and cosine, we have the following.

正弦と余弦の余関数の等式によれば、次が成り立つ。

\sin t = \cos (\frac{π}{2} - t)

よって、

\cos (\frac{π}{2} - t) = \frac{5}{12}

Try It #4やってみよう4

If $\csc (\frac{π}{6}) = 2,$ find $sec (\frac{π}{3}) .$

$\csc (\frac{π}{6}) = 2$ のとき、 $sec (\frac{π}{3})$ を求めよ。

Using Trigonometric Functions三角関数を使う

In previous examples, we evaluated the sine and cosine in triangles where we knew all three sides. But the real power of right-triangle trigonometry emerges when we look at triangles in which we know an angle but do not know all the sides.

これまでの例では、三辺すべてが分かっている三角形で正弦と余弦の値を求めた。だが直角三角形の三角法の真の力は、角は分かっているが辺がすべては分かっていない三角形を見るときに現れる。

How To 手順

Given a right triangle, the length of one side, and the measure of one acute angle, find the remaining sides.

直角三角形と、一辺の長さと、一つの鋭角の大きさが与えられたとき、残りの辺を求める。

1. For each side, select the trigonometric function that has the unknown side as either the numerator or the denominator. The known side will in turn be the denominator or the numerator.2. Write an equation setting the function value of the known angle equal to the ratio of the corresponding sides.3. Using the value of the trigonometric function and the known side length, solve for the missing side length.

1. 各辺について、未知の辺が分子か分母になる三角関数を選ぶ。分かっている辺は、それに応じて分母か分子になる。2. 分かっている角の関数の値が、対応する辺の比に等しいという式を書く。3. 三角関数の値と分かっている辺の長さを使って、欠けている辺の長さについて解く。

Example 5例5

Finding Missing Side Lengths Using Trigonometric Ratios三角比を使って欠けている辺の長さを求める

Find the unknown sides of the triangle in Figure 11.

図11の三角形の未知の辺を求めよ。

A right triangle with sides a, c, and 7. Angle of 30 degrees is also labeled which is opposite the side labeled 7.

Solution 解答

We know the angle and the opposite side, so we can use the tangent to find the adjacent side.

角と対辺が分かっているので、正接を使って隣辺を求められる。

\tan (30°) = \frac{7}{a}

We rearrange to solve for $a .$

式を整えて $a$ について解く。

\begin{matrix} a & = & \frac{7}{\tan (30°)} \\ \approx & 12.1 \end{matrix}

We can use the sine to find the hypotenuse.

正弦を使えば斜辺が求められる。

\sin (30°) = \frac{7}{c}

Again, we rearrange to solve for $c .$

ここでも式を整えて $c$ について解く。

\begin{matrix} c & = & \frac{7}{\sin (30°)} \\ = & 14 \end{matrix}

Try It #5やってみよう5

A right triangle has one angle of $\frac{π}{3}$ and a hypotenuse of 20. Find the unknown sides and angle of the triangle.

ある直角三角形の一つの角は $\frac{π}{3}$ 、斜辺は20である。この三角形の未知の辺と角を求めよ。

Using Right Triangle Trigonometry to Solve Applied Problems直角三角形の三角法を使って応用問題を解く

Right-triangle trigonometry has many practical applications. For example, the ability to compute the lengths of sides of a triangle makes it possible to find the height of a tall object without climbing to the top or having to extend a tape measure along its height. We do so by measuring a distance from the base of the object to a point on the ground some distance away, where we can look up to the top of the tall object at an angle. The angle of elevation of an object above an observer relative to the observer is the angle between the horizontal and the line from the object to the observer's eye. The right triangle this position creates has sides that represent the unknown height, the measured distance from the base, and the angled line of sight from the ground to the top of the object. Knowing the measured distance to the base of the object and the angle of the line of sight, we can use trigonometric functions to calculate the unknown height.

直角三角形の三角法には実用の応用が多くある。たとえば三角形の辺の長さを計算できれば、高い物の頂上に登ったり、その高さに沿って巻尺を伸ばしたりせずに高さを求められる。それには、その物の底からある距離だけ離れた地面の点までを測り、そこから高い物の頂上を見上げる角を測る。観測者から見た、観測者より上にある物の仰角とは、水平線と、その物から観測者の目までを結ぶ線のあいだの角である。この配置でできる直角三角形の辺は、未知の高さ、底から測った距離、地面から物の頂上までの斜めの視線を表す。物の底までの測った距離と視線の角が分かれば、三角関数を使って未知の高さを計算できる。

Similarly, we can form a triangle from the top of a tall object by looking downward. The angle of depression of an object below an observer relative to the observer is the angle between the horizontal and the line from the object to the observer's eye. See Figure 12.

