第7章単位円:正弦関数と余弦関数The Unit Circle: Sine and Cosine Functions

A golfer swings to hit a ball over a sand trap and onto the green. An airline pilot maneuvers a plane toward a narrow runway. A dress designer creates the latest fashion. What do they all have in common? They all work with angles, and so do all of us at one time or another. Sometimes we need to measure angles exactly with instruments. Other times we estimate them or judge them by eye. Either way, the proper angle can make the difference between success and failure in many undertakings. In this section, we will examine properties of angles.

ゴルファーがバンカーを越えてボールをグリーンに乗せようとする。パイロットが狭い滑走路に向けて機体を操縦する。ファッションデザイナーが新しい服をデザインする。これらに共通するのは、角度を扱うということだ。私たちも日常のさまざまな場面で角度を使っている。器具で正確に測ることもあれば、目分量で見当をつけることもある。いずれの場合も、適切な角度を選べるかどうかが結果を左右する。この節では、角の性質を調べる。

Properly defining an angle first requires that we define a ray. A ray is a directed line segment. It consists of one point on a line and all points extending in one direction from that point. The first point is called the endpoint of the ray. We can refer to a specific ray by stating its endpoint and any other point on it. The ray in Figure 1 can be named as ray EF, or in symbol form $\stackrel{⟶}{EF}.$

角をきちんと定めるには、まず半直線を定める必要がある。半直線とは、一つの端点から一方向へ限りなく延びる直線の一部である。直線上の一点と、その点から一方向に伸びるすべての点からなる。この最初の点を半直線の端点という。ある半直線を指すには、その端点と、その上のほかの一点を述べればよい。図1の半直線は半直線 EF、記号では $\stackrel{⟶}{EF}$ と名づけられる。

An angle is the union of two rays having a common endpoint. The endpoint is called the vertex of the angle, and the two rays are the sides of the angle. The angle in Figure 2 is formed from $\stackrel{⟶}{ED}$ and $\stackrel{⟶}{EF}$. Angles can be named using a point on each ray and the vertex, such as angle DEF, or in symbol form $\angle DEF.$

角とは、端点を共有する二つの半直線の合併である。この端点を角の頂点といい、二つの半直線を角の辺という。図2の角は $\stackrel{⟶}{ED}$ と $\stackrel{⟶}{EF}$ からできている。角は、各半直線上の点と頂点を使って角 DEF のように、あるいは記号で $\angle DEF$ のように名づけられる。

Greek letters are often used as variables for the measure of an angle. Table 1 is a list of Greek letters commonly used to represent angles, and a sample angle is shown in Figure 3.

角の大きさの変数には、しばしばギリシア文字が使われる。表1は角を表すのによく使われるギリシア文字の一覧で、角の例を図3に示す。

Angle creation is a dynamic process. We start with two rays lying on top of one another. We leave one fixed in place, and rotate the other. The fixed ray is the initial side, and the rotated ray is the terminal side. In order to identify the different sides, we indicate the rotation with a small arrow close to the vertex as in Figure 4.

角は、半直線を回転させることで捉えられる。まず2つの半直線を重ね、一方を固定して、もう一方を共通の端点のまわりに回す。固定した半直線を始線、回転後の半直線を動径という。図4のように、頂点の近くに小さな矢印を描くと、どちらの向きに回転させたかを示せる。

As we discussed at the beginning of the section, there are many applications for angles, but in order to use them correctly, we must be able to measure them. The measure of an angle is the amount of rotation from the initial side to the terminal side. Probably the most familiar unit of angle measurement is the degree. One degree is $\frac{1}{360}$ of a circular rotation, so a complete circular rotation contains $360$ degrees. An angle measured in degrees should always include the unit “degrees” after the number, or include the degree symbol $°.$ For example, $90\text{degrees}=\mathrm{90°}.$

この節の初めに論じたとおり、角には多くの応用があるが、それを正しく使うには角を測れなければならない。角の大きさとは、始線から動径までの回転の量である。角の大きさの単位として最もよく知られているのは、おそらく度である。1度は円の1回転の $\frac{1}{360}$ なので、円の1回転は $360$ 度である。度で測った角には、数の後につねに単位「度」を付けるか、度の記号 $°$ を付けるべきである。たとえば $90\text{度}=\mathrm{90°}$ のようにする。

To formalize our work, we will begin by drawing angles on an x-y coordinate plane. Angles can occur in any position on the coordinate plane, but for the purpose of comparison, the convention is to illustrate them in the same position whenever possible. An angle is in standard position if its vertex is located at the origin, and its initial side extends along the positive x-axis. See Figure 5.

きちんと扱うために、まず x-y 座標平面に角を描くことから始める。角は座標平面のどの位置にも置けるが、比べるためには、できるかぎり同じ位置に描くのが決まりである。頂点が原点にあり、始線が正の x軸に沿って伸びているとき、その角は標準位置にあるという。図5を見よ。

If the angle is measured in a counterclockwise direction from the initial side to the terminal side, the angle is said to be a positive angle. If the angle is measured in a clockwise direction, the angle is said to be a negative angle.

始線から動径まで反時計回りに測った角を、正の角という。時計回りに測った角を、負の角という。

Drawing an angle in standard position always starts the same way—draw the initial side along the positive x-axis. To place the terminal side of the angle, we must calculate the fraction of a full rotation the angle represents. We do that by dividing the angle measure in degrees by $\mathrm{360°}.$ For example, to draw a $\mathrm{90°}$ angle, we calculate that $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}=\frac{1}{4}.$ So, the terminal side will be one-fourth of the way around the circle, moving counterclockwise from the positive x-axis. To draw a $\mathrm{360°}$ angle, we calculate that $\frac{\mathrm{360°}}{\mathrm{360°}}=1.$ So the terminal side will be 1 complete rotation around the circle, moving counterclockwise from the positive x-axis. In this case, the initial side and the terminal side overlap. See Figure 6.

標準位置に角を描くとき、始め方はつねに同じである。正の x軸に沿って始線を描く。角の動径を置くには、その角が1回転の何分のいくつに当たるかを計算しなければならない。度で表した角の大きさを $\mathrm{360°}$ で割ればよい。たとえば $\mathrm{90°}$ の角を描くには $\frac{\mathrm{90°}}{\mathrm{360°}}=\frac{1}{4}$ と計算する。よって動径は、正の x軸から反時計回りに円を4分の1だけ回ったところになる。$\mathrm{360°}$ の角を描くには $\frac{\mathrm{360°}}{\mathrm{360°}}=1.$ と計算する。よって動径は、正の x軸から反時計回りに円をちょうど1周したところになる。この場合、始線と動径は重なる。図6を見よ。

Since we define an angle in standard position by its terminal side, we have a special type of angle whose terminal side lies on an axis, a quadrantal angle. This type of angle can have a measure of 0°, 90°, 180°, 270°, or 360°. See Figure 7.

標準位置の角は動径で定めるので、動径が座標軸の上に乗る特別な種類の角がある。象限角である。この種の角の大きさは、0°、90°、180°、270°、360°のいずれかになる。図7を見よ。

Dividing a circle into 360 parts is an arbitrary choice, although it creates the familiar degree measurement. We may choose other ways to divide a circle. To find another unit, think of the process of drawing a circle. Imagine that you stop before the circle is completed. The portion that you drew is referred to as an arc. An arc may be a portion of a full circle, a full circle, or more than a full circle, represented by more than one full rotation. The length of the arc around an entire circle is called the circumference of that circle.

円を360に分けるのは恣意的な選び方だが、これでよく知られた度の測り方ができる。円を分ける別のやり方も選べる。別の単位を求めるために、円を描く過程を考えよう。円を描き終える前に手を止めたとしよう。描いた部分を弧という。弧は、円の一部でも、円全体でも、1回転を超える円より長いものでもよい。円全体に沿った弧の長さを、その円の周という。

The circumference of a circle is $C=2\pi r.$ If we divide both sides of this equation by $r,$ we create the ratio of the circumference, which is always $2\pi ,$ to the radius, regardless of the length of the radius. So the circumference of any circle is $2\pi \approx 6.28$ times the length of the radius. That means that if we took a string as long as the radius and used it to measure consecutive lengths around the circumference, there would be room for six full string-lengths and a little more than a quarter of a seventh, as shown in Figure 10.