同じように、高い物の頂上から見下ろしても三角形が作れる。観測者から見た、観測者より下にある物の俯角とは、水平線と、その物から観測者の目までを結ぶ線のあいだの角である。図12を見よ。

Diagram of a radio tower with line segments extending from the top and base of the tower to a point on the ground some distance away. The two lines and the tower form a right triangle. The angle near the top of the tower is the angle of depression. The angle on the ground at a distance from the tower is the angle of elevation.

How To 手順

Given a tall object, measure its height indirectly.

高い物が与えられたとき、その高さを間接に測る。

1. Make a sketch of the problem situation to keep track of known and unknown information.2. Lay out a measured distance from the base of the object to a point where the top of the object is clearly visible.3. At the other end of the measured distance, look up to the top of the object. Measure the angle the line of sight makes with the horizontal.4. Write an equation relating the unknown height, the measured distance, and the tangent of the angle of the line of sight.5. Solve the equation for the unknown height.

1. 分かっている情報と分からない情報を追えるように、問題の状況の絵を描く。2. その物の底から、その物の頂上がはっきり見える点まで、距離を測ってとる。3. 測った距離のもう一方の端で、その物の頂上を見上げる。視線が水平線となす角を測る。4. 未知の高さ、測った距離、視線の角の正接を結ぶ式を書く。5. その式を未知の高さについて解く。

Example 6例6

Measuring a Distance Indirectly距離を間接に測る

To find the height of a tree, a person walks to a point 30 feet from the base of the tree. She measures an angle of $57°$ between a line of sight to the top of the tree and the ground, as shown in Figure 13. Find the height of the tree.

木の高さを求めるために、ある人が木の底から30フィートの点まで歩く。図13に示すとおり、木の頂上への視線と地面のあいだの角が $57°$ だと測る。この木の高さを求めよ。

A tree with angle of 57 degrees from vantage point. Vantage point is 30 feet from tree.

Solution 解答

We know that the angle of elevation is $57°$ and the adjacent side is 30 ft long. The opposite side is the unknown height.

仰角が $57°$ で、隣辺の長さが30フィートだと分かっている。対辺が未知の高さである。

The trigonometric function relating the side opposite to an angle and the side adjacent to the angle is the tangent. So we will state our information in terms of the tangent of $57°,$ letting $h$ be the unknown height.

角の対辺と隣辺を結ぶ三角関数は正接である。よって、未知の高さを $h$ として、 $57°$ の正接で情報を述べる。

\begin{matrix} tan θ & = & \frac{opposite}{adjacent} \\ tan (57°) & = & \frac{h}{30} & Solve for h . \\ h & = & 30tan (57°) & Multiply . \\ h & \approx & 46.2 & Use a calculator . \end{matrix}

The tree is approximately 46 feet tall.

この木の高さはおよそ46フィートである。

Try It #6やってみよう6

How long a ladder is needed to reach a windowsill 50 feet above the ground if the ladder rests against the building making an angle of $\frac{5 π}{12}$ with the ground? Round to the nearest foot.

梯子を建物に立てかけ、地面と $\frac{5 π}{12}$ の角をなすようにするとき、地上50フィートの窓の敷居に届くには、どれだけの長さの梯子が要るか。フィート単位に丸めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with right triangle trigonometry.

直角三角形の三角法についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Finding Trig Functions on Calculator• Finding Trig Functions Using a Right Triangle• Relate Trig Functions to Sides of a Right Triangle• Determine Six Trig Functions from a Triangle• Determine Length of Right Triangle Side

・電卓で三角関数を求める・直角三角形を使って三角関数を求める・三角関数を直角三角形の辺と結びつける・三角形から六つの三角関数を決める・直角三角形の辺の長さを決める

Verbal言葉で答える問題

1. For the given right triangle, label the adjacent side, opposite side, and hypotenuse for the indicated angle.

1. 与えられた直角三角形について、指定された角の隣辺・対辺・斜辺に名前を付けよ。

2. When a right triangle with a hypotenuse of 1 is placed in a circle of radius 1, which sides of the triangle correspond to the x- and y-coordinates?