円の周は $C=2\pi r$ である。この式の両辺を $r$ で割ると、半径の長さに関わらずつねに $2\pi$ である、周と半径の比が得られる。よってどの円の周も、半径の長さの $2\pi \approx 6.28$ 倍である。つまり、半径と同じ長さの紐をとって、周に沿って次々に長さを測っていくと、図10に示すとおり、紐6本分と、7本目の4分の1より少し多いだけの余地があることになる。

This brings us to our new angle measure. One radian is the measure of a central angle of a circle that intercepts an arc equal in length to the radius of that circle. A central angle is an angle formed at the center of a circle by two radii. Because the total circumference equals $2\pi$ times the radius, a full circular rotation is $2\pi$ radians.

これで新しい角の測り方にたどりつく。1ラジアンとは、円の半径と同じ長さの弧を切りとる、その円の中心角の大きさである。中心角とは、二本の半径によって円の中心にできる角である。周の全体は半径の $2\pi$ 倍なので、円の1回転は $2\pi$ ラジアンである。

See Figure 11. Note that when an angle is described without a specific unit, it refers to radian measure. For example, an angle measure of 3 indicates 3 radians. In fact, radian measure is dimensionless, since it is the quotient of a length (circumference) divided by a length (radius) and the length units cancel.

図11を見よ。角が単位を明記せずに述べられるときは、ラジアンでの大きさを指すことに注意せよ。たとえば角の大きさ3は3ラジアンを示す。実際、ラジアンでの大きさは無次元である。長さ(周)を長さ(半径)で割った商であり、長さの単位が消えるからである。

An arc length $s$ is the length of the curve along the arc. Just as the full circumference of a circle always has a constant ratio to the radius, the arc length produced by any given angle also has a constant relation to the radius, regardless of the length of the radius.

弧長 $s$ とは、弧に沿った曲線の長さである。円の周の全体がつねに半径に対して一定の比を持つのと同じく、与えられた角が生む弧長も、半径の長さに関わらず半径に対して一定の関係を持つ。

This ratio, called the radian measure, is the same regardless of the radius of the circle—it depends only on the angle. This property allows us to define a measure of any angle as the ratio of the arc length $s$ to the radius r. See Figure 12.

この比をラジアンでの大きさといい、円の半径によらず同じである。角だけに依るのである。この性質のおかげで、どの角の大きさも、弧長 $s$ と半径 r の比として定められる。図12を見よ。

If $s=r,$ then $\theta =\frac{r}{r}=\text{1 radian}\text{.}$

$s=r$ なら $\theta =\frac{r}{r}=\text{1 radian}$ である。

To elaborate on this idea, consider two circles, one with radius 2 and the other with radius 3. Recall the circumference of a circle is $C=2\pi r,$ where $r$ is the radius. The smaller circle then has circumference $2\pi (2)=4\pi$ and the larger has circumference $2\pi (3)=6\pi .$ Now we draw a $\mathrm{45°}$ angle on the two circles, as in Figure 13.

この考えを詳しく見るために、半径2の円と半径3の円の二つを考えよう。円の周が $C=2\pi r$ であることを思い出そう。ここで $r$ は半径である。すると小さいほうの円の周は $2\pi (2)=4\pi$、大きいほうの円の周は $2\pi (3)=6\pi$ である。ここで、図13のようにこの二つの円に $\mathrm{45°}$ の角を描く。

Notice what happens if we find the ratio of the arc length divided by the radius of the circle.

弧長を円の半径で割った比を求めると、何が起こるかに注目しよう。

Since both ratios are $\frac{1}{4}\pi ,$ the angle measures of both circles are the same, even though the arc length and radius differ.

どちらの比も $\frac{1}{4}\pi$ なので、弧長も半径も違うのに、二つの円の角の大きさは同じである。

Because radian measure is the ratio of two lengths, it is a unitless measure. For example, in Figure 12, suppose the radius were 2 inches and the distance along the arc were also 2 inches. When we calculate the radian measure of the angle, the “inches” cancel, and we have a result without units. Therefore, it is not necessary to write the label “radians” after a radian measure, and if we see an angle that is not labeled with “degrees” or the degree symbol, we can assume that it is a radian measure.

ラジアンでの大きさは二つの長さの比なので、単位を持たない量である。たとえば図12で、半径が2インチ、弧に沿った距離も2インチだとしよう。この角のラジアンでの大きさを計算すると「インチ」が消え、単位のない結果が得られる。したがって、ラジアンでの大きさの後に「ラジアン」という名札を書く必要は無く、「度」や度の記号が付いていない角を見たら、ラジアンでの大きさだと考えてよい。

Considering the most basic case, the unit circle (a circle with radius 1), we know that 1 rotation equals 360 degrees, $\mathrm{360°}.$ We can also track one rotation around a circle by finding the circumference, $C=2\pi r,$ and for the unit circle $C=2\pi .$ These two different ways to rotate around a circle give us a way to convert from degrees to radians.

最も基本の場合である単位円(半径1の円)を考えると、1回転が360度 $\mathrm{360°}$ に等しいと分かる。周 $C=2\pi r$ を求めても円の1回転を追える。単位円では $C=2\pi$ である。円を1回転するこの二つの違うやり方が、度からラジアンに直す道を与えてくれる。

In addition to knowing the measurements in degrees and radians of a quarter revolution, a half revolution, and a full revolution, there are other frequently encountered angles in one revolution of a circle with which we should be familiar. It is common to encounter multiples of 30, 45, 60, and 90 degrees. These values are shown in Figure 14. Memorizing these angles will be very useful as we study the properties associated with angles.

4分の1回転、半回転、1回転の度とラジアンでの大きさを知っているのに加えて、円の1回転の中でよく出会う角がほかにもあり、それに慣れておくべきである。30、45、60、90度の倍数によく出会う。これらの値を図14に示す。これらの角を覚えておくと、角に関わる性質を学ぶときにとても役立つ。

Now, we can list the corresponding radian values for the common measures of a circle corresponding to those listed in Figure 14, which are shown in Figure 15. Be sure you can verify each of these measures.

これで、図14に挙げたものに対応する円のよくある大きさについて、対応するラジアンの値を並べられる。図15に示す。それぞれの値を確かめられるようにしておこう。

Because degrees and radians both measure angles, we need to be able to convert between them. We can easily do so using a proportion where $\theta$ is the measure of the angle in degrees and ${\theta }_R$ is the measure of the angle in radians.

度もラジアンも角を測るものなので、この二つを行き来できる必要がある。$\theta$ を度で表した角の大きさ、${\theta }_R$ をラジアンで表した角の大きさとして、比例式を使えば簡単に行き来できる。

This proportion shows that the measure of angle $\theta$ in degrees divided by 180 equals the measure of angle $\theta$ in radians divided by $\pi .$ Or, phrased another way, degrees is to 180 as radians is to $\pi .$

この比例式は、度で表した角 $\theta$ の大きさを180で割ったものが、ラジアンで表した角 $\theta$ の大きさを $\pi$ で割ったものに等しいことを示している。別の言い方をすれば、度と180の比が、ラジアンと $\pi$ の比に等しいということである。

Converting between degrees and radians can make working with angles easier in some applications. For other applications, we may need another type of conversion. Negative angles and angles greater than a full revolution are more awkward to work with than those in the range of $\mathrm{0°}$ to $\mathrm{360°},$ or $0$ to $2\pi .$ It would be convenient to replace those out-of-range angles with a corresponding angle within the range of a single revolution.

度とラジアンを行き来できると、応用によっては角を扱うのが楽になる。ほかの応用では、別の種類の変換が要ることもある。負の角や1回転を超える角は、$\mathrm{0°}$ から $\mathrm{360°}$ まで、あるいは $0$ から $2\pi$ までの範囲の角より扱いにくい。この範囲の外の角を、1回転の範囲に収まる対応する角に置き換えられると都合がよい。

It is possible for more than one angle to have the same terminal side. Look at Figure 16. The angle of $\mathrm{140°}$ is a positive angle, measured counterclockwise. The angle of $\mathrm{–220°}$ is a negative angle, measured clockwise. But both angles have the same terminal side. If two angles in standard position have the same terminal side, they are coterminal angles. Every angle greater than $\mathrm{360°}$ or less than $\mathrm{0°}$ is coterminal with an angle between $\mathrm{0°}$ and $\mathrm{360°},$ and it is often more convenient to find the coterminal angle within the range of $\mathrm{0°}$ to $\mathrm{360°}$ than to work with an angle that is outside that range.