2. 斜辺が1の直角三角形を半径1の円の中に置くとき、三角形のどの辺が x座標と y座標に当たるか。

3. The tangent of an angle compares which sides of the right triangle?

3. 角の正接は、直角三角形のどの辺どうしを比べるか。

4. What is the relationship between the two acute angles in a right triangle?

4. 直角三角形の二つの鋭角のあいだにはどんな関係があるか。

5. Explain the cofunction identity.

5. 余関数の等式を説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, use cofunctions of complementary angles.

次の各問について、余角の余関数を使え。

6. $\cos (34°) = \sin (___°)$

7. $\cos (\frac{π}{3}) = \sin (___)$

8. $\csc (21°) = \sec (___°)$

9. $\tan (\frac{π}{4}) = \cot (___)$

For the following exercises, find the lengths of the missing sides if side $a$ is opposite angle $A,$ side $b$ is opposite angle $B,$ and side $c$ is the hypotenuse.

次の各問について、辺 $a$ が角 $A$ の対辺、辺 $b$ が角 $B$ の対辺、辺 $c$ が斜辺であるとして、欠けている辺の長さを求めよ。

10. $\cos B = \frac{4}{5}, a = 10$

11. $\sin B = \frac{1}{2}, a = 20$

12. $\tan A = \frac{5}{12}, b = 6$

13. $\tan A = 100, b = 100$

14. $\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}, a = 2$

15. $a = 5, ∡ A = 60°$

16. $c = 12, ∡ A = 45°$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use Figure 14 to evaluate each trigonometric function of angle $A .$

次の各問について、図14を使って角 $A$ の各三角関数の値を求めよ。

A right triangle with sides 4 and 10 and angle of A labeled which is opposite the side labeled 10.

17. $\sin A$

18. $\cos A$

19. $\tan A$

20. $\csc A$

21. $sec A$

22. $\cot A$

For the following exercises, use Figure 15 to evaluate each trigonometric function of angle $A .$

次の各問について、図15を使って角 $A$ の各三角関数の値を求めよ。

A right triangle with sides of 10 and 8 and angle of A labeled which is opposite the side labeled 10.

23. $\sin A$

24. $\cos A$

25. $\tan A$

26. $\csc A$

27. $sec A$

28. $\cot A$

For the following exercises, solve for the unknown sides of the given triangle.

次の各問について、与えられた三角形の未知の辺を求めよ。

29.

A right triangle with sides of 7, b, and c labeled. Angles of B and 30 degrees also labeled. The 30 degree angle is opposite the side labeled 7.

30.

A right triangle with sides of 10, a, and c. Angles of 60 degrees and A also labeled. The 60 degree angle is opposite the side labeled 10.

31.

A right triangle with corners labeled A, B, and C. Hypotenuse has length of 15 times square root of 2. Angle B is 45 degrees.

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator to find the length of each side to four decimal places.

次の各問について、電卓を使って各辺の長さを小数第四位まで求めよ。

32.

A right triangle with sides of 10, a, and c. Angles of A and 62 degrees are also labeled. The 62 degree angle is opposite the side labeled 10.

33.

A right triangle with sides of 7, b, and c. Angles of 35 degrees and B are also labeled.

34.

A right triangle with sides of a, b, and 10 labeled. Angles of 65 degrees and B are also labeled.

35.

A right triangle with sides a, b, and 12. Angles of 10 degrees and B are also labeled.

36.

A right triangle with corners labeled A, B, and C. Sides labeled b, c, and 16.5. Angle of 81 degrees also labeled.

37. $b = 15, ∡ B = 15°$

38. $c = 200, ∡ B = 5°$

39. $c = 50, ∡ B = 21°$

40. $a = 30, ∡ A = 27°$

41. $b = 3.5, ∡ A = 78°$

Extensions発展問題

42. Find $x .$

42. $x$ を求めよ。

A triangle with angles of 63 degrees and 39 degrees and side x. Bisector in triangle with length of 82.

43. Find $x .$

43. $x$ を求めよ。

A triangle with angles of 36 degrees and 50 degrees and side x. Bisector in triangle with length of 85.