二つ以上の角が同じ動径を持つことはありうる。図16を見よ。$\mathrm{140°}$ の角は反時計回りに測った正の角である。$\mathrm{–220°}$ の角は時計回りに測った負の角である。だがどちらの角も動径は同じである。標準位置の二つの角の動径が同じなら、それを動径が一致する角という。$\mathrm{360°}$ より大きい角、$\mathrm{0°}$ より小さい角はどれも、$\mathrm{0°}$ と $\mathrm{360°}$ のあいだのある角と動径が一致する。その範囲の外の角を扱うより、$\mathrm{0°}$ から $\mathrm{360°}$ までの範囲で動径が一致する角を求めるほうが都合がよいことが多い。

Any angle has infinitely many coterminal angles because each time we add $\mathrm{360°}$ to that angle—or subtract $\mathrm{360°}$ from it—the resulting value has a terminal side in the same location. For example, $\text{100°}$ and $\text{460°}$ are coterminal for this reason, as is $\mathrm{-260°}.$

どの角にも、動径が一致する角が無限にある。その角に $\mathrm{360°}$ を足すたび、あるいはそこから $\mathrm{360°}$ を引くたびに、できあがる値の動径が同じ場所にくるからである。たとえば $\text{100°}$ と $\text{460°}$ はこの理由で動径が一致し、$\mathrm{-260°}$ も同じである。

An angle’s reference angle is the measure of the smallest, positive, acute angle $t\prime$ formed by the terminal side of the angle $t$ and the horizontal axis. Thus positive reference angles have terminal sides that lie in the first quadrant and can be used as models for angles in other quadrants. See Figure 17 for examples of reference angles for angles in different quadrants.

角の基準角とは、その角 $t$ の動径と横軸がなす、最も小さい正の鋭角 $t\prime$ の大きさである。よって正の基準角の動径は第1象限にあり、ほかの象限の角のモデルとして使える。違う象限の角の基準角の例は図17を見よ。

We can find coterminal angles measured in radians in much the same way as we have found them using degrees. In both cases, we find coterminal angles by adding or subtracting one or more full rotations.

ラジアンで測った、動径が一致する角も、度を使ったのとほぼ同じやり方で求められる。どちらの場合も、1回転かそれ以上を足したり引いたりして、動径が一致する角を求める。

Recall that the radian measure $\theta$ of an angle was defined as the ratio of the arc length $s$ of a circular arc to the radius $r$ of the circle, $\theta =\frac{s}{r}.$ From this relationship, we can find arc length along a circle, given an angle.

角のラジアンでの大きさ $\theta$ が、円弧の弧長 $s$ と円の半径 $r$ の比 $\theta =\frac{s}{r}$ として定められたことを思い出そう。この関係から、角が与えられれば円に沿った弧長が求められる。

In addition to arc length, we can also use angles to find the area of a sector of a circle. A sector is a region of a circle bounded by two radii and the intercepted arc, like a slice of pizza or pie. Recall that the area of a circle with radius $r$ can be found using the formula $A=\pi r^2.$ If the two radii form an angle of $\theta ,$ measured in radians, then $\frac{\theta }{2\pi }$ is the ratio of the angle measure to the measure of a full rotation and is also, therefore, the ratio of the area of the sector to the area of the circle. Thus, the area of a sector is the fraction $\frac{\theta }{2\pi }$ multiplied by the entire area. (Always remember that this formula only applies if $\theta$ is in radians.)