44. Find $x .$

44. $x$ を求めよ。

A right triangle with side of 115 and angle of 35 degrees. Within right triangle there is another right triangle with angle of 56 degrees. Side length difference between two triangles is x.

45. Find $x .$

45. $x$ を求めよ。

A right triangle with side of 119 and angle of 26 degrees. Within right triangle there is another right triangle with angle of 70 degrees instead of 26 degrees. Difference in side length between two triangles is x.

46. A radio tower is located 400 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is $36°,$ and that the angle of depression to the bottom of the tower is $23° .$ How tall is the tower?

46. ある無線塔が建物から400フィートのところにある。建物の窓から、ある人が、塔の頂上への仰角が $36°$ 、塔の根元への俯角が $23°$ だと定める。この塔の高さはいくらか。

47. A radio tower is located 325 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is $43°,$ and that the angle of depression to the bottom of the tower is $31° .$ How tall is the tower?

47. ある無線塔が建物から325フィートのところにある。建物の窓から、ある人が、塔の頂上への仰角が $43°$ 、塔の根元への俯角が $31°$ だと定める。この塔の高さはいくらか。

48. A 200-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is $15°,$ and that the angle of depression to the bottom of the monument is $2° .$ How far is the person from the monument?

48. 高さ200フィートの記念碑が遠くにある。建物の窓から、ある人が、記念碑の頂上への仰角が $15°$ 、記念碑の根元への俯角が $2°$ だと定める。この人は記念碑からどれだけ離れているか。

49. A 400-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is $18°,$ and that the angle of depression to the bottom of the monument is $3° .$ How far is the person from the monument?

49. 高さ400フィートの記念碑が遠くにある。建物の窓から、ある人が、記念碑の頂上への仰角が $18°$ 、記念碑の根元への俯角が $3°$ だと定める。この人は記念碑からどれだけ離れているか。

50. There is an antenna on the top of a building. From a location 300 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be $40° .$ From the same location, the angle of elevation to the top of the antenna is measured to be $43° .$ Find the height of the antenna.

50. ある建物の屋上にアンテナがある。建物の底から300フィートの場所から、建物の頂上への仰角が $40°$ と測られる。同じ場所から、アンテナの先への仰角が $43°$ と測られる。このアンテナの高さを求めよ。

51. There is lightning rod on the top of a building. From a location 500 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be $36° .$ From the same location, the angle of elevation to the top of the lightning rod is measured to be $38° .$ Find the height of the lightning rod.

51. ある建物の屋上に避雷針がある。建物の底から500フィートの場所から、建物の頂上への仰角が $36°$ と測られる。同じ場所から、避雷針の先への仰角が $38°$ と測られる。この避雷針の高さを求めよ。

Real-World Applications応用問題

52. A 33-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is $80° .$ How high does the ladder reach up the side of the building?

52. 33フィートの梯子を建物に立てかけ、地面と梯子のあいだの角が $80°$ になるようにする。梯子は建物の側面のどれだけの高さまで届くか。

53. A 23-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is $80° .$ How high does the ladder reach up the side of the building?

53. 23フィートの梯子を建物に立てかけ、地面と梯子のあいだの角が $80°$ になるようにする。梯子は建物の側面のどれだけの高さまで届くか。

54. The angle of elevation to the top of a building in Charlotte is found to be 9 degrees from the ground at a distance of 1 mile from the base of the building. Using this information, find the height of the building.

54. シャーロットのある建物の頂上への仰角が、建物の底から1マイルの地面で9度と分かった。この情報を使って、この建物の高さを求めよ。

55. The angle of elevation to the top of a building in Seattle is found to be 2 degrees from the ground at a distance of 2 miles from the base of the building. Using this information, find the height of the building.

55. シアトルのある建物の頂上への仰角が、建物の底から2マイルの地面で2度と分かった。この情報を使って、この建物の高さを求めよ。

56. Assuming that a 370-foot tall giant redwood grows vertically, if I walk a certain distance from the tree and measure the angle of elevation to the top of the tree to be $60°,$ how far from the base of the tree am I?

56. 高さ370フィートのセコイアがまっすぐ立っているとする。この木からある距離だけ歩いて、木の頂上への仰角を測ると $60°$ だった。私は木の底からどれだけ離れているか。