弧長に加えて、角を使えば円の扇形の面積も求められる。扇形とは、ピザやパイの一切れのように、二本の半径と切りとられた弧で囲まれた円の一部である。半径 $r$ の円の面積が公式 $A=\pi r^2$ で求まることを思い出そう。二本の半径がラジアンで測って $\theta$ の角をなすなら、$\frac{\theta }{2\pi }$ は角の大きさと1回転の大きさの比であり、したがって扇形の面積と円の面積の比でもある。よって扇形の面積は、全体の面積に分数 $\frac{\theta }{2\pi }$ を掛けたものである。(この公式は $\theta$ がラジアンのときだけ当てはまることをつねに忘れないでほしい。)

In addition to finding the area of a sector, we can use angles to describe the speed of a moving object. An object traveling in a circular path has two types of speed. Linear speed is speed along a straight path and can be determined by the distance it moves along (its displacement) in a given time interval. For instance, if a wheel with radius 5 inches rotates once a second, a point on the edge of the wheel moves a distance equal to the circumference, or $10\pi$ inches, every second. So the linear speed of the point is $10\pi$ in./s. The equation for linear speed is as follows where $v$ is linear speed, $s$ is displacement, and $t$ is time.

扇形の面積を求めるのに加えて、角を使えば動く物の速さも述べられる。円の道筋を進む物には、二つの種類の速さがある。線速度とはまっすぐな道筋に沿った速さで、与えられた時間の間隔にその物が動く距離(その変位)で決められる。たとえば半径5インチの車輪が1秒に1回転するなら、車輪の縁の点は毎秒、周に等しい距離、すなわち $10\pi$ インチ動く。よってこの点の線速度は毎秒 $10\pi$ インチである。線速度の式は次のとおりである。ここで $v$ は線速度、$s$ は変位、$t$ は時間である。

Angular speed results from circular motion and can be determined by the angle through which a point rotates in a given time interval. In other words, angular speed is angular rotation per unit time. So, for instance, if a gear makes a full rotation every 4 seconds, we can calculate its angular speed as $\frac{360\text{degrees}}{4\text{seconds}}=$ 90 degrees per second. Angular speed can be given in radians per second, rotations per minute, or degrees per hour for example. The equation for angular speed is as follows, where $\omega$ (read as omega) is angular speed, $\theta$ is the angle traversed, and $t$ is time.

角速度は円運動から生じ、与えられた時間の間隔に点が回る角で決められる。言い換えれば、角速度とは単位時間あたりの角の回転である。たとえば、ある歯車が4秒ごとに1回転するなら、その角速度は $\frac{360\text{度}}{4\text{seconds}}=$、すなわち毎秒90度と計算できる。角速度は、たとえば毎秒ラジアン、毎分回転数、毎時度などで表せる。角速度の式は次のとおりである。ここで $\omega$(オメガと読む)は角速度、$\theta$ は通った角、$t$ は時間である。

Combining the definition of angular speed with the arc length equation, $s=r\theta ,$ we can find a relationship between angular and linear speeds. The angular speed equation can be solved for $\theta ,$ giving $\theta =\omega t.$ Substituting this into the arc length equation gives:

角速度の定義を弧長の式 $s=r\theta$ と合わせれば、角速度と線速度の関係が求められる。角速度の式を $\theta$ について解くと $\theta =\omega t$ が得られる。これを弧長の式に代入すると、次が得られる。

Substituting this into the linear speed equation gives:

これを線速度の式に代入すると、次が得られる。

Water wheels have been used for thousands of years to transfer the power of flowing water to other devices. The image below depicts the design of the the 3rd century Roman water wheel in Hierapolis, a city in what is now Turkey. Water turned the wheel, which in turn rotated a crank connected to two saws used to cut blocks. These design elements were used in water wheel applications throughout the world, and even provided the underlying principle for the steam engine, invented about 1500 years later.

水車は、流れる水の力をほかの装置へ伝えるために何千年も使われてきた。下の図は、今のトルコにあたる地域の都市ヒエラポリスの、3世紀のローマの水車の造りを描いたものである。水が車輪を回し、その車輪が、石材を切る二つの鋸につながった曲柄を回した。この造りの要素は世界中の水車の応用に使われ、およそ1500年後に発明された蒸気機関の基となる原理さえもたらした